欧拉法解常微分方程概述Word文件下载.docx
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求解从实际问题当中归结出来的微分方程主要靠数值解法。
欧拉方法是一类重要的数值解法。
这类方法回避解y（x）的函数表达式，而是寻求它在一系列离散节点上的近似值，相邻的两个节点的间距称作步长。
假定步长为定数。
欧拉方法是一类离散化方法，这类方法将寻求解y（x）的分析问题转化为计算离散值值的代数问题，从而使问题获得了实质性的简化。
然而随之带来的困难是，由于数据量往往很大，差分方法所归结出的可能是个大规模的代数方程组。
【实验环境】
1.硬件环境
2.2.软件环境
MATLAB7.0
2、实验内容：
【实验过程】
（实验步骤）
（一）实验任务
描述某种化学反应过程的方程，利用显性和隐形Eualar方法求解下列一阶线性微分方程组的近似数值解：
（2）求解过程
Eular方法：
一阶线性微分方程初值问题
（1）
方程离散化：
差分和差商
（2）
通过初始值
，依据递推公式
（2）逐步算出
就为显性的Eular方法。
隐形Eular方法：
（3）
公式（3）即为隐式Eular公式。
（三）程序算法
1.利用显式Eular法方求解
利用MATLAB进行求解，编写脚本文件如下：
文件名：
hql.m
%显性Eular方法
f0=1;
g0=0;
z0=0
delta=0.01;
time=1;
t=0:
delta:
time;
f=zeros（size（t））;
g=zeros（size（t））;
z=zeros（size（t））;
f1=zeros（size（t））;
g1=zeros（size（t））;
z1=zeros（size（t））;
f
（1）=f0;
g
（1）=g0;
z
（1）=z0;
fori=2:
length（t）
f1（i-1）=-0.04*f（i-1）+10000*f（i-1）*g（i-1）;
f（i）=f（i-1）+f1（i-1）*delta;
g1（i-1）=0.04*f（i-1）-10000*f（i-1）*g（i-1）-3*10^7*g（i-1）^2;
g（i）=g（i-1）+g1（i-1）*delta;
z1（i-1）=3*10^7*g（i-1）^2;
z（i）=z（i-1）+z（i-1）*delta;
Fun=f+g+z
end
figure
plot（t,f,'
o'
）;
xlabel（'
t'
ylabel（'
y1'
title（'
t-y1变化图'
）
plot（t,g,'
y2'
t-y2变化图'
plot（t,z,'
y3'
t-y3变化图'
plot（t,Fun）;
y1+y2+y3'
t-y1+y2+y3变化图'
【实验结论】
A步长h=0.001时进行数据测试。
结果如下：
迭代第一次时，
结果与方程描述内容相符。
迭代第二次时，
结果与方程描述内容基本相符。
迭代三次时，
迭代1000次时，
模拟结果已经严重脱离事实，故当选择delta为0.001时，该迭代方法不收敛。
时间与个变量直接的变化关系如图所示：
从上述图形可以明显看出，在迭代的不断进行时，各变量与时间的变化越来越大，且严重脱离了方程所描述的现实意义。
B.当选择h=0.00000001时，模拟结果如下：
迭代第一次，
与A中结果相同。
迭代第二次，
跌二次迭代结果明显优于一中。
跌三次迭代结果，
并未产生误差。
地1000次迭代结果，
结果明显是收敛的。
时间与个变量直接的变化关系如图所示：
从图中能够清晰看出，当h=0.00000001时，模拟结果与方程所表示的显示意义相吻合。
说明了显性Eualr方法的收敛性是与步长的选择是相关。
这就对我们们选择步长造成了困难，由于选择的步长不合适有可能得出错误的结论。
【实验小结】
（收获体会）
1、软件使用
在写MATLAB语言的时候要深刻理解题的意图，整理好思绪再做题目，在我运算的过程中，h取值取得越小、越细微，曲线逼近的越好。
2、欧拉法的缺点
简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。
因此欧拉格式一般不用于实际计算。
3、实验感想
在这次上机实验中，我掌握了解决常微分方程的基本方法，同时学会使用计算机软件对两种不同方法得到的结果进行判断，对我们以后对数据进行分析很有帮助。
三、指导教师评语及成绩：
评语
评语等级
优
良
中
及格
不及格
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强
2.实验方案设计合理
3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）
4实验结论正确.
成绩：
指导教师签名：
批阅日期：
附录：
源程序
程序1：
%显性Eular方法
f0=1;
delta=0.00000001;
time=0.00001;
t=0:
f=zeros（size（t））;
g=zeros（size（t））;
z=zeros（size（t））;
f1=zeros（size（t））;
g1=zeros（size（t））;
z1=zeros（size（t））;
f
（1）=f0;
g
（1）=g0;
z
（1）=z0;
fori=2:
end
figure
plot（t,f,'
xlabel（'
ylabel（'
title（'
plot（t,g,'
plot（t,z,'
plot（t,Fun）;
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