高一数学竞赛常用定理.pdf

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定理1.1等系数和线我们熟知，若=x+y，x+y=1那么C点在AB上，即A，B，C三点共线.类似地，若x+y=m（m为常数），就可以写成，=1不难发现，C点在与AB平行的直线AB上.其中A为向量的终点，B为向量的终点.这样向量问题就被赋予几何含义，从而简便地解决这一类问题.进一步探索，令x=0或y=0可以得到.例题1.1在扇形AOB中，OA=OB=1，AOB=60，C为（不包括端点）上的一点，且=x+y.

（1）求x+y的取值范围；

（2）若t=x+y存在最大值，求的取值范围.解

（1）如图1，C所在的在m=1和m=的两条等系数和线之间（包括MN，不包括AB），于是x+y的取值范围是.图1图2

（2）如图2，将已知条件改写为=x+y，于是t所对应的等系数和线是一系列与直线AP平行的直线，其中P为向量的终点.由于t有最大值，于是其对应的一系列等系数和线中必然存在与相切的一条，因此P位于线段MN上（不包括端点），其中AM与B处的切线平行，AN为A处的切线.从而易得的取值范围是.例题例题2.2已知O为锐角ABC的外心，且=x+y，求2x-y的取值范围.解设BD和CE为圆O的直径，则点A在劣弧DE上运动，于是=（-x）+（-y）,且x,y0.方法一考虑到问题涉及的代数式为2x-y，为了利用向量分解的系数和的几何意义，将条件转化为=2x+,此时可知连接向量的终点F与向量的终点E的直线EF即等系数和线2x-y=1，如图.依次作出其等系数和线，可得2x-y的取值范围是.方法二根据题意，有，于是，且x,yb，也就是说此结论对焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆均适用；注三：

双曲线的垂径定理中的斜率之积定理定理7.3切线公式切线公式在任意二次曲线上一点P（x0,y0）处的切线方程为：

定理定理7.4面积公式面积公式由有向线段和围成的OAB的有向面积例题例题7.1设a1,a2,a3,a4R，且=1,记f（a1,a2,a3,a4）=，求f（a1,a2,a3,a4）的最小值。

解设，记=|，则2.定理定理8.1阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆动点P（x,y）到定点F1（-c,0）,F2（c,0）的距离之比为.（c,为正数），则P点的轨迹方程讨论：

1.当时，即,P点轨迹为直线（F1F2的中垂线）2.当时，判定轨迹为圆，即阿波罗尼斯圆进一步，对于圆锥曲线有:

动点P到动点F与定直线l的距离之比为定值.则动点P的轨迹是二次曲线.其中即圆锥曲线的离心率e.快速判断直径，圆心的方法：

过P作内外角平分线分别交直线F1F2于T，D，则根据角平分线性质容易得到TD为直径.即：

在F1F2上找到一对调和分比点T，D（根据比例可以快速判断），TD中点即圆心.另：

角平分线性质：

例题例题8.1求满足条件BC=2，的ABC的面积的最大值。

解SABC其实不难发现通式习题习题8.1已知两定点A（-2,0）,B（1,0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，求点P的轨迹所包围的面积.习题习题8.2已知共面向量a,b,c满足|a|=3,b+c=2a,且|b|=|b-c|，若对于每个确定的向量b，记|b-ta|（tR）的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为？

定理定理9.1托勒密定理托勒密定理平面上四边形的四边与对角线满足关系：

对角线的乘积不超过两组对边分别相乘乘积之和，当且仅当四边形的四个顶点共圆时两者相等.例题例题9.1已知ABC满足，点M在ABC外，且MB=2MC=2，则MA的取值范围是？

静态观察（解法一）易知ABC为等边三角形，如图，设MA=x，AB=BC=CA=t，那么由左右两图分别应用托勒密定理可得于是1x3.由于两侧等号均能取得（如图），又根据图形连续变化，因此MA的取值范围是1,3.动态探索（解法二）如图，先固定B，M，使得BM=2，然后让C在半径为1的圆M上运动，观察A点的轨迹（暂时忽略M在ABC外的条件）.由平面几何知识容易得到A的轨迹是圆M绕点B旋转60后得到的圆N，据此容易求得MA的取值范围是1,3（注意取得最值时M均在ABC外部）.例题例题9.2已知椭圆，P在椭圆上，求P点到G点的距离的最大值.解根据托勒密定理有|PG|2c2a|GF1|PG|当且仅当P，F1，F2，G四点共圆时等号取得.易知等号可以取得.此时PG垂直过P的切线l，且PG平分F1PF2，这里用到了一个二级结论：

