1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.
当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.
1.2确定三角形第三边的取值范围:
两边之差<第三边<两边之和.
2.三角形的主要线段
2.1三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.
①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；
②直角三角形三条高线交于直角顶点；
③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点
2.2三角形的角平分线
三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三条角平分线交于三角形内部一点.
2.3三角形的中线
连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线交于三角形内部一点.
三、三角形的角
1三角形内角和定理
结论1：
△ABC中：
∠A+∠B+∠C=180° ※三角形中至少有2个锐角
结论2：
在直角三角形中，两个锐角互余． ※三角形中至多有1个钝角
注意：
①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角
如：
在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）
②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．
如：
△ABC中，已知∠A：
∠B：
∠C=2：
3：
4，求∠A、∠B、∠C的度数
2三角形外角和定理
2.1外角：
三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角．
2.2性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补
2.3外角个数：
过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角
四、三角形的分类
（1）按角分：
①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形
（2）按边分：
①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形
五多边形及其内角
1、多边形的定义：
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
2、正多边形:
各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
3、多边形的对角线
（1）从n边形一个顶点可以引（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形。
（2）n边形共有
条对角线。
4、n边形的内角和等于（n－2）·180°（n≥3，n是正整数）。
任意凸形多边形的外角和等于360°
※多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.
※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；
※多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角.
5、实现镶嵌的条件：
拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。
【考点三】判断三角形的形状
8、若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC的形状。
9、已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。
10、若△ABC的三边为a、b、c（a与b不相等），且满足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0，试判断△ABC的形状。
二、三角形角有关计算
1.如图△ABC中AD是高,AE、BF是角平分线，它们相交于点O,∠A=50°,∠C=70°求∠DAC,∠AOB
解∵AD是△ABC的高,∠C=70°
∴∠DAC=180°-90°-70°=20°
∵∠BAC=50°
∴∠ABC=180°-50°-70°=60°
∵AE和BF是角平分线
∴∠BAO=25°,∠ABO=30°
∴∠AOB=180°-25°-30°=125°
2.如图,△ABC中,D是BC边上一点，∠1=∠2,∠3=∠4，∠BAC=63°,求∠DAC的度数
3.已知：
P是△ABC内任意一点.求证：
∠BPC＞∠A
4.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°，求x的值
5.已知△ABC的∠B、∠C的平分线交于点O。
求证：
∠BOC=90°+∠A（角平分线模型）
6.已知：
BP、CP是△ABC的外角的平分线，交于点P。
求证：
∠P=90°-∠A（角平分线模型）
7.△ABC中，∠ABC的平分线BD和△ABC的外角平分线CD交于D，求证：
∠A=2∠D（角平分线模型）
8.△AOB中，∠AOB=90°,∠OAB的平分线和△ABC的外角∠OBD平分线交于P，求∠P的度数
9.如图：
求证：
∠A+∠B+∠C=∠ADC（飞镖模型）
第12章全等三角形
一、全等三角形的概念与性质
1、概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（1）表示方法：
两个三角形全等用符号“≌”来表示，记作
≌
2、性质：
（1）对应边相等
（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等
二、全等三角形的判定
1全等三角形的判定方法：
（SAS）,（SSS）,（ASA）,（AAS）,（HL）
边边边（SSS）
边角边（SAS）
角边角（ASA）
角角边AAS
直角边和斜边（HL）
三边对应相等的两三角形全等
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.
有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）
2．全等三角形证题的思路：
3全等三角形的隐含条件：
①公共边（或公共角）相等②对顶角相等
③利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等
④利用平行线的性质得出同位角、内错角相等
全等三角形（SAS）
【知识要点】
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示
如图，在
和
中，
≌
【典型例题】
【例1】已知：
如图，AB=AC，AD=AE，求证：
BE=CD.
证明：
在△ABE和△ACD中，
AB=AC，
∠BAE=∠CAD
AD=AE
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴BE=CD.
【例2】如图，已知：
点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？
给出证明.
【例3】如图已知：
AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE的度数.
【例4】如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC。
求证：
BC∥EF。
【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。
求证：
BD＋CD=AD。
全等三角形（SSS）
【知识要点】
三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”，
几何表示
【典型例题】
【例1】如图，在
中，M在BC上，D在AM上，AB=AC,DB=DC求证：
AM是
的角平分线
证明:
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
DB=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD=∠CAD
又∵AB=AC
∴MB=MC
∴AM是
的角平分线（三线合一）
【例2】如图：
在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。
求证：
BD⊥AC。
例3.如图：
AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：
∠B=∠C。
例4.如图，在
中,
，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：
DE⊥AB。
全等三角形（AAS）
【知识要点】
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”，
【典型例题】
【例1】已知如图，
，求证：
BC=EF
【例2】如图，AB=AC，
，求证：
AD=AE
【例3】已知：
如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：
BE=CD．
【例4】已知如图，
，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？
试证明之．
全等三角形（ASA）
【知识要点】
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”，
【典型例题】
【例1】如图，已知
中，
，
、
分别是
及
平分线．求证：
．
【例2】如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：
HN＝PM.
证明：
∵MQ和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，
又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2
在△MPQ和△NHQ中，
∴△MPQ≌△NHQ（ASA）∴PM＝HN
【例3】已知：
如图AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,M是AB的中点,连结CM并延长交BD于点F。
求证：
AC=BF．
全等三角形（HL）
【知识要点】
直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”
【典型例题】
1、如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，
．求证：
．
例2、已知：
BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：
①△BEC≌△DAE；②DF⊥BC．
例3、如图：
在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。
（1）求证：
MN=AM+BN。
全等三角形常见辅助线的作法
一倍长中线法
倍长中线法:
就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
倍长中线法的过程：
延长××到某点，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）
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