新高考数学二轮冲刺圆锥曲线全归纳压轴题全解析.docx

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新高考数学二轮冲刺圆锥曲线全归纳压轴题全解析

第一章轨迹方程

动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨

迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标x,y所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，

相关点法（代入法），参数法.

第一节：

直译法:

如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只

需把这些关系“翻译”成含x,y的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不

需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法.

【例1】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与

BP的斜率之积等于-，求动点P的轨迹方程.

3

1

A（0,-1）,B

点在直线y=-3上，M点满足

【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知点

MBOA,MAAB=MBBA，M点的轨迹为曲线C，求C的方程。

【例3】已知抛物线C：

y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l,l分别交C于A，B两点，

12

（+）⋅=0，即（-x,-4-2y）⋅（x,-2）=0，即y=1x2-2。

MAMBAB

4

B（x,-3）,MA=（-x,-1-y）,MB=（0,-3-y）,AB=（x,-2），由题意可知

解析设M（x,y），因为A（0,-1），M点满足MB//OA，所以

得y-1y+11，化简得x2+3y2=4（x≠±1），故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）

=-

x+1x-13

解析：

因为点B与点A（-1,1）关于原点O对称，所以点B的坐标为（1,-1），设点P（x,y），由题意

交C的准线于P，Q两点．

（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；

（II）若∆PQF的面积是∆ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x-（a+b）y+ab=03分

由于F在线段AB上，故1+ab=0.

设满足条件的AB的中点为E（x,y）.

当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y2=x-1

而a+b=y，所以y2=x-1（x≠1）.

2

当AB与x轴不垂直时，由k=k可得2=y（x≠1）.

ABDEa+bx-1

由题设可得1b-ax-1=，所以x=0（舍去），x=1.

212211

a-b

（2）设l与x轴的交点为D（x,0），则S=1b-aFD=1b-ax-1,S=.

1∆ABF2212∆PQF2

a-b

k=a-b=a-b=1=-ab=-b=k.所以AR∥FQ.

11+a2a2-abaa2

记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则

a2b2111a+bA（2,a）,B（2,b）,P（-2,a）,Q（-2,b）,R（-2,2）.

【解析】

（1）由题设F（1,0）.设l:

y=a,l:

y=b，则ab≠0，且

212

第二节：

定义法:

若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则

可根据定义直接求出方程中的待定系数，故又称待定系数法。

【例1】设定点F（0,-3）、F（0,3），动点P满足条件PF+PF=a+9（a>0），则点P的轨迹（

）

1

2

12

a

A．椭圆

B．线段

C.不存在

D．椭圆或线段

当

时，

，所以点一定在线段

上，故其轨迹是一条线段；当

时，

，即

，椭圆上任意一点到两定点的距离之和为定值，

所以点的轨迹是一个椭圆。

故本题正确答案为D。

x2

y2

【例2】如图10-15所示，F1,F2为椭圆+=1的左，右焦点，A为椭圆

43

上任因点，过焦点F2向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，并延长F2D

交F1A于点B，则点D的轨迹方程是，点B的轨迹方程是

【例3】设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于

C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

O为FF中点,所以OD1BF,OD=1（AF+AF）=2,则点D的轨迹为以O为圆心,2为

1221212

半径的圆,故点D的轨迹为x2+y2=4（y≠0）,同理,点B的轨迹是以F（-1,0）为圆心,4为半径

1

的圆,故点B的轨迹方程为（x+1）2+y2=16（y≠0）.

解析因为∠BAD=∠F2AD,AD⊥BF2,所以ADF2≌ADB故BD=F2D,BA=F2A,又

由题意得（当且仅当时取等）。

EA+

EB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（I）证明

第三节：

相关点法:

有些问题中，所求轨迹上点M（x,y）的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点M'（x',y'）相关联

的，这时要通过建立这两点之间关系，并用x,y表示x',y'，再x',y'将代入已知曲线方程，即得x,y

关系式.

【例1】如图10--17所示，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴

4

5

=

上的射影，M为PD上一点，且

MD

PD

，当P在圆上运动时，求点M的

轨迹C的方程.

⎧x=x0

⎧x0=x

4⎪

|MD|=|PD|，所以

⇒⎪

2

2

，又P（x,y）在圆上，所以x2+（5y）2=25，即x+=1，

y

⎨4

⎪y=y

⎨y

=5y

4

00

5

4

2516

⎪⎩

0

0

⎩5

x2

y2

+=1（y≠0）。

故点M的轨迹C的方程为

2516

解析设M的坐标为（x,y），P的坐标为（x0,y0），因为M为PD上一点，且

x2+y2=≠

1（y0）.

43

由题设得A（-1,0），B（1,0），|AB|=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：

又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4.

所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.

