数学之旅测试题Word格式.docx

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Calabi-Yau空间

11下面哪一位人物用穷竭法证明了圆的面积与其直径平方成正比？

欧多克索斯

12以下什么成果是阿基米德首先得到的?

抛物线弓形的面积

13阿基米德求几何级数的和用的是什么方法？

几何的方法

14欧多克索斯、阿基米德和刘徽等人对微积分的贡献主要体现在什么方面？

定积分

15《一种发展连续不可分量的新几何学的方法》是下列哪位数学家的著作？

卡瓦列里

16现在我们一直在用的“函数（function）”这个词是谁引进的？

莱布尼兹

17本课程提到的最美的风景点是指？

牛顿-莱布尼兹公式

18一直沿用至今的ε-δ语言是哪位数学家引入的？

魏尔斯特拉斯

19康托尔所创立的什么理论是实数以至整个微积分理论体系的基础？

集合论

20下面关于黎曼可积和勒贝格可积的论述那一项是正确的？

黎曼可积函数类是不完备的，勒贝格可积函数类是完备的

21试用阿基米德的方法求下面几何级数的和。

22计算加百列号的表面积与体积，并解释为何在这个号角里面灌满油漆，油漆的体积是有限的，但它却能够涂满无限的表面积？

23举例说明黎曼积分中积分号和极限号有时不可交换，并给出可交换时需要的条件。

24下列四个定义中，哪个不能作为Rn中的度量（距离）？

25度量的三个基本属性中不包括下列哪一个？

连续性（三角不等式，正定型，对称性）

26下列关于度量和范数的说法中正确的是？

由范数可以定义距离，但由距离不可以定义范数

27下列说法中不正确的是？

对

，若

为

的范数，则下列说法中不正确的是？

若

为实数，则有

28以下现象可以用什么原理来解释？

在三维空间中，波的传播有清晰的前后阵面，但是在二维空间中却没有？

惠更斯原理

29下列选项中正确的是？

以下向量组中哪个不能构成

的基向量？

（0，1，1），（2，1，1），（1，0，0）

30下列哪个选项是正确的？

若向量a=（1，0，5，2），b=（3，-2，3，-4），c=（-1，1，t，3）线性相关，那么t的值为？

1

31下列选项正确的是？

向量

和

的夹角为？

32下列说法哪一个是正确的？

向量组

线性无关的充分必要条件是？

齐次线性方程组

只有零解

33下列哪个属性不是内积所具有的？

三角不等式（对称性，对第一个变元的线性性，正定性）

34给定一个集合

，试验证下面两个集族是否构成集合M上的拓扑？

1）.

2）.

35随着网络的迅速发展，人们越来越多的使用e-mail联系和交流。

试通过任意两人之间在一段时间内的e-mail交流的次数来定义一个距离，使得交流多的距离近，交流少的距离远，并验证它满足度量（距离）的三条属性。

36函数ƒ 

（x）=x2+5x+4在实数域上的不动点是什么？

-2

37假如你正在一个圆环形（注意是圆环形）的公园内游玩，手里的公园地图不小心掉到了地上，问此时地图上是否有一点，使得这个点下面的地方刚好就是它在地图上所表示的位置？

38慢慢搅动咖啡，当它再次静止时，问咖啡中是否有一点在搅拌前后位置相同？

39定义在[0,1]上的连续函数空间是几维的？

无限维。

40若把一圆周绕着圆心旋转90°

，问在圆周上是否有不动点？

没有

41美籍法裔经济学家G.Debreu由于什么贡献而获得了1983年的诺贝尔经济学奖？

运用不动点理论进一步发展了一般均衡理论；

42下列哪种体现了压缩映像的思想？

合影拍照

43电影“Abeautifulmind”中男主人公的原型既是一位经济学家，又是一位大数学家，他的名字是？

J.F.Nash

44假如你正在一个圆形的公园内游玩，手里的公园地图不小心掉到了地上，问此时你能否在地图上找到一点，使得这个点下面的地方刚好就是它在地图上所表示的位置？

能

45下列陈述哪一项是正确的？

有限维空间中的有界无穷集合必有收敛子列，无穷维则不然

46假设消费者甲有6辆自行车，0台计算机，消费者乙有3辆自行车，6台计算机。

甲和乙都想1/2用于自行车，1/2用于计算机，请找到一种定价方式使之达到供求均衡？

解：

设自行车定价为X,计算机定价为Y.并设最终甲有自行车k辆计 

算机L台，则乙最终有自行车9-k辆计算机6-L台.

基于条件可列如下等式：

对甲：

6X=kX+LY;

kX=LY=6X*1/2;

得到k=3,L=3X/Y.