圆锥曲线上一点的切线为该点与焦点组成的焦点三角形的外角平分线.同时证明了取得最大值时,PG总在PF1，PF2之间，也即构成凸四边形，从而可以利用托勒密定理.进一步思考，当离心率为时，这种做法只适用于G点在短轴上时，（此时GF1F2的外接圆与椭圆有交点）；若G在短轴所在直线上（不在短轴上），最大值为P点在远离G点的短轴端点时取到.更一般的表述：

这种做法只适用于G点在短轴所在直线上时，（且此时GF1F2的外接圆与椭圆的另半部分有交点）；若G在短轴所在直线上（且此时GF1F2的外接圆与椭圆另半部分没有交点），最大值为P点在远离G点的短轴端点时取到.其中“椭圆另半部分”是指，当G在x轴一侧时，x轴另一侧的椭圆曲线被称为“椭圆另半部分”.其他情况，利用二次函数最值求解.阅读阅读10.1向量叉乘向量叉乘在高中数学的学习中，同学们接触到向量的概念，并了解其性质、线性运算、坐标表示、数量积以及在实际问题中的应用。

在此基础上，可进一步深化，引入向量的叉乘运算，能够提升对向量的理解，方便问题的解决。

1.叉乘的定义要确定一个向量，需要知道它的模和方向。

如图1，对于给定的向量a和b，规定向量c=ab，满足：

（1）模：

|c|=|a|b|sin

（2）方向：

向量c的方向垂直于向量a和b，且符合右手定则：

用右手的食指表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度0,到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向。

这里的也就是。

这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积。

应特别注意的是，不同于向量的数量积，向量的叉乘的结果仍是一个向量。

给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。

2.叉乘的性质

（1）显然有aa=0

（2）反交换律：

和其他运算不同，向量的叉乘满足反交换律，即ab=ba，这是因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量，如果将二者顺序交换，则一定要将手倒过来才能满足0，也就使得积向量反向。

（3）易得对数乘的结合律，即（a）b=a（b）=（ab）（4）可以证明分配律：

（a+b）c=ac+bc或a（b+c）=ab+ac3.叉乘的几何意义如图，在平面上取点O，作=a，=b，|ab|=|a|b|sin，由三角形面积公式sin可知|ab|表示以OA,OB为相邻两边的三角形的面积的两倍，也就是以OA,OB为两边的平行四边形的面积。

即|ab|=2SOAB=SOABC4.叉乘的坐标表示将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步，因为如果能在空间直角坐标系中引入叉乘的坐标运算，许多问题将会得到极大简化。

要想得到叉乘运算的坐标表示，必须回到空间直角坐标系的根基单位正交基底出发。

给定一组单位正交基底i,j,k，为满足运算要求，应使i,j,k符合右手定则，即建立一个右手系，如图。

这样一来就有从而为叉乘的坐标表示奠定了基础。

可设a=a1i+a2j+a3k=（a1,a2,a3）,b=b1i+b2j+b3k=（b1,b2,b3）则ab=（a1i+a2j+a3k）（b1i+b2j+b3k），由向量叉乘的分配律可知，原式=a1b2ij+a1b3ik+a2b1ji+a2b3jk+a3b1ki+a3b2kj=a1b2k+a1b3+a2b1+a2b3i+a3b1j+a3b2=（a2b3a3b2）i+（a3b1a1b3）j+（a1b2a2b1）k=（a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1）cbakjizyxOCBAOOBOA即（a1,a2,a3）（b1,b2,b3）=（a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1），这样，就完成了向量叉乘的坐标表示。