试题解析：

（Ⅰ）因为|AD|=|AC|，EB//AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，

x2

【例2】已知椭圆

2

+y

=1（a>b>0），M为椭圆上一动点，F

为椭圆的左焦点，则线段MF

1

1

a2b2

的中点P的轨迹是（）

A圆

B椭圆

C线段

D一段抛物线

即线段MF1的中点P的轨迹是椭圆。

故选B。

:

x2=-2py（p>0），点M（x

）在抛物线C

【例3】如图10—19所示，抛物线C:

x2=4y,C

y

1

2

0

0

2

上，过M作C1的切线，切线为A,B（M为原点O时，A,B重合于O），当x0=1-

2时，切线

1

MA的斜率为-。

2

（1）求P的值

（2）当M

在C2上运动时，求线段AB中点N

的轨迹方程。

x2

x+x

x

xx

y=2（x-x

2

）+2

4

，⑥由⑤⑥得MA,MB的交点M（x,y）的坐标为x

=12,y=12

。

因为点

2

00

0

0

2

4

x2+x2

M（x,y）在C上，即x2=-4y，所以xx

=-12

6

⑦

00

2

0

0

12

x2+x2xx2

y=12，④切线MA，MB的方程为y=1（x-x）+1，⑤

8214

x2x2x+x

（2）设N（x,y）,A（x,1）,B（x,2）,x≠x,由N为线段AB中点知x=12，③

1424122

因为点M（1-2,y）在切线MA及抛物线C上，于是y=-1（2-2）+1=-3-22，①

020244

（1-2）23-22

y0=-2p=-2p②，由①②得p=2。

为y'=x，且切线MA的斜率为-1，所以A点的坐标为（-1,1），故切线MA的方程为y=-1（x+1）+1。

22424

解析

（1）因为抛物线C:

x2=4y上任意一点（x,y）的切线斜率

1

⎧x=x0-c

⎪2⎧x0=2x+c（2x+c）24y2

解析设点M（x0,y0）,P（x,y），则⎨y，得⎨y=2y代入椭圆方程中，得a2+b2=1，

⎪y=0⎩0

⎩2

第四节：

参数法:

有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）

该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标（x,y）中的x,y

分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参

数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的

参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率

及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取

值范围的影响.

x2

y2

【例1】如图10—20所示，椭圆C0:

+=1（a>b>0,a,b为常数），动圆

2

2

ab

C:

x2+y2=t2,b

1

1

1

12

0

10

四点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.

x2y2x2

由点A（x,y）在椭圆C上，故1+1=1，从而y2=b2（1-1），代入③得交点M的轨迹方程：

110a2b21a2

-y-y2

直线AB方程为y=1（x-a）②，由①②得y2=1（x2-a2）③

2x-ax2-a2

11

解析设A（x,y）,B（x,-y）又知A（-a,0）,A（a,0），则直线AA方程为y=y1（x+a）①

1111121x+a

1

由③④⑦得x2=4y,x≠0。

当x=x时，A,B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2=4y。

因

3123

此AB中点N的轨迹方程为x2=4y。

3

x2-y2

=1（x<-a,y<0）。

a2b2

第二章常见条件翻译转化

第一节:

三角形的面积表达

一、直线l与圆锥曲线C的位置关系的判断

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+c=0

代入圆锥曲线C的方程F（x,y）=0

消去y（也可以消去x）得到关系一个变量的

⎧⎪Ax+By+c=0

消去y后得ax+bx+c=0

2

⎨

一元二次方程,,即

（）

Fx,y=0

⎪⎩

（1）当a=0时,即得到一个一元一次方程,则l与C相交,且只有一个交点,此时,

若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线

的对称轴平行

（2）当a≠0时,∆>0,直线l与曲线C有两个不同的交点;∆=0,直线l与曲

线C相切,即有唯一的公共点（切点）;∆<0,直线l与曲线C

二、圆锥曲线的弦

连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦

直线l:

f（x,y）=0,曲线C:

F（x,y）=0,A,B

为l与C的两个不同的交点,坐标分别为

⎧⎪f（x,y）=0

A（x1,y1）,B（x2,y2）,则A（x1,y1）,B（x2,y2）是方程组⎨

的两组解,

⎪⎩F（x,y）=0

方程组消元后化为关于x或y的一元二次方程Ax2+Bx+c=0（A≠0）

判别式

∆=B2-4AC,应有∆>0,所以x,x是方程Ax2+Bx+c=0的根,由根与系数关

12

B

C

系（韦达定理）求出x1+x2=-A,x1x2=,所以A,B两点间的距离为

A

∆

A

（x1+x2）

2

=1+k

2

x1-x2

=1+k

2

-4x1x2=1+k

2

AB

即弦长公式,弦长

公式也可以写成关于y的形式

（y1+y2）-4yy（k≠0）

2

12

=1+k2

y1-y2

=1+k2

AB

三、三角形面积求法

x2+y2

=t

【例1】.已知椭圆a2

（a＞b＞0）的左焦点为F（-c，0）,右顶点为A,点E的坐标为

b2

b2

（0，c）,EFA的面积为2.

