上海交通大学大学物理静电场4.pdf

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上次课主要内容上次课主要内容环流定理环流定理电势能与电势电势能与电势0dLlE）（）（0d）（）（baablEqWWbalEd）（abVV0qWV0PPPldEV点电荷的电势点电荷的电势rqVo4点电荷系的电势点电荷系的电势iiiiirqVV04连续分布电荷的电势连续分布电荷的电势rdqV04电势叠加原理电势叠加原理一、等势面一、等势面1V2312VVczyxV,通常约定相邻等势面的电势差为常量，可以得到一系列的等势面通常约定相邻等势面的电势差为常量，可以得到一系列的等势面将电势相等的场点连成连续的曲面将电势相等的场点连成连续的曲面等势面等势面满足方程：

满足方程：

2V3V11.6电势与电场强度的关系电势与电场强度的关系二、等势面的性质二、等势面的性质1.电荷沿等势面移动，电场力不做功电荷沿等势面移动，电场力不做功0VqA2.电场强度与等势面正交；电场强度与等势面正交；电力线由电势高的地方指向电势低的地方电力线由电势高的地方指向电势低的地方lEqAdd00dlE（a）（b）沿电力线方向沿电力线方向）（1212WWA0012Aq时，当012VV21VV3.等势面密集处场强量值大，稀疏处场强量值小等势面密集处场强量值大，稀疏处场强量值小.ConstlEVlE1）,（12VVq二、电势梯度由势能函数与保守力的关系二、电势梯度由势能函数与保守力的关系:

ppppErFrdrFrE）（）（）（0VqWEqFVqldEqldFWppppp000000对静电场对静电场（力力）,有有:

势能梯度势能梯度VE电势梯度电势梯度VV+dVnEbaldldEqVVVqAab00ddlEVdcosdlVEElddcos电势梯度电势梯度矢量：

矢量：

nlVddn记为：

记为：

VVgrad或或电势梯度的电势梯度的大小大小等于电势在该点最大空间变化率；等于电势在该点最大空间变化率；方向方向沿等势面法向，指向电势增加的方向。

从等势面的性质讨论沿等势面法向，指向电势增加的方向。

从等势面的性质讨论:

VE电场强度与电势梯度大小相等，方向相反！

电场强度与电势梯度大小相等，方向相反！

lEVE直角坐标系中：

直角坐标系中：

kzVjyVixVVkzVjyVixVkEjEiEEzyx在球坐标系中：

在球坐标系中：

eVreVrerVVErsin11场强与电势的关系：

场强与电势的关系：

0dPPlEVVE解：

解：

2202202202424xrrdrxrrdrxrdqdV）（2222002200xxRxrrdrdVVRR例、例、已知均匀带电圆盘，半径为已知均匀带电圆盘，半径为R,面电荷密度为面电荷密度为,求圆盘轴线上任一点求圆盘轴线上任一点P的电势，并从电势出发计算的电势，并从电势出发计算E。

oxrdrpdx）1

（2）（2220220xRxxxRxxVEx0,0zyEE由对称性由对称性例、例、计算电偶极子计算电偶极子（q,l）电场的电势和场强电场的电势和场强解：

解：

0。

xy-q+qrrrP1、电势、电势rrrrqrqrqV0004）（442,cosrrrrr202044cosreprqVr2、场强、场强30204cos2）4cos（rprprrVEr30204sin）4cos（rprprrVElqp电矩电矩lree0E讨论：

