考研数学二试题.pdf

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数学

（二）试题第1页（共3页）2010201020102010年数学二试题年数学二试题年数学二试题年数学二试题一、选择题一、选择题

（1）

（1）函数函数（）222111xxfxxx=+的无穷间断点的个数为的无穷间断点的个数为（）（A）（A）0.0.（B）（B）1.1.（C）（C）2.2.（D）（D）3.3.

（2）

（2）设设12,yy是一阶线性非齐次微分方程是一阶线性非齐次微分方程（）（）ypxyqx+=的两个特解的两个特解,若常数若常数，使使12yy+是该方程的解是该方程的解,12yy是该方程对应的齐次方程的解是该方程对应的齐次方程的解,则则（）（A）（A）11,22=.（B）（B）11,22=.（C）（C）21,33=.（D）（D）22,33=.（3）（3）曲线曲线2yx=与曲线与曲线ln（0）yaxa=相切相切,则则a=（）（A）（A）4e.4e.（B）（B）3e.3e.（C）（C）2e.2e.（D）（D）e.e.（4）（4）设设,mn是正整数是正整数,则反常积分则反常积分（）210ln1mnxdxx的收敛性的收敛性（）（A）（A）仅与仅与m的取值有关的取值有关.（B）（B）仅与仅与n的取值有关的取值有关.（C）（C）与与,mn取值都有关取值都有关.（D）（D）与与,mn取值都无关取值都无关.（5）（5）设函数设函数（,）zzxy=,由方程由方程（,）0yzFxx=确定确定,其中其中F为可微函数为可微函数,且且20F,则则zzxyxy+=（）（A）（A）x.（B）（B）z.（C）（C）x.（D）（D）z.（6）（6）（）（）2211limnnnijnninj=+（）（A）（A）（）（）1200111xdxdyxy+.（B）（B）（）（）100111xdxdyxy+.（C）（C）（）（）1100111dxdyxy+.（D）（D）（）（）11200111dxdyxy+.（7）（7）设向量组设向量组12I:

r可由向量组可由向量组12II:

s线性表示线性表示,下列命题正确的是下列命题正确的是（）（A）（A）若向量组若向量组I线性无关线性无关,则则rs.（B）（B）若向量组若向量组I线性相关线性相关,则则rs.（C）（C）若向量组若向量组II线性无关线性无关,则则rs.（D）（D）若向量组若向量组II线性相关线性相关,则则rs.（8）（8）设设A为为44阶实对称矩阵阶实对称矩阵,且且2AAO+=,若若A的秩为的秩为3,3,则则A相似于相似于（）数学

（二）试题第2页（共3页）（A）（A）1110.（B）（B）1110.（C）（C）1110.（D）（D）1110.二、填空题二、填空题（9）（9）33阶常系数线性齐次微分方程阶常系数线性齐次微分方程220yyyy+=的通解为的通解为y=.（10）（10）曲线曲线3221xyx=+的渐近线方程为的渐近线方程为.（11）（11）函数函数（）ln120yxx=在处的处的n阶导数阶导数（）（）0ny=.（12）（12）当当0时时,对数螺线对数螺线re=的弧长为的弧长为.（13）（13）已知一个长方形的长已知一个长方形的长l以以22cm/s的速率增加的速率增加,宽宽w以以33cm/s的速率增加的速率增加.则当则当cm12l=,cm5w=时时,它的对角线增加的速率为它的对角线增加的速率为.（14）（14）设设,AB为为33阶矩阵阶矩阵,且且132,2ABAB=+=，,则则1AB+=.三、解答题三、解答题（15）求函数求函数2221（）（）xtfxxted=的单调区间与极值的单调区间与极值.（16）（16）（II）比较比较（）10lnln1nttdt+与与10lnnttdt（）1,2,n=的大小的大小,说明理由；说明理由；（IIII）记记（）10lnln1nnuttdt=+（）1,2,n=,求极限求极限limnnu.（17）（17）设函数设函数（）yfx=由参数方程由参数方程22,

（1）（）xtttyt=+=所确定所确定,其中其中（）t具有具有22阶导数阶导数,且且5

（1）

（1）6.2=，已知已知223,4

（1）dydxt=+求函数求函数（）t.（18）（18）一个高为一个高为ll的柱体形贮油罐的柱体形贮油罐,底面是长轴为底面是长轴为2a,短轴为短轴为2b的椭圆的椭圆.现将贮油罐平放现将贮油罐平放,当当数学

