届江苏高考数学文总复习讲义导数的概念及导数的运算.docx
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届江苏高考数学文总复习讲义导数的概念及导数的运算
第一节
导数的概念及导数的运算
1．导数的概念
（1）平均变化率
一般地，函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数
①定义：
设函数y＝f（x）在区间（a，b）上有定义，x0∈（a，b），若Δx无限趋近于0时，此值＝无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）．
②几何意义：
函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．
（3）函数f（x）的导函数
若f（x）对于区间（a，b）内任一点都可导，则f（x）在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f（x）的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f（x）＝xα
f′（x）＝αxα－1
f（x）＝sinx
f′（x）＝cos_x
f（x）＝cosx
f′（x）＝－sin_x
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f′（x）＝axln_a
f（x）＝ex
f′（x）＝
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）
f′（x）＝
f（x）＝lnx
f′（x）＝
3．导数的运算法则
（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；
（2）[Cf（x）]′＝Cf′（x）（C为常数）；
（3）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；
（4）′＝（g（x）≠0）．
[小题体验]
1．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0的值为________．
解析：
由f（x）＝xlnx得f′（x）＝lnx＋1.
根据题意知lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，因此x0＝e.
答案：
e
2．曲线y＝x3－x＋3在点（1,3）处的切线方程为________．
答案：
2x－y＋1＝0
3．已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝_____.
解析：
由题图可知曲线y＝f（x）在x＝3处切线的斜率等于－，所以f′（3）＝－，因为g（x）＝xf（x），所以g′（x）＝f（x）＋xf′（x），所以g′（3）＝f（3）＋3f′（3），又由题图可知f（3）＝1，所以g′（3）＝1＋3×＝0.
答案：
0
1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式（xα）′＝αxα－1与指数函数的求导公式（ax）′＝axlna混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
[小题纠偏]
1．函数y＝xcosx－sinx的导数为________．
解析：
y′＝（xcosx）′－（sinx）′＝x′cosx＋x（cosx）′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.
答案：
－xsinx
2．已知直线y＝－x＋1是函数f（x）＝－·ex图象的切线，则实数a＝________.
解析：
设切点为（x0，y0），则f′（x0）＝－·e
＝－1，
所以e
＝a，又－·e
＝－x0＋1，所以x0＝2，a＝e2.
答案：
e2
3．若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a＝________.
解析：
因为y＝x3，所以y′＝3x2，设过（1,0）的直线与y＝x3相切于点（x0，x），则在该点处的切线斜率为k＝3x，所以切线方程为y－x＝3x（x－x0），即y＝3xx－2x，又（1,0）在切线上，则x0＝0或x0＝，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－，当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1.
答案：
－1或－
[题组练透]
求下列函数的导数．
（1）f（x）＝x3＋x；
（2）f（x）＝sinx＋x；
（3）f（x）＝excosx；
（4）f（x）＝－lnx.
解：
（1）f′（x）＝（x3＋x）′＝（x3）′＋（x）′＝3x2＋1.
（2）f′（x）＝cosx＋1.
（3）f′（x）＝excosx－exsinx＝ex（cosx－sinx）．
（4）f′（x）＝－＝.
[谨记通法]
求函数导数的3种原则
[锁定考向]
导数的几何意义是把函数的导数与曲线的切线联系在一起，一般不单独考查，在填空题中会出现，有时也体现在解答题中，难度偏小．
常见的命题角度有：
（1）求切线方程；
（2）求切点坐标；
（3）求参数的值（范围）．
[题点全练]
角度一：
求切线方程
1．（2019·泰州检测）若函数f（x）＝2在点（a，f（a））处的切线与直线2x＋y－4＝0垂直，则该切线方程为________．
解析：
∵切线与直线2x＋y－4＝0垂直，
∴切线的斜率是.
∵f（x）＝2，∴f′（x）＝x
，∴f′（a）＝a
＝.
解得a＝4，则f（4）＝4，故函数f（x）在点（4,4）处的切线方程为x－2y＋4＝0.
答案：
x－2y＋4＝0
2．已知曲线y＝与y＝的交点为C，两曲线在点C处的切线分别为l1，l2，则切线l1，l2与y轴所围成的三角形的面积为________．
解析：
由解得
即C（4,2），由y＝，得y′＝（）′＝，
则直线l1的斜率k1＝，
∴l1：
y＝x＋1.
同理可得l2：
y＝－x＋4，
如图，易知S△ABC＝×3×4＝6，即所求的面积为6.
