平面向量综合讲义.pdf

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平面向量综合讲义平面向量综合讲义SYSU荣荣珠海珠海1平面向量平面向量综合讲义综合讲义前前言言.02近七年全国近七年全国卷高考真题卷高考真题.06.06第第1讲讲数量积基础数量积基础.071.1平行平行（共线共线）.071.2垂直垂直.071.3夹角夹角.081.4模长模长.091.5投影投影.10第第2讲讲平面向量基本定理平面向量基本定理.13第第3讲讲最值（范围）最值（范围）.15第第4讲讲等和线等和线.18第第5讲讲极化恒等式极化恒等式.20第第6讲讲“五心问题五心问题”（奔驰定理）（奔驰定理）.22第第7讲讲矩形的两个小性质矩形的两个小性质.24第第8讲讲向量与其他知识综合向量与其他知识综合.25第第9讲讲斜坐标系斜坐标系.26平面向量综合讲义平面向量综合讲义SYSU荣荣珠海珠海2前言前言【高考命题规律】【高考命题规律】年份题号题型考查内容思想方法分值20112011年年理10选择题向量积与三角函数、不等式模平方5分文13填空题单位向量，向量垂直方程思想5分20122012年年理13填空题向量模长，夹角模平方5分文15填空题向量模长，夹角模平方5分20132013年年理13填空题向量垂直方程思想5分文13填空题向量垂直方程思想5分20142014年年理15填空题三点共线数形结合思想5分文6选择题平面向量基本定理数形结合思想5分20152015年年理7选择题平面向量基本定理数形结合思想5分文2选择题向量加减法数形结合思想5分20162016年年理13填空题模运算模平方5分文13填空题垂直方程思想5分20172017年年理13填空题模运算，平方模平方5分文13填空题垂直方程思想5分全国卷向量主要以客观题形式出现，属于基础题，解决此类问题一要准确记忆公式一要准确记忆公式，二要准确运算二要准确运算。

主要考察内容为向量的向量积运算以及坐标运算，涉及到模长问题牢记平方模长问题牢记平方（后开方后开方）的思路，便能直捣黄龙，一举破题。

另外，虽然这几年全国卷平面向量不涉及到较难知识以及能力考查，但是备考方面还是应当适当提高训练训练难度，如建系解决棘手数量积问题等，至于等和线、奔驰定理、极化恒等式等进阶知识则因人因地因时制宜。

平面向量综合讲义平面向量综合讲义SYSU荣荣珠海珠海3第第4讲讲等和线等和线“爪爪”字型图及性质：

字型图及性质：

（1）已知,ABAC为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,xy，使得ADxAByAC。

则,BCD三点共线1xy当01xy，则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间当1xy，则D与A位于BC两侧1xy时，当0,0xy，则D在线段BC上；当0xy，则D在线段BC延长线上

（2）已知D在线段BC上，且:

BDCDmn，则nmADABACmnmn补充：

补充：

例例1：

（2017全国全国卷理卷理1212）在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若APABAD，则的最大值为（）（A）3（B）22（C）5（D）2例例22：

在ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线MN分别交,ABAC于点,MN，若,AMxABANyAC，则4xy的最小值是（）（A）94（B）2（C）3（D）1例例3：

（2017江苏江苏12）如图,在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为,且tan7，OB与OC的夹角为45.若OCmOAnOB（,）mnR，则mn例例44：

