狄利克雷函数的应用研究.pdf
《狄利克雷函数的应用研究.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《狄利克雷函数的应用研究.pdf（4页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
书书书狄利克雷函数的应用研究!
林艺!
李军!
#青岛大学!
山东青岛$%&!
#青岛职业技术学院!
山东青岛$摘要!
狄利克雷函数作为分析学中的一种构造性函数!
有着一些特殊的性质!
因此在数学发展过程中起过重要的作用!
帮助澄清过许多模糊概念!
并可构造出一些反例来判断一些命题或陈述的真伪%关键词!
狄利克雷函数#连续性#有界变差函数#勒贝格积分中图分类号!
（%&#）文献标识码!
*文章编号!
$&+$,-%#%!
+%&+%一$关于狄利克雷函数数学中的反例是用以否定错误命题而举的例子在数学逻辑思维开拓及数学的进步发展方面有不可忽视的影响#反例大致可分为三类!
$!
%用来否定似是而非命题的&$%用来纠正直观上可能产生错觉的&$）%用来说明命题或定理的条件及结论的不可更改性的#狄利克雷$.#/#0#123245678德（%函数在数学分析）实变函数）泛函分析等研究领域中起着十分重要的作用#本文将对狄利克雷函数进行研究较为全面地给出一些例题剖析使读者看到狄利克雷函数作为反例在实际中的具体应用#一$定义&!
9!
$对任意!
#令#$!
%$!
当!
为有理数%当!
*为无理数则称#$!
%为定义在实数上的狄利克雷函数#对任意!
#令%$!
%$!
当!
为有理数&!
当!
*为无理数则称%$!
%为定义在实数上的狄利克雷拓展函数#二$狄利克雷函数与狄利克雷拓展函数的一些性质由定义容易知道以下事实!
#任意的有理数都是#$!
%及%$!
%的周期&但是任何的无理数都不是#$!
%或%$!
%的周期#$!
%及%$!
%在实数集的任何区间上都不具有单调性#）#$!
%及:
$!
%都是有界函数#;#$!
%及:
$!
%都是偶函数#对于$!
%#62=%=%#$!
%及62?
（$&?
%上非可积#!
（$9%&%二$应用举例一$用来否定似是而非的命题!
#（与）都不连续!
（$9&%则（*）与（+）也不连续#否#例!
令（$!
%$%$!
%）$!
%$&%$!
%#易知（）都是实数上处处不连续的函数但（*）%（+）$&!
均为常函数自然都是连续函数#+（非有界变差函数）（$,!
;&%则（和（也非有界变差函数#否#例!
在%!
（上令（$!
%$%$!
%则（为非有界变差函数#事实上设%!
（上的分划-!
%$!
%&!
&,&!
.$!
其中当/取偶数时!
/为有理数&当/取奇数时!
/为无理数$/$%!
.&!
%#这时）./$!
0（$!
/%&（$!
/&!
%0*）.&!
/$!
$.&!
%#随着分划的无限细密$.&!
%趋于无穷大即）./$!
0（$!
/%&（$!
/&!
%*-0是一无界集所以（为非有界变差函数#而（$（!
为常数函数对于%!
（上的一切分划-均有）./$!
0（$!
/%&（$!
/&!
%0$%所以0（0&第!
-卷第!
期%年）月学报AB3C6ADE2CFGAHA482AC6CGI745C246JA667F7HA6#!
-KA#!
L3#%!
收稿日期!
%;+!
+!
;作者简介!
林艺!
%+$!
男!
山东栖霞人!
教授!
硕士%万方数据和（都是有界变差函数!
且1!
%0（0#$1!
%（#$%$）#两个平方可积函数%!
&9!
&#%）&9-#!
它们的和也是平方可积的$否$例在%!
&上定义（!
#$%!
#!
）!
#$!
当!
为代数数&!
当!
（为超越数$%&,-!
&#由于（!
）!
为常数函数!
所以!
在%!
&上都是可积$但是（!
#*）!
#$%!
当!