（I）求椭圆的离心率;

（II）设点Q在线段AE上,|FQ|=3c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M，N在x轴

2

上,PMQN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.

（i）求直线FP的斜率;

（ii）求椭圆的方程.

又由b2=a2﹣c2,可得2c2+ac﹣a2=0,即2e2+e﹣1=0.又因为0＜e＜1,解得e=t

2.

tb2

【解答】解:

（1）设椭圆的离心率为e.由已知,可得（c+a）c=.

22

方法

1底⨯高

2

1absinC

2

拆分:

S=1FFy-y,S=1FFx-x

∆21212∆21212

适合题型

一切题型

边角已知的题

过定点的题

备注

不一定简单

简单

简单

.

2

.

.

（c+c）2+（3c）2=5c

2,

2

两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.

【例2】.如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为

2m,2n（m>n）,过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为

所以

75c2

同理¡÷FPM的面积等于32,

2=2c,又由c>0,得c=2.

75c2

由四边形PQNM的面积为3c,得32݉

线段PQ的长即为PM与QN这

进而可得|ܨP|=

7x2+6cx﹣13c2=0,解得x=݉t3c

7

（ii）解

所以n=4

3

﹣4m=0,

3c

由已知|FQ|=2

的方程联立

xy

由

（1）知a=2c,可得直线AE的方程为+=t,即x+2y﹣2c=0,与直线FP

2cc

（2）（ⅰ

所以

x2y2

椭圆的方程为+=t.

t6t2

t

2|ܨQ||QN|

27c2

=

32

27c2

32=3c,整理得c

因为QN⊥FP,所以|QN|=|ܨQ|·ta㔠²QܨN=3c×3=9c,所以¡÷FQN的面积为

248

所以|PQ|=|ܨP|݉|ܨQ|=5c݉3c=c.由已知

22

（舍去）,或x=c.因此可得点P（c,3c）

2

3x݉4y+3c=䇅

由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0,与椭圆方程联立x2+y2=t消去y,整理得

4c23c2

x2y2

:

由a=2c,可得b=3c,故椭圆方程可以表示为2+2=t

4c3c

即直线FP的斜率为

3

4

有[（2n݉2）c+c]2+（3c）2=（3c）2,整理得3m

n+2n+22

可解得x=（2n݉2）c,y=3c,即点Q的坐标为（（2n݉2）c,3c）

n+2n+2n+2n+2

t

）依题意,设直线FP的方程为x=my﹣c（m>0）,则直线FP的斜率为.

n

椭圆的离心率为

t

;

2

A,B,C,D.记λ=m,△BDM和△ABN的面积分别为S和S.

12

n

（1）当直线l与y轴重合时,若S=λS,求λ的值;

12

（2）当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S=λS?

并说明理由.

12

y

A

B

M

O

Nx

C

D

（1）解法1:

如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则

|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;

S=1|BD|⋅|OM|=1a|BD|,S=1|AB|⋅|ON|=1a|AB|.

122222

解法2:

如图1,若直线l与y轴重合

则

故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=2+1.

若S1=λ,则λ+1=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ=2+1.

S2λ-1

于是|BD|=|yB-yD|=m+n=λ+1.

|AB||yA-yB|m-nλ-1

在C1和C2的方程中分别令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,

S=1|BD|⋅|OM|=1a|BD|,S=1|AB|⋅|ON|=1a|AB|,所以S1=|BD|.

122222S|AB|

2

x2y2x2y2m

C1:

a2+m2=1,C2:

a2+n2=1.其中a>m>n>0,λ=n>1.

【答案】依题意可设椭圆C1和C2的方程

分别为

y

y

A

B

A

B

x

Nx

M

OC

D

第22题解答图1

N

M

O

C

D

第22题解答图2

不妨设直线l:

y=kx（k>0）,

由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=（λ-1）|AB|,

|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|,于是

将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得

|AD|=λ+1.①

|BC|λ-1

又S=1|BD|d,S=1|AB|d,所以S1=|BD|=λ,即|BD|=λ|AB|.

121222S|AB|

2

因为d=|-ak-0|=ak,d=|ak-0|=ak,所以d=d.

12222212

1+k1+k1+k1+k

点M（-a,0）,N（a,0）到直线l的距离分别为d1,d2,则

（2）解法1:

如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,

故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=2+1.

若S1=λ,则λ+1=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ=2+1.

S2λ-1

所以S1=|BD|=m+n=λ+1.

S2|AB|m-nλ-1

从而由①和②式可得

不妨设直线l:

y=kx（k>0）,

又S=1|BD|d,S=1|AB|d,所以S1=|BD|=λ.

121222S|AB|

2

因为d=|-ak-0|=ak,d=|ak-0|=ak,所以d=d.

1222