（二）试题第3页（共3页）油罐中油面高度为油罐中油面高度为32b时时（如图如图）,）,计算油的质量计算油的质量.（.（长度单位为长度单位为m,m,质量单位为质量单位为kg,kg,油的密度为油的密度为常数常数kg/mkg/m33）（19（19）设函数设函数（,）ufxy=具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,且满足等式且满足等式2222241250uuuxxyy+=,确确定定a,b的值的值,使等式在变换使等式在变换,xayxby=+=+下化简为下化简为20u=.（20）（20）计算二重积分计算二重积分22sin1cos2DIrrdrd=,其中其中（）,|0sec,04Drr=.（21）（21）设函数设函数（）fx在闭区间在闭区间0,1上连续上连续,在开区间在开区间（）0,1内可导内可导,且且（0）0f=,1

（1）3f=,证证明：

存在明：

存在1（0,）2,1（,1）2,使得使得22（）（）=.ff+（22）（22）设设110111aAb=0=11，,已知线性方程组已知线性方程组Axb=存在两个不同的解存在两个不同的解（II）求求,a;（IIII）求方程组求方程组Axb=的通解的通解.（23）（23）设设0141340Aaa=,正交矩阵正交矩阵Q使得使得TQAQ为对角矩阵为对角矩阵,若若Q的第的第11列为列为1（1,2,1）6T,求求,aQ参考答案参考答案参考答案参考答案一、选择题一、选择题

（1）

（1）【答案】【答案】（B）.（B）.【解析解析】因为因为2221（）11xxfxxx=+有间断点有间断点0,1x=,又因为又因为数学

（二）试题第4页（共3页）22000

（1）11lim（）lim1lim1

（1）

（1）xxxxxfxxxxxx=+=+,其中其中220011lim11,lim11xxxxxx+=+=,所以所以0x=为跳跃间断点为跳跃间断点.显然显然112lim（）1122xfx=+=,所以所以1x=为连续点为连续点.而而211

（1）1lim（）lim1

（1）

（1）xxxxfxxxx=+=+,所以所以1x=为无穷间断点为无穷间断点,故答案选择故答案选择B.B.

（2）

（2）【答案】【答案】（A）（A）【解析解析】因因12yy是是（）0yPxy+=的解的解,故故（）（）（）12120yyPxyy+=,所以所以（）1122（）0yPxyypxy+=,而由已知而由已知（）（）（）（）1122,yPxyqxyPxyqx+=+=,所以所以（）（）0qx=,又由于一阶次微分方程又由于一阶次微分方程（）（）ypxyqx+=是非齐的是非齐的,由此可知由此可知（）0qx,所以所以0=由于由于12yy+是非齐次微分方程是非齐次微分方程（）（）yPxyqx+=的解的解,所以所以（）（）（）（）1212yyPxyyqx+=,整理得整理得（）（）（）1122yPxyyPxyqx+=,即即（）（）（）qxqx+=,由由（）0qx可知可知1+=,由由求解得求解得12=,故应选故应选（A）（A）（3）（3）【答案】【答案】（C）.（C）.【解析解析】因为曲线因为曲线2yx=与曲线与曲线ln（0）yaxa=相切相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以所以2axx=,即即（0）2axx=.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在所以在2yx=上上,当当2ax=时时2ay=；在；在lnyax=上上,2ax=时时,lnln222aaaya=.所以所以ln222aaa=.从而解得从而解得2ae=.故答案选择故答案选择（C）.（C）.数学

（二）试题第5页（共3页）（4）（4）【答案】【答案】（D）.（D）.【解析解析】0x=与与1x=都是瑕点都是瑕点.应分成应分成（）（）（）22211121002ln1ln1ln1mmmnnnxxxdxdxdxxxx=+,用比较判别法的极限形式用比较判别法的极限形式,对于对于（）2120ln1mnxdxx,由于由于121012ln

（1）lim11mnxnmxxx+=.显然显然,当当1201nm,则该反常积分收敛则该反常积分收敛.当当120nm,1210ln

（1）limmxnxx+存在存在,此时此时（）2120ln1mnxdxx实际上不是反常积分实际上不是反常积分,故收敛故收敛.故不论故不论,mn是什么正整数是什么正整数,（）2120ln1mnxdxx总收敛总收敛.对于对于（）2112ln1mnxdxx,取取01,不论不论,mn是什么正整数是什么正整数,1211211ln

（1）limlimln

（1）

（1）01

（1）mnmxxxxxxx=,所以所以（）2112ln1mnxdxx收敛收敛,故选故选（D）.（D）.（5）（5）【答案】【答案】（B）.（B）.【解析解析】122212122221xzyzyzFFFFFyFzFzxxxxxFFxFFx+=,112211yzFFFzxyFFFx=,1212222yFzFyFFzzzxyzxyFFF+=（6）（6）【答案】【答案】（D）.（D）.数学