对乙：

3X+6Y=（9-k）X+（6-L）Y;

（9-k）X=（6-L）Y=（3X+6Y）*1/2;

代入k=3得L=2,3X=2Y.可记X=2t,Y=3t（t>

0）.

综上所述，在自行车定价为2t计算机定价3t条件下可使供求 

达到平衡.此时，甲有自行车3辆计算机2台，乙有自 

行车6辆计算机4台.

47（双煎饼问题）有两张形状任意的煎饼，任意重叠在一起，问能够一刀切下去，同时将两煎饼二等分吗，如果能，请说明理由。

能。

（以下把煎饼抽象成平面上的封闭凸域）理由如下：

先给个简单小引理：

即对一个煎饼，不论相对形状如何，必可切一刀，使它面积二等 

分。

（请见附件咯）

再应用连续函数的介值定理即可（对于凹域可以转化为多个凸域证明）。

三煎饼问题证明（不重叠情形）：

如图（请见附件），在两封闭凸域P,Q间任取一点O，作一水平轴作参考系，将0X逆时针旋转到OX0 

与两图形相交。

证明过程请见附件（原谅我很对新系统无语）

48拟微分算子在20世纪60年代成为了一种系统的数学理论，它的集大成者为下列哪位数学家？

L.Hormander

49有一段声乐可以用y=asin（bt）来表示，那么这段声乐的音量是由其中哪个数值决定的？

a

50间断函数

能不能由Fourier级数表出？

51式子

的值为？

52一个音叉振动的位移与时间的关系式为y=0.01sin400πt，那么这个音叉的振动的振幅和频率分别为？

0.01，200

53频率表示的是物体每单位时间（每秒）振动的次数，它是以什么为单位的？

赫兹

54光的三原色是什么？

红蓝绿

55下列哪个著作可视为调和分析的发端？

《热的解析理论》；

56振动快的波相对于振动慢的波称为什么波？

高频波

57分数阶导数可以由什么理论来定义？

Fourier分析

58 

f（x）是周期为

的函数，且

写出f（x）的Fourier级数

其中Fourier系数

59求调制信号的表达式。

如果载波信号为

，调制信号为

，那么经过调幅后的已调波的表达式

其中

，k是一个比例常数。

试用上面给出的调幅信号的表达公式来求解以下问题：

已知一个载波信号为

，经过调制后的已调波为

，假设比例常数k=1，求调制信号的表达式。

60皮亚诺曲线是一条填满正方形的曲线，那么它的相似维数是多少呢？

2

61科克曲线的Hausdorff维数是多少？

ln4/ln3

62一个外径为3，内径为2的圆环的Hausdorff维数是多少？

63下列和混沌与分形最不相关的是？

三角初等函数

64费根鲍姆（Feigenbaum）在研究混沌理论时，发现前两个分叉点参数距离是后两个分叉点参数距离的4.669...倍，这个现象说明了？

非线性系统造成的混沌中有一定规律

65若

，那么a是周期为多少的点呢？

3

66具体到每时每刻的长期天气预报是可能的吗，为什么？

不可能，由于蝴蝶效应

67蝴蝶效应指的是初始值的微小变化可以极大地影响结果，可以用于股票、天气等一段时间内难以预测的复杂系统中，那么蝴蝶效应来源于谁的发现呢？

洛伦兹

68科克曲线所围的图形面积是有限的吗？

有限

69为了使肺泡与空气有更多的接触面，人的肺泡结构十分复杂，其表面的Hausdorff维数是多少呢？

接近于3

70设生成科克曲线（Kochcurve）的初始三角形为边长为1的单位正三角形。

（i） 

试求出科克曲线所围图形的面积；

（ii） 

证明科克曲线长度为无穷大。

图形的一部分，依此画下去

当n趋于无穷时，Sn=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$2√35 

71试求此康托尔集的Hausdorff维数。

将封闭的[0,1]区间3等分,删去中间的开区间（1/3,2/3），然后把剩下的2个闭区间[0,1/3]，[2/3,1]再3等分，并删去中间的2个开区间，即（1/9,2/9），（7/9,8/9），如此继续下去，自然有些点永远删不去，比如1/3,2/3等，这些点的集合称为康托尔（Cantor）集。

试求此康托尔集的Hausdorff维数.

1.将封闭的[0,1]区间3等分,删去中间的开区间（1/3,2/3）是其中的一份，剩下的是其中的两份，并按照此法继续下去，根据相似性维数的定义把对象在长度上缩小成员对象的1/3，并取其中图形的2个相似图形组成新图形，可得康托尔集的Hausdorff维数D=log2/log3

2.把剩下的2个闭区间[0,1/3]，[2/3,1]再3等分，并删去中间的2个开区间，即（1/9,2/9），（7/9,8/9），分法上次一样依此继续下去，都能得到康托尔集的Hausdorff维数D=log2/log3

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