讨论：

分解电矩法求电偶极子所在平面任意位置处的电场总电偶极矩的场等于各分电矩场的矢量和。

分解电矩法求电偶极子所在平面任意位置处的电场总电偶极矩的场等于各分电矩场的矢量和。

ppercosppesin30304cos242rprpEerr30304sin4rprpEe而延长线上的电场：

而延长线上的电场：

rp中垂线上的电场：

中垂线上的电场：

p结果与按两点电荷的场叠加方法相同。

结果与按两点电荷的场叠加方法相同。

PrrEErpepp分解电矩求电场分解电矩求电场o第第12章导体电学章导体电学理论基础为：

静电场的高斯定理与环流定理，电荷守恒定律。

理论基础为：

静电场的高斯定理与环流定理，电荷守恒定律。

静电场与物质的相互作用问题静电场与物质的相互作用问题：

（1）物质在静电场中要受到电场的作用，表现出宏观电学性质；

（1）物质在静电场中要受到电场的作用，表现出宏观电学性质；

（2）物质的电学行为也会影响电场分布，最后达到静电平衡状态。

（2）物质的电学行为也会影响电场分布，最后达到静电平衡状态。

0diiSqSE0dLlE引言引言iiqconst.导体导体*物质分类*物质分类*导体、电介质和半导体与静电场作用的物理机制各不相同。

导体、电介质和半导体与静电场作用的物理机制各不相同。

绝缘体绝缘体半导体半导体金属导体金属导体内存在大量的自由电子（在晶格离子的正电背景下）内存在大量的自由电子（在晶格离子的正电背景下）与导体相对，与导体相对，绝缘体绝缘体内没有可自由移动的电子内没有可自由移动的电子称电介质称电介质本章讨论金属导体本章讨论金属导体半导体内有少量的可自由移动的电荷半导体内有少量的可自由移动的电荷超导体（超导体（0）0）第第12章导体电学章导体电学12.1静电场中的导体静电场中的导体12.2电容器及电容电容器及电容12.3传导电流电动势及稳恒电场传导电流电动势及稳恒电场13.5静电场的能量静电场的能量静电感应起电机产生等量异种电荷验电器一、导体的静电感应现象静电感应起电机产生等量异种电荷验电器一、导体的静电感应现象12.1导体的静电平衡性质导体的静电平衡性质oE-FE-+Ei=0EEii=0=0-+静电感应：

静电感应：

在外电场影响下，导体表面不同部分出现正负电荷的现象。

在外电场影响下，导体表面不同部分出现正负电荷的现象。

静电平衡：

静电平衡：

感应电荷感应电荷产生的附加电场与外加电场在导体内部相抵消。

此时，导体内部和表面没有电荷的宏观定向运动。

产生的附加电场与外加电场在导体内部相抵消。

此时，导体内部和表面没有电荷的宏观定向运动。

0EEEi0E二、导体的静电平衡性质二、导体的静电平衡性质1、导体、导体内部的场强处处为零内部的场强处处为零。

导体表面的场强垂直于导体的表面。

导体表面的场强垂直于导体的表面。

2、导体内部和导体表面处处电势相等，整个导体是个、导体内部和导体表面处处电势相等，整个导体是个等势体等势体。

导体表面成为。

导体表面成为等势面等势面。

-FEi=0E0EEEi00dlE表面E=0E=0三、静电平衡下导体上的电荷分布三、静电平衡下导体上的电荷分布1、在静电平衡下，导体所带的电荷只能分布在导体的表面，导体内部没有净电荷。

、在静电平衡下，导体所带的电荷只能分布在导体的表面，导体内部没有净电荷。

SiSqSE01d00iqE+导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面。

导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面。

2、静电平衡下的、静电平衡下的孤立导体孤立导体，其表面处，其表面处面电荷密度与该表面曲率有关面电荷密度与该表面曲率有关，曲率（，曲率（1/R）越大的地方电荷密度也越大，曲率越小的地方电荷密度也小。

当表面凹进，曲率为负值时，电荷面密度更小。

）越大的地方电荷密度也越大，曲率越小的地方电荷密度也小。

当表面凹进，曲率为负值时，电荷面密度更小。

+RRRRR+因此因此,孤立孤立的带电导体球的带电导体球,长直圆柱长直圆柱,无限大平板表面电荷均匀分布无限大平板表面电荷均匀分布.特例：

特例：

相距很远的大小导体球用导线相连接电势相等：

相距很远的大小导体球用导线相连接电势相等：

rqRQ0044RrrqRQ2221/Q,R,1q,r,2+3、处于静电平衡的导体，其表面上各点的电荷密度与、处于静电平衡的导体，其表面上各点的电荷密度与表面邻近处表面邻近处场强的大小成正比。