（二）试题第6页（共3页）【解析解析】（）（）222211111（）nnnnijijnnninjninj=+22111（）（）nnjinnjni=+12220211111limlim,11（）nnnnjjndyjnjnyn=+1011111limlim,11（）nnnniindxininxn=+（）（）2222111111limlim（）（）nnnnnnijjinnjnininj=+221（lim）nnjnnj=+1（lim）nninni=+1120011（）（）11dxdyxy=+（）（）11200111dxdyxy=+.（7）（7）【答案】【答案】（A）（A）【解析解析】由于向量组由于向量组I能由向量组能由向量组II线性表示线性表示,所以所以（I）（II）rr,即即11（,）（,）rsrrs若向量组若向量组I线性无关线性无关,则则1（,）rrr=,所以所以11（,）（,）rsrrrs=,即即rs,选选（A）.（A）.（8）（8）【答案】【答案】（D）.（D）.【解析解析】：

设设为为A的特征值的特征值,由于由于2AAO+=,所以所以20+=,即即

（1）0+=,这样这样A的的特征值只能为特征值只能为-1-1或或0.0.由于由于A为实对称矩阵为实对称矩阵,故故A可相似对角化可相似对角化,即即A,（）（）3rAr=,因此因此,1110=,即即1110A=.二、填空题二、填空题（9）（9）【答案】【答案】2123cossinxyCeCxCx=+.【解析解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为该常系数线性齐次微分方程的特征方程为32220+=,因式分解得因式分解得（）（）（）（）2222210+=+=,数学

（二）试题第7页（共3页）解得特征根为解得特征根为2,i=,所以通解为所以通解为2123cossinxyCeCxCx=+.（10）（10）【答案】【答案】2yx=.【解析解析】因为因为3221lim2xxxx+=,所以函数存在斜渐近线所以函数存在斜渐近线,又因为又因为333222222lim2lim011xxxxxxxxx=+,所以斜渐近线方程为所以斜渐近线方程为2yx=.（11）（11）【答案】【答案】（）21!

nn.【解析解析】由高阶导数公式可知由高阶导数公式可知（）ln

（1）nx+1

（1）!

（1）

（1）nnnx=+,所以所以（）（）（）1

（1）!

（1）!

ln12

（1）22（12）（12）nnnnnnnnxxx=,即即（）

（1）!

（0）22

（1）!

（120）nnnnnyn=.（12）（12）【答案】【答案】（）21e.【解析解析】因为因为0,所以所以对数螺线对数螺线re=的极坐标弧长公式为的极坐标弧长公式为（）（）220eed+=02ed=（）21e.（13）（13）【答案】【答案】33cm/s.【解析解析】设设（）,（）lxtwyt=,由题意知由题意知,在在0tt=时刻时刻00（）12,（）5xtyt=,且且0（）2,xt=0（）3yt=,设该对角线长为设该对角线长为（）St,则则22（）（）（）Stxtyt=+,所以所以22（）（）（）（）（）（）（）xtxtytytStxtyt+=+.所以所以00000222200（）（）（）（）12253（）3（）（）125xtxtytytStxtyt+=+.（14）（14）【答案】【答案】3.3.【解析解析】由于由于1111（）（）AABBEABBBA+=+=+,所以所以11111（）ABAABBAABB+=+=+数学

（二）试题第8页（共3页）因为因为2B=,所以所以1112BB=,因此因此11113232ABAABB+=+=.三、解答题三、解答题（15）【解析】因为【解析】因为22222222111（）（）xxxtttfxxtedtxedttedt=,所以所以2224423311（）2222xxtxxtfxxedtxexexedt=+=,令令（）0fx=,则则0,1xx=.又又22421（）24xtxfxedtxe=+,则则201（0）20tfedt=,所以所以

（1）0f=为极小值为极小值.又因为当又因为当1x时时,（）0fx；01x时时,（）0fx；10x；1x时时,（）0fx,所以所以（）fx的单调递减区间为的单调递减区间为（,1）（0,1）,（）fx的单调递增区间为的单调递增区间为（1,0）（1,）+.（16）（16）【解析】【解析】（I）（I）当当01x时时0ln

（1）xx+,故故ln

（1）nntt+,所以所以lnln

（1）lnnntttt+,则则1100lnln

（1）lnnnttdtttdt+（）1,2,n=.（II）（II）（）11110001lnlnln1nnnttdtttdttdtn+=+（）211n=+,故由故由（）12010ln1nnuttdtn.因为因为（）（）116y=,所以所以0C=,故故（）31ytt=+,即即（）（）31ttt=+,故故（）（）2313312tttdtttC=+=+又由又由（）512=,所以所以10C=,故故（）233,