为代数数的无理数;!
当!
（为其它数却是处处不连续的$事实上!
设2!
#$（*）#!
当$!
%为代数数的无理数时!
必存在一列有理数（!
.）!
使得!
.%!
%.%3#!
此时62.%32!
.#$;+%$2!
%#!
所以（*）#$2!
#在!
为代数数的无理数不连续$类似可以证明2!
#在!
为其它点时也不连续$总之!
2!
#$（*）#为%!
&上处处不连续的函数!
由可积的充要条件%;&9!
%#知!
DMF#为%!
&上非可积的函数$!
二用来纠正直观上可能产生的错觉!
#*4可积%&9!
-&#与可积等价+的反例$例在%!
&上定义（!
#$#!
#!
则（在%!
&非可积!
但却是4可积的$首先（!
#为有界函数!
区间%!
&为可测集!
即（!
#为可测集上的有界函数!
对$!
%!
取%!
&的分划#!
满足#$（%!
%）!
%!
为有理数集!
%为无理数集!
则5%!
（#&6%!
（#$!
&!
$%$）/7%/&!
所以（!
#在%!
&上是4可积的$#*不存在函数仅在一点连续+的反例$例令（!
#$!
#!
#!
因为（!
#&（%#$!
#!
#%!
%#!
所以（!
#在!
$%处连续$但当!
+%时!
因为#!
#不连续!
所以（!
#不连续$）#*函数项级数%&9&-#的收敛域必为一区间+的反例$例设8.!
#$#!
#!
则）3.$!
8.!
#的收敛区域为集合（!
0!
为无理点）$事实上!
）9/$!
8.!
#$9!
为有理点%!
（为无理点$当=为无理点时62N%O）9/$!
8.!
#$%,当!
为有理点时62N%O）9/$!
8.!
#$*3$所以）3.$!
8.!
#的收敛区域为集合（!
0!
为无理点）$!
三用来说明命题或定理的条件与结论的不可更改性!
#*逐项求导的PB?
2C2定理%）&9!
;#+中函数列中诸函数的单调性条件不能少$例设%!
&中全体有理数为（!
-.!
-）!
对每个.!
在%!
&上定义（.!
#$!
$.%!
+（.虽然!
对每一.!
函数（.除!
$.点外恒等于零!
但不是单调函数$另一方面!
易知）3.$!
（.!
#$#!
#!
由于#!
#在%!
&上处处不连续!
则处处不可导!
更谈不上逐项求导了$#*07Q2单调收敛定理%）&9!
%-#+对积分不成立$例设%!
&中全体有理数为（!
-.!
-）!
令（.!
#$）.9$!
#9!
#!
其中#9!
#$!
$9%!
+（9!
.$!
-则（.）是%!
&上非负递增的可积函数列$因为）3.$!
（.!
#$#!
#!
而#!
#在%!
&上是不可积的$故07Q2单调收敛定理对于R积分不成立$参考文献!
#!
$邓东皋%尹小玲#数学分析简明教程!
上册#L$#北京&高等教育出版社%!
#$邓东皋%尹小玲#数学分析简明教程!
下册#L$#北京&高等教育出版社%!
#）$匡继昌#实分析与泛函分析#L$#北京&高等教育出版社%!
#;$程其襄%等#实变函数与泛函分析基础#L$#北京&高等教育出版社%!
-）#$林艺#数学小百科#L$#北京&机械工业出版社#!
#!
下转第$页-%年第!
期学报万方数据件上载到?
*=2*,8*,上!
才能将其附加到电子邮件中在上传较大或较多附件时还应注意以下两个问题#一是上传文件脚本的处理时间$2*,8*,C2）,%+$J1%O*/Q$T秒数%应根据客户发送文件的大小&多少等适当调整$一般不低于GL秒%!
避免处理超时而退出上传3（二是可采取修改注册表项#BfD6%27$9,*%6%）,#7$%?
*=!
#$%（）*+$,#%-!
2B#$的*（=,6;9#-?