场强的大小成正比。

由高斯定理：

由高斯定理：

0dSSESES0EnE0E=0SSEEn21EEE来自电荷来自电荷dS的贡献的贡献.其他电荷贡献其他电荷贡献.尖端放电尖端放电与无限大带电平面的场强公式比较？

与无限大带电平面的场强公式比较？

4.尖端放电避雷针电晕静电除尘4.尖端放电避雷针电晕静电除尘+-+-+唐代有书记载了这样一件事：

汉朝时柏梁殿遭到火灾，一位巫师建议，将一块鱼尾形状的铜瓦放在屋顶上，就可以防止雷电所引起的天火。

屋顶上所设置的鱼尾开头的瓦饰，实际上兼作避雷之用，可认为是现代避雷针的雏形。

唐代有书记载了这样一件事：

汉朝时柏梁殿遭到火灾，一位巫师建议，将一块鱼尾形状的铜瓦放在屋顶上，就可以防止雷电所引起的天火。

屋顶上所设置的鱼尾开头的瓦饰，实际上兼作避雷之用，可认为是现代避雷针的雏形。

例、例、有任意形状的带电导体，已知其表面上某处的面电荷密度为,试求该处电荷元dS受到其余电荷作用的电场力。

有任意形状的带电导体，已知其表面上某处的面电荷密度为,试求该处电荷元dS受到其余电荷作用的电场力。

解：

解：

ds产生的场强为产生的场强为:

nneeE00221（外侧）（外侧）ds+ne导体表面上其余电荷在导体表面上其余电荷在dS内外侧产生的场强内外侧产生的场强.:

2E内侧的总场强内侧的总场强:

021EEE（内侧）由此算得（内侧）由此算得neE022导体表面外侧的总场强导体表面外侧的总场强:

neEEE021电荷元电荷元ds受到的电场力受到的电场力:

nedsEdsF0222ds+nenneeE00221（外侧）（内侧）（外侧）（内侧）neE022讨论讨论1.2.若导体周围存在其他带电体若导体周围存在其他带电体,可以计算可以计算,导体表面电荷元导体表面电荷元ds受到的电场力表式同上受到的电场力表式同上.11.空腔内无电荷1.空腔内无电荷2.空腔内有电荷空腔内有电荷q电荷分布在导体内外两个表面，内表面感应电荷电荷分布在导体内外两个表面，内表面感应电荷-q。

外表面电荷分布与实心导体相同。

外表面电荷分布与实心导体相同.导体内部场强处处为零导体内部场强处处为零,空腔内场强处处为零。

空腔内场强处处为零。

导体壳与空腔形成导体壳与空腔形成等势区等势区。

空腔内表面无电荷。

空腔内表面无电荷。

导体内部场强处处为零导体内部场强处处为零.导体壳为导体壳为等势体等势体.空腔内场强不再为零空腔内场强不再为零,空腔内空腔内不再为等势区不再为等势区.+qqq三、导体空腔静电屏蔽三、导体空腔静电屏蔽

（1）空腔导体起到屏蔽外电场的作用。

根据导体腔的电学性质；可以利用空腔导体对腔内、外进行静电隔离。

空腔导体起到屏蔽外电场的作用。

根据导体腔的电学性质；可以利用空腔导体对腔内、外进行静电隔离。

-3.静电屏蔽的装置3.静电屏蔽的装置精密仪器精密仪器+

（2）接地的空腔导体可以屏蔽内电场的影响。

接地的空腔导体可以屏蔽内电场的影响。

-+电器电器+三、静电屏蔽的装置三、静电屏蔽的装置根据导体腔的电学性质；可以利用空腔导体对腔内、外进行静电隔离。

根据导体腔的电学性质；可以利用空腔导体对腔内、外进行静电隔离。

导体与静电场相互作用问题计算导体与静电场相互作用问题计算0导体内部EqSES01dLlE0diiqconst.导体静电平衡的条件导体静电平衡的条件静电场基本方程静电场基本方程电荷守恒定律电荷守恒定律例、例、两块大导体平板，面积为两块大导体平板，面积为S，分别带电，分别带电q1和和q2，两极板间距远小于平板的线度。