答案：
6
角度二：
求切点坐标
3．（2019·扬州模拟）曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为________．
解析：
f′（x）＝3x2－1，令f′（x）＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，所以P（1,3）或（－1,3），经检验，点（1,3），（－1,3）均不在直线y＝2x－1上，符合题意．
答案：
（1,3）和（－1,3）
角度三：
求参数的值（范围）
4．（2018·常州高三期末）已知函数f（x）＝bx＋lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f（x）相切，则k－b的值为________．
解析：
设切点为（x0，bx0＋lnx0），
f′（x）＝b＋，则k＝b＋，
故切线方程为y－（bx0＋lnx0）＝（x－x0），
将（0,0）代入，可得x0＝e，则k＝b＋，
∴k－b＝.
答案：
[通法在握]
与切线有关问题的处理策略
（1）已知切点A（x0，y0）求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′（x0）．
（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k.
（3）求过某点M（x1，y1）的切线方程时，需设出切点A（x0，f（x0）），则切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），再把点M（x1，y1）代入切线方程，求x0.
[演练冲关]
1．曲线f（x）＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为________．
解析：
曲线f（x）＝2x－ex与y轴的交点为（0，－1）．
且f′（x）＝2－ex，所以f′（0）＝1.
所以所求切线方程为y＋1＝x，
即x－y－1＝0.
答案：
x－y－1＝0
2．（2018·南京、盐城高三二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝（m＞0）在x＝1处的切线为l，则点（2，－1）到直线l的距离的最大值为________．
解析：
把x＝1代入y＝，得y＝，
则切线l过点.
∵y′＝－，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝－.
∴切线l的方程为y－＝－（x－1），
即mx＋4y－3m＝0.
∴点（2，－1）到直线l的距离d＝＝＝＝＝＝＝≤＝，
当且仅当m＝，即m＝4时取“＝”，
故所求最大值为.
答案：
3．已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
（2）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解：
f′（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）．
（1）由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
（2）因为曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4（1－a）2＋12a（a＋2）＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，
所以a≠－.
所以a的取值范围为∪.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．（2019·常州调研）函数f（x）＝ex＋x2＋sinx的导函数f′（x）＝________.
答案：
ex＋2x＋cosx
2．（2018·镇江调研）函数f（x）＝（x＋1）2（x－1）在x＝1处的导数等于________．
解析：
由f（x）＝（x＋1）2（x－1）＝x3＋x2－x－1，得f′（x）＝3x2＋2x－1，
所以f′
（1）＝3＋2－1＝4.
答案：
4
3．（2018·苏州暑假测试）曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为____________．
解析：
因为y′＝ex，所以y＝ex在x＝0处的切线斜率k＝e0＝1，
因此切线方程为y－1＝1×（x－0），即x－y＋1＝0.
答案：
x－y＋1＝0
4．已知函数f（x）＝cosx，则f（π）＋f′＝________.
解析：
因为f′（x）＝－cosx＋（－sinx），
所以f（π）＋f′＝－＋·（－1）＝－.
答案：
－
5．（2019·苏州调研）已知函数f（x）＝－x3＋ax2＋b（a，b∈R）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是________．
解析：
∵f′（x）＝－3x2＋2ax＝－32＋，
当x＝时，f′（x）取到最大值.
∴＜1，解得－＜a＜.
答案：
（－，）
6．（2018·苏北四市调研）已知f（x）＝x3－2x2＋x＋6，则f（x）在点P（－1,2）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．
解析：
因为f（x）＝x3－2x2＋x＋6，
所以f′（x）＝3x2－4x＋1，所以f′（－1）＝8，
故切线方程为y－2＝8（x＋1），即8x－y＋10＝0，
令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－，
所以所求面积S＝××10＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2＋2xf′
（1），则f′
（2）＝________.
解析：
因为f（x）＝x2＋2xf′
（1），所以f′（x）＝2x＋2f′
（1），令x＝1，得f′
（1）＝2＋2f′
（1），解得f′
（1）＝－2，则f′（x）＝2x－4，所以f′
（2）＝2×2－4＝0.
答案：
0
2．已知f（x）＝ax4＋bcosx＋7x－2.若f′（2018）＝6，则f′（－2018）＝________.
解析：
因为f′（x）＝4ax3－bsinx＋7.
所以f′（－x）＝4a（－x）3－bsin（－x）＋7
＝－4ax3＋bsinx＋7.
所以f′（x）＋f′（－x）＝14.
又f′（2018）＝6，
所以f′（－2018）＝14－6＝8.
答案：
8
3．（2019·淮安调研）曲线y＝1－在点（－1，－1）处的切线方程为________．
解析：
因为y＝1－＝，
所以y′＝＝，y′
所以曲线在点（－1，－1）处的切线斜率为2，
所以所求切线方程为y＋1＝2（x＋1），即y＝2x＋1.
答案：
y＝2x＋1
4．（2018·无锡期末）在曲线y＝x－（x＞0）上一点P（x0，y0）处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为，则x0＝________.