如图，在四边形ABCD中，E为AB边的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上任意一点，设ACDEAP，则的最小值是_ACBOABCD平面向量综合讲义平面向量综合讲义SYSU荣荣珠海珠海411、（20120177江西南昌十所重点二模江西南昌十所重点二模）已知数列na为等差数列，且满足32015BAaOBaOC，若ABACR，点O为直线BC外一点，则12017aa_22、（20172017全国高中联赛福建联赛全国高中联赛福建联赛）,ABC为圆O上不同的三点，且120AOB，点C在劣弧AB内，若（,）OCOAOBR，则的取值范围为_33、（2017.042017.04武汉调研武汉调研）已知ABC的外接圆圆心为O，且60A，若）,（RACABAO，则的最大值为4、（2017黑龙江哈师大附中三模黑龙江哈师大附中三模）已知ABAC，ABAC，点M满足1AMtABtAC，若3BAM，则t的值为（）（A）32（B）21（C）312（D）3125、已知I为ABC的内心，7cos8A，若AIxAByAC，则xy的最大值为（）（A）12（B）34（C）45（D）566、已知I为ABC的内心，2,3,4ACBCAB，若AIxAByAC，则xy_7、已知O为锐角ABC的外心，60A，若AOxAByAC，则xy的最大值为_8、已知O为锐角ABC的外心，60A，若OAxOByOC，则2xy的最大值为_9、（2017浙江金华高三上期末考）浙江金华高三上期末考）设单位向量,ab的夹角为锐角，若对任意的（,）（,）1,0xyxyxaybxy，都有8215xy，则ab的最小值为_平面向量综合讲义平面向量综合讲义SYSU荣荣珠海珠海5第第5讲讲极化恒等式极化恒等式极化恒等式极化恒等式：

221（）（）4ababab

（1）平行四边形模式平行四边形模式：

2241DBACba

（2）三角形模式三角形模式：

在右上图的三角形ABD中（M为BD的中点），因为AMAC2，所以2214abAMDB例例1：

（2017全国全国卷理卷理1212）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则）（PCPBPA的最小值是（）（A）2（B）23（C）34（D）1例例2：

已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PAPB的取值范围是_例例33：

在ABC中,0P是边AB上一定点，满足014PBAB，且对于边AB上任一点P，恒有00PBPCPBPC。

则（）（A）90ABC（B）90BAC（C）ABAC（D）ACBC例例4：

如图，在平行四边形ABCD中，已知8AB，5AD，3CPPD，2BPAP，则ADAB的值是.例例5：

已知,AB是圆O：

221xy的两个点，P是线段AB上的动点，当AOB的面积最大时，则2AOAPAP的最大值是_例例6：

（2017浙江绍兴二检）浙江绍兴二检）在ABC中,ACBC，0P是边AB上一定点，满足013PBAB，且对于边AB上任一点P，恒有00PBPCPBPC。

则BCAC_平面向量综合讲义平面向量综合讲义SYSU荣荣珠海珠海611、（2017.122017.12河北鸡泽一中月考河北鸡泽一中月考）已知ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则（）PAPBPC的最小值是（A）2（B）32（C）3（D）62、（2017山西五校联考山西五校联考）在平行四边形ABCD中，3,4ABAD，则ACDB等于_3、（2017江苏盐城一模江苏盐城一模）在ABC中，已知3,3ABC，则CACB的最大值为44、（20162016全国高中联赛湖北联赛）全国高中联赛湖北联赛）已知MN是边长为26的等边ABC外接圆的一条动弦，4MN，P是ABC的边上动点，则MPPN的最大值为_5、（2017四川雅安三诊四川雅安三诊）直线0axbyc与圆O：

2216xy相交于两点M、N.若222cab，P为圆O上任意一点，则PMPN的取值范围是_6、（2016石嘴山适应性考试）石嘴山适应性考试）在ABCRt中，3CBCA，NM,是斜边AB上的两个动点，且2MN，则CNCM的取值范围为77、（20132013浙江五校联盟二联浙江五校联盟二联）已知BA、是单位圆上的两点，O为圆心，且oAOB120，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足）10（）1（OBOAOC，则CNCM的取值范围是（）（A）1,21（B）1,1（C）0,43（D）0,18、（2012浙江浙江15）在ABC中，M是BC的中点，3,10AMBC，则ABAC_9、已知向量,ab的夹角为3，5ab，向量ca，cb的夹角为23，23ca，则ac的最大值为_