2（-3（0,&-3$最大并发事务的个数!
缺省值3LL个%和9#-?
2（-3（0,&-3?
;#&0$事务处理时间溢出!
缺省值4LL秒或5分钟%的方法!
适当减少并发事务数量和增加事务处理溢出时间参考文献!
H汪晓平#钟军C%#Q9;Y9#%）网络高级编程!
6C北京$人民邮电出版社#3LLHC!
3宋彦浩C（2!
建网技术源代码公开!
6C北京$中国水利出版社#3LLHC!
#$%&$（）*（+$）,!
%-（.&）/012345（!
5*?
（0dR*&JO9#bA0%&Ja%Q%A&7,O9$%&1*）M&;S2）M;#_%&9）9$%&9;9&1*）M&%）9;-;*#_%&9#2M9&344555&!
6+.&%$?
*）9&Q+;97%;*#7,OQ#*,#=S9+;%）9$%&$M*6%）,#7$!
#$%&（）*+$,$（2!
%（）$%8*2*,8*,!
9*#&C1M%#O*$M%#&$&;S9&%O+,$9&$9S7Q+;9%&7%;*#7,OQ#*,#=Q$9;#）9&#*&9&*JO9%;9&%$#9$9）MO*&$%$M$M*M*;+7-./012C1M*-!
2B/21C.DD%#9#+,*97Q&）$%&7$M*A2（!
A%&$M*!
#$%&（）*+$,）O+&*&$CA$Q+;9#7%;*#%,*）$;S#9&$M*$9,*$:
ED%#$=*O9+*9&+9,#*&+MS#%）9;）9$%&79?
*=2*,8*,%#cC7-89（./+$9$9）MO*&$Q+;9*JO9%;）O+&*&$%上接第5K页&1$+%:
+$（）+（）!
#$%&$（）+（;1$.$%#-=:
）%$（）DA0%H#DAQ&3%HC_%&9:
&%8*,#%$S#_%&9#2M9&344LIH3C_%&9）9$%&9;9&1*）M&%）9;-;*#_%&9#2M9&344555&!
6+.&%$（#9c%&7）&#$,Q）$%8*7Q&）$%&%&（&9;S$%）#.%,%）M;*$7Q&）$%&+#*#*#O*+9,$%）Q;9,）M9,9）$*,%#$%）#CA$+;9S#9&%O+,$9&$+9,$%&69$M*O9$%）#*8*;+O*&$#$M*,*7,*#M*;+#）;*9,Q+O9&S%&%#J$%&）$）&）*+$#9&Q*%7$M*+,+#%$%&#,#$9$*O*&$#9,*$,Q*C7-89（./+$.%,%）M;*$7Q&）$%&）&$%&Q%$S7Q&）$%&7=Q&*89,%9=;*D*=*#Q*%&$*,9$%&453LL5年第H期学报万方数据狄利克雷函数的应用研究狄利克雷函数的应用研究作者：
林艺，李军，LINYi，LIJun作者单位：
林艺,LINYi（青岛大学,山东,青岛,266071），李军,LIJun（青岛职业技术学院,山东,青岛,266555）刊名：
青岛职业技术学院学报英文刊名：
JOURNALOFQINGDAOVOCATIONALANDTECHNICALCOLLEGE年，卷（期）：
2005，18
（1）引用次数：
0次参考文献（5条）参考文献（5条）1.邓东皋.尹小玲数学分析简明教程19992.邓东皋.尹小玲数学分析简明教程19993.匡继昌实分析与泛函分析20014.程其襄实变函数与泛函分析基础19835.林艺数学小百科1999相似文献（1条）相似文献（1条）1.期刊论文张丽.刘淳安黎曼函数的性质及其证明-宝鸡文理学院学报（自然科学版）2002,22
（2）从黎曼函数的简单特征入手讨论它的连续性、可积性、可导性,特别是证明了黎曼函数在区间0,1上处处不可导,并结合狄利克雷函数加以引申和推广.本文链接：
http:
/
升级会员 