解析：
因为y′＝1＋，切点P，x0＞0，
所以切线斜率k＝y′|x＝x0＝1＋，
所以切线方程是y－＝（x－x0）．
令y＝0，得x＝，即A；
令x＝0，得y＝－，即B.
所以S△OAB＝··＝＝，解得x0＝.
答案：
5．已知f（x）＝lnx，g（x）＝x2＋mx＋（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与f（x）图象的切点为（1，f
（1）），则m＝________.
解析：
因为f′（x）＝，
所以直线l的斜率为k＝f′
（1）＝1，
又f
（1）＝0，
所以切线l的方程为y＝x－1.
g′（x）＝x＋m，设直线l与g（x）的图象的切点为（x0，y0），
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，
解得m＝－2.
答案：
－2
6．（2018·淮安高三期中）已知函数f（x）＝x3.设曲线y＝f（x）在点P（x1，f（x1））处的切线与该曲线交于另一点Q（x2，f（x2）），记f′（x）为函数f（x）的导函数，则的值为________．
解析：
由f′（x）＝3x2，得f′（x1）＝3x，所以曲线y＝f（x）在点P（x1，x）处的切线方程为y＝3xx－2x，由解得Q（－2x1，－8x），所以x2＝－2x1，所以＝＝.
答案：
7．（2019·南通一调）已知两曲线f（x）＝2sinx，g（x）＝acosx，x∈相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为________．
解析：
f′（x）＝2cosx，g′（x）＝－asinx．设点P的横坐标为x0，则f（x0）＝g（x0），f′（x0）·g′（x0）＝－1，即2sinx0＝acosx0，（2cosx0）·（－asinx0）＝－1，所以4sin2x0＝1.即sinx0＝±，因为x0∈，所以sinx0＝，cosx0＝，所以a＝.
答案：
8．曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1（x∈[1,2]）上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．
解析：
设P（x0，x＋1），x0∈[1,2]，则易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线方程为y－（x＋1）＝2x0（x－x0），所以y＝2x0（x－x0）＋x＋1，设g（x）＝2x0（x－x0）＋x＋1，则g
（1）＋g
（2）＝－2x＋6x0＋2，所以S普通梯形＝×1＝－x＋3x0＋1＝－2＋，所以P点坐标为时，S普通梯形最大．
答案：
9．（2019·盐城中学月考）求下列函数的导数：
（1）y＝x2（lnx＋sinx）；
（2）y＝；
（3）y＝lnx.
解：
（1）y′＝2x（lnx＋sinx）＋x2＝2xlnx＋2xsinx＋x＋x2cosx.
（2）y′＝
＝.
（3）y′＝lnx＋·＝.
10．已知函数f（x）＝x3－4x2＋5x－4.
（1）求曲线f（x）在点（2，f
（2））处的切线方程；
（2）求经过点A（2，－2）的曲线f（x）的切线方程．
解：
（1）因为f′（x）＝3x2－8x＋5，所以f′
（2）＝1，又f
（2）＝－2，
所以曲线在点（2，f
（2））处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
（2）设曲线与经过点A（2，－2）的切线相切于点P（x0，x－4x＋5x0－4），
因为f′（x0）＝3x－8x0＋5，
所以切线方程为y－（－2）＝（3x－8x0＋5）（x－2），
又切线过点P（x0，x－4x＋5x0－4），
所以x－4x＋5x0－2＝（3x－8x0＋5）（x0－2），
整理得（x0－2）2（x0－1）＝0，解得x0＝2或1，
所以经过点A（2，－2）的曲线f（x）的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知曲线f（x）＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g（x）＝－lnx相切，则a的值为________．
解析：
由f（x）＝x3＋ax＋得，
f′（x）＝3x2＋a，f′（0）＝a，f（0）＝，
所以曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为y－＝ax.
设直线y－＝ax与曲线g（x）＝－lnx相切于点（x0，－lnx0），
g′（x）＝－，
所以
将②代入①得lnx0＝，
所以x0＝e
，
所以a＝－
＝－e
.
答案：
－e
2．（2018·启东中学高三测试）已知函数f（x）＝ax3＋3x2－6ax－11，g（x）＝3x2＋6x＋12和直线l：
y＝kx＋9，且f′（－1）＝0.
（1）求a的值；
（2）是否存在实数k，使直线l既是曲线y＝f（x）的切线，又是曲线y＝g（x）的切线？
如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解：
（1）由已知得f′（x）＝3ax2＋6x－6a，
因为f′（－1）＝0，所以3a－6－6a＝0，解得a＝－2.
（2）存在，理由如下：
由已知得，直线l恒过定点（0,9），
若直线l是曲线y＝g（x）的切线，
则设切点为（x0,3x＋6x0＋12）．
因为g′（x0）＝6x0＋6，
所以切线方程为y－（3x＋6x0＋12）＝（6x0＋6）（x－x0），
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