5.叉乘的实际应用

（1）有了向量的叉乘的帮助，计算空间直角坐标系内的平行四边形的面积问题得到了极大简化。

【例1】已知空间内有一平行四边形ABCD，且A（1,3,2），B（2,3,1），C（5,6,3），求平行四边形的面积。

【分析】按照常规解法，应用求空间角的公式求出AB和AC的夹角，再用sin等相关公式计算。

有了向量叉乘的帮助，可直接求|ABAC|，即为所求面积，从而使问题得到了极大简化，也减少了运算量。

【解答】AB=（1,0,1），AC=（4,3,1）ABAC=（3,5,3）|ABAC|=SABCD=

（2）推荐一种计算空间内点到直线距离的方法。

如图，对于给定的直线l和点C，可在l上取点A,B，则d（C,AB）这是因为表示平行四边形ABCD的面积，又等于d（C,AB），整理即可得上式。

【例2】已知点A（1,3,2），B（2,3,1），求点C到直线AB的距离【解答】=d（C,AB）（3）求平面的法向量由于向量叉乘运算c=ab中ca且cb，由立体几何知识可知，如果选取一个平面内两个不共线的向量，计算它们的叉乘，那么其积向量就可以作为平面的法向量。

正是由于法向量在立体几何中的广泛应用，这种方法也就可以大展身手。

【例3】ABCD为边长为4的正方形，GC平面ABCD，GC=2，E、F分别是AD、AB的中点，求点B到平面EFG的距离。

【分析】这是高中数学的常见问题。

按照常规做法，应利用数量积求出平面GEF的法向量，再利用点到平面距离公式求解。

引入了向量的叉乘后，可以方便地求出平面GEF的法向量。

下面列出两种解法，以供比较。

【解法1】A（4,4,0）,B（0,4,0）,D（4,0,0）,E（4,2,0）,F（2,4,0）,G（0,0,2）。

设平面EFG的一个法向量为n=（x,y,z），则n=n=（x,y,z）（2,2,0）=（x,y,z）（2,4,2）=03x=3y=z令x=1，则y=1，z=3（D）CBAFEDBAGxzyn=（1,1,3）d（B,EFG）【解法2】空间直角坐标系的建立同解法1.=（2,2,0）,=（2,4,2）平面EFG的法向量为n=（）d（B,EFG）.叉乘的物理意义正如向量的数量积对应于物理学中的外力做功等物理情景，向量的叉乘也与一些物理模型有着密切的联系，下面仅以通电直导线在匀强磁场中的受力（安培力）为例作简要说明。

如图，在磁感应强度为B，方向水平向左的匀强磁场中，有一段长为L的导线通有电流强度为I的电流，导线与磁场成角。

由物理学规律可知F=BILsin。

从数学的角度理解，虽然中学物理中电流强度I被定义为标量，但由于电流有方向，不妨把I理解为矢量I，则|F|=|B|I|Lsin。

又F垂直于B和L所成的平面，且符合物理学中的“左手定则”（类似于前面所提到的“右手定则”），故F=L（IB）这样，就将向量的叉乘与这个物理模型结合到了一起，再一次体现出数学和物理紧密结合的特点，表现出科学世界的和谐与统一之美。

总之，在高中数学所学知识的基础之上，引入向量的叉乘运算，又一次拓展了同学们的视野，令人感受到数学的无穷魅力。

I,LB定理定理11.1巴普斯定理巴普斯定理1、在一平面上取任一闭合区域，其面积为S，使它沿垂直于该区域的平面运动形成一个体积为V的立体，那么这个立体图形的体积就等于质心质心所经路程r乘以区域面积。

表达式为V=Sr。

2、若有某一长为L的曲线段，使它沿着垂直于它所在平面的方向扫过一个面积S，那么这个面积的大小就等于线段移动的距离r乘以线段的长度。

表达式为S=Lr。

注：

是质心，而不是重心，求半圆面质心，因为除非重力场是均匀的，否则同一物质（系统）的质心与重心通常不在同一假想点上。

用法用法11.1求半圆面质心求半圆面质心令半圆面绕着它的直径旋转形成一个球体，假设半圆面的半径为R，那么它的面积即为所得球体体积为又设质心离半圆面的圆心距离为X，则质心旋转一周经过的路程为L=2X，由巴普斯定理得所以用法用法11.2求圆环体表面积求圆环体表面积圆心O距中心轴M的长度为R，圆O半径为r，则圆O周长为C=2r将它沿垂直于其所在平面的方向绕M轴一周后质心O移动路程2R，所以旋转得到的空心圆环体的表面积为习题习题11.1在xOy平面上，将两个半圆弧和，两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理，一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积。