求平板各表面的电荷密度。

，两极板间距远小于平板的线度。

求平板各表面的电荷密度。

解：

解：

2341q1q2BBAA电荷守恒：

电荷守恒：

243121qSSqSS由静电平衡条件，导体板内由静电平衡条件，导体板内E=0。

02222022220403020104030201BAEESqq22141Sqq22132特例：

特例：

当两平板带等量的相反电荷时，当两平板带等量的相反电荷时，Qqq2141320SQ电荷只分布在两个平板的内表面！

由此可知：

两平板外侧电场强度为零，内侧电荷只分布在两个平板的内表面！

由此可知：

两平板外侧电场强度为零，内侧0E这就是平板电容器。

这就是平板电容器。

q1q2BA4132Sqq221Sqq2212341+qQq-q+由对称性和电荷守恒定律，电荷分布如图所示。

由对称性和电荷守恒定律，电荷分布如图所示。

可以等效为：

真空中三个中心相互重合的均匀带电球面。

可以等效为：

真空中三个中心相互重合的均匀带电球面。

例题例题金属球金属球A与金属球壳与金属球壳B同心放置。

已知球同心放置。

已知球A半径为半径为R1，带电为，带电为q，金属壳，金属壳B内外半径分别为内外半径分别为R2，R3，带电为，带电为Q。

求：

（。

求：

（1）系统的电荷分布（系统的电荷分布

（2）空间电势分布及球空间电势分布及球A和壳和壳B的电势。

解：

（的电势。

解：

（1）静电平衡时，导体（净）电荷只能分布在导体表面上。

）静电平衡时，导体（净）电荷只能分布在导体表面上。

球球A的电量只可能在球的表面。

的电量只可能在球的表面。

壳壳B有两个表面，电量分布在内、外两个表面。

有两个表面，电量分布在内、外两个表面。

（2）利用叠加原理求电势）利用叠加原理求电势rqVI04rq04rqQ04qqqQO1R2R3RIIIrqQ04rqVII043RrIBVV204Rq304RqQ1RrIIAVV*同样办法可以得到各个区域内的电场分布。

同样办法可以得到各个区域内的电场分布。

*注意外球壳接地时的电荷分布和电场分布情况。

内球接地？

注意外球壳接地时的电荷分布和电场分布情况。

内球接地？

AB例例同心放置的导体球壳同心放置的导体球壳A（+Q,R1,R2）和导体球和导体球B（+q,r）,距地面很远距地面很远.

（1）若若A通过导线与较远的地面相接通过导线与较远的地面相接,然后断开然后断开,求求A上的电荷分布和电势、上的电荷分布和电势、B的电势及的电势及P点点（rrPR）;（3）在距球心在距球心r2处放一点电荷处放一点电荷+q,（r2R）;解解:

O-Q

（1）RQVVo04表面电荷均匀分布于外表面电荷均匀分布于外表面,E内内=0.

（2）外表面电荷分布不均匀外表面电荷分布不均匀,E内内=0.O-Q+qr1由电势叠加原理由电势叠加原理:

10044rqRQVVo表面（3）O+qq-Q-q内表面不均匀分布电荷内表面不均匀分布电荷-q,外表面均匀分布电荷外表面均匀分布电荷q-Q,E内内0.20044rqRQVoRQqV04表面例：

例：

设一导体占有的半无限大空间，在导体右侧距离导体表面为设一导体占有的半无限大空间，在导体右侧距离导体表面为d处有一点电荷处有一点电荷q。

求导体表面上距原点。

求导体表面上距原点O为为r的的P点处的感应面电荷密度。

点处的感应面电荷密度。

0x）（rqdOrxP解：

解：

在静电平衡时，导体内侧的电场强度为零；由电场叠加原理，在在静电平衡时，导体内侧的电场强度为零；由电场叠加原理，在dS的内侧无限靠近的内侧无限靠近P的一点处水平方向的电场满足的一点处水平方向的电场满足0）（42）（2/32200rddqr设在设在P点附近的导体表面的感应电荷面密度为。

在点附近的导体表面的感应电荷面密度为。

在P点附近的导体表面取微元点附近的导体表面取微元dS，）（r2/322）

（2）（rdqdr作业作业:

P31习题习题:

11-18P50习题习题:

12-5,6,8,9预习：

课本预习：

课本12.2、13.5，网上完成预习作业。

，网上完成预习作业。