（1）2tttt=+.（18）（18）【解析解析】油罐放平油罐放平,截面如图建立坐标系之后截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：

边界椭圆的方程为：

22221xyab+=阴影部分的面积阴影部分的面积222222bbbbaSxdybydyb=令令sin,ybtyb=时时;22bty=时时6t=.2662211232cos2（cos2）（）2234Sabtdtabtdtab=+=+所以油的质量所以油的质量23（）34mabl=+.（19）（19）【解析解析】由复合函数链式法则得由复合函数链式法则得uuuuuxxyx=+=+,uuuuuabyyy=+=+,数学

（二）试题第10页（共3页）22222222uuuuuuuxxxxxx=+=+222222,uuu=+2222222uuuuuuuxyyyyyy=+=+22222（）,uuuabab=+22222222（）（）uuuuuuuabaabbaayy=+=+22222222,uuuabab=+故故222224125uuuxxyy+2222222（5124）（5124）12（）1080,uuuaabbabab=+=所以所以22512405124012（）1080aabbabab+=+=+,则则25a=或或2,25b=或或2.又因为当又因为当（,）ab为为22（2,2）,（,）55时方程时方程（3）（3）不满足不满足,所以当所以当（,）ab为为2（,2）5,2（2,）5满足题意满足题意.（20）（20）【解析解析】22sin1cos2DIrrdrd=（）222sin1cossinDrrrdrd=221Dyxydxdy=+122001xdxyxydy=+（）312201113xdx=（）311220011133dxxdx=20113cos43316d=.数学

（二）试题第11页（共3页）（21）（21）【解析】令【解析】令（）（）313Fxfxx=,对于对于（）Fx在在10,2上利用拉格朗日中值定理上利用拉格朗日中值定理,得得存存在在10,2使得使得（）（）11022FFF=对于对于（）Fx在在1,12上利用上利用拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理,得存在得存在1,1,2使得使得（）（）11122FFF=,两式相加得两式相加得（）（）22ff+=+.所以存在所以存在110,122,使使（）（）22ff+=+.（22）（22）【解析】【解析】因为方程组有两个不同的解因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,3,进而进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法有以下两种方法.方法方法11：

（II）已知已知Axb=有有22个不同的解个不同的解,故故（）（）3rArA=,对增广矩阵进行初等行变换对增广矩阵进行初等行变换,得得111110101010111111aAa=22111111010101010110011aa+当当1=时时,11111111000100010000000Aa,此时此时,（）（）rArA,故故Axb=无解无解（舍去舍去）当当1=时时,111102010002Aa+,由于由于（）（）3rArA=,所以所以2a=,故故1=,2a=.方法方法22：

已知：

已知Axb=有有22个不同的解个不同的解,故故（）（）3rArA=,因此因此0A=,即即数学

（二）试题第12页（共3页）211010

（1）

（1）011A=+=,知知1=或或-1.-1.当当1=时时,（）1（）2rArA=,此时此时,Axb=无解无解,因此因此1=.由由（）（）rArA=,得得2a=.（IIII）对增广矩阵做初等行变换对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A=可知原方程组等价为可知原方程组等价为1323212xxx=,写成向量的形式写成向量的形式,即即123332110210xxxx=+.因此因此Axb=的通解为的通解为32110210xk=+,其中其中k为任意常数为任意常数.（23）（23）【解析解析】由于由于0141340Aaa=,存在正交矩阵存在正交矩阵Q,使得使得TQAQ为对角阵为对角阵,且且Q的第一的第一列为列为1（1,2,1）6T,故故A对应于对应于1的特征向量为的特征向量为11（1,2,1）6T=.根据特征值和特征向量的定义根据特征值和特征向量的定义,有有1116622661166A=,即即数学

（二）试题第13页（共3页）10141113224011aa=,由此可得由此可得11,2a=.故故014131410A=.由由14131（4）

（2）（5）041EA=+=,可得可得A的特征值为的特征值为1232,4,5=.由由2（）0EAx=,即即1234141710414xxx=,可解得对应于可解得对应于24=的线性无关的特征的线性无关的特征向量为向量为2（1,0,1）T=.由由3（）0EAx=,即即1235141210415xxx=,可解得对应于可解得对应于35=的特征向量为的特征向量为3（1,1,1）T=.由于由于A为实对称矩阵为实对称矩阵,123,为对应于不同特征值的特征向量为对应于不同特征值的特征向量,所以所以123,相互正交相互正交,只只需单位化：

需单位化：

312123123111（1,2,1）,（1,0,1）,（1,1,1）623TTT=,取取（）12311162321,063111623Q=,则则245TQAQ=.