考研数学二数学302真题试题及答案解析Word格式文档下载.docx
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n-2
n∖B.——
W-2
个数是（〉
A.4
B.3
C.2
D.1
6•函数/（x）在区间［-2,2］上可导.Π∕Xv）>
∕（λ∙）>
0.则<
）
B.
D.
7•己如四阶短阵J=（αj不可逆山応的代数余子式/f12≠0^15α29α3^4为短阵畀的
列向虽组，/T为月的伴随矩阵.则方程组AtX=O的通解为（》
A.X=A“I+&
√Z2+A√z3,其中仏M2,&
3为任点常数
B.x≈klal+k2a2-^kia49其中ki,k2,ki为任意常数
C.*=]+R2<
Z3+*37,其中knk29ki为任总常数
D.X=kla2∙^k2a3^-kiai9^φΛ∣,Λ2,Λ3为任总常数
&
i殳/1为3阶矩阵,tz,,α2为矩阵/IWTI的线性无关的特征向S.α3为//的属丁特征值
仃O0、
-1的特征向量.则满足PxΛP=0-10的可逆矩阵P可为（〉
0OL
A∙（al+a3,a2-a3）
B.（αι+α2Sr3）
C.（a】+%F3,F2）
D.（ai+^2,-α3.-α2）
E.
上）
ILsr=arctan[Λτ+sin（.r+y）h则（IZI（OlX）=∙
12•斜边长为2uWltL（∏2f∣J形丫板铅Il地沉没任水中』斜边与水而齐丫•设血力加連
度为Q水的密度为C则该半板•侧所受的水压力为
13.设y=y（x）满足yβ+Iy+y=O,且y（0）=0./（0）=I,则£
v（λMv=
Q0
Oa
-11
-1
三、简答题（15-23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本题满分10分）
求曲纯F=产=（V>
0）的斜渐近线方程O
"
0+V）
16.（本题满分10分）
□.知PA数/（x）连续ILliI】、=Lg（X）=∫'
/（Xt）（JK求匕'
（x）,并证明g'
（.v）&
x=0处连续。
17.（本题满分IO分）
求函数/（Λ∖j∕）=x1+Sy的极值。
18.（本题满分10分）
设西数√（.v）的定义域为（0,+00）且满足2∕（λ）+疋彳+卜护寻・求＜（∙d并求Illl线y≈f（x∖y=\y=£
及y轴所创图形绕X轴旋转所成旋转体的体积。
19.（本题满分10分）
设平而DillH线x=tx≈Zy=x与X轴Bl成，il口∫∫ClXdy。
20.（本題满分Il分）
设曲数/（.v）=∫e"
ch.
（1）证明:
存在⅞e（l,2>
/（⅞）=（2-⅞X;
<
2>
证明：
存在77∈（1,2）,/
（2）=1π2∙77√.
21.（本题滴分11分）
设/（.v）Ur导，且曲线y=/（x）（x>
0）经过坐标原点.只上任意•点财处的切线与X轴交TT,又An垂直X轴与点P,已知曲线y=/（x）,直线MP以及λ:
轴所鬧图形面积与∖MTP血积之比恒为3:
2,求满足上述条件的曲线力程。
22.（本題满分Il分）
设二次型/（.Vrx2,Λβv）=.rl2+Xj+Xj+2πxix2+2αrlX:
+2ax2x3经可逆线性变换
化为二次型g（y』2必）+y；
÷
4vf+2^2.
（1>
求a；
求可逆如阵P.
23.（本题满分Il分）
IaAhl阶矩阵，P=（4Aa∖其中a是非零向虽且不楚A的待征向乩
1>
证明P为可逆建阵.
（2）若A2a+Aa-6a=0.^lAP.并判断/（是否相似于对角阵。
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学
（二）试题答案
1.【答案】D
【解析】选项A,（∫θ（/-1）√∕）=-1~x2（x→O
选项B,（∫jn（l÷
√F√∕））=ln（l+√?
）~λ∙^（.v→O+）选项G（fs,1rsin∕2√r）=Sin（Sin2x）COSX-X?
（X->
（）"
）
JD
选项D,（J；
iλ'
Jsiιf∕d∕）=JSin（I-COSK）sin.v~cv,（.vToJ
2.【答案】C
【解析】间断点为X=-1,0,1,2,
Iim/（x）=8为无穷间斯点.Iiln./（.v）二一--为町去间斷,"
・
x→-!
JrTO2f
Iimf（x）=∞为无穷间断点Jimf（x）≈∞为无穷间断点•
x→lx→2
3.【答案】A
[解析】=2f'
arcsin4xdarcsinVr=（arcsin>
∕x∖'
=
JoJx（Ii）JoV,0
4.【答案】A
【解析】∕,"
（x）=hW（l-Λr）√i+C:
IdZ（I-X）2x+C：
IfZ（Ir）2∕π,（0）=C2aIncλ-Z）（I-x）2IJ=O=n（n-1）（-1）λ^（-Ir（M-3）!
=~
5.【答案】B
【解析】
IimA（λ∖y）=IimXy=则IimIimf（x^y）=0,③与④对;
（X..Γ>
→<
O,O）*（P）T（Oxh.ι→0λ→0•
人（OJ）-人（0∙0）Ilm
FTOυ-0
=IiIn⅛→o
人（0丿）-1
≠1,②错.
于足止确的个数为3个.
6•【答案】B
【解析】因为f∖x）>
f（x）>
0,所以以卫〉1.所以上也-ι>
o,
/（x）/（A）
记F（X）十丁⑴,则
F（X）>
0.F（O）=/（0）,F（-l}=√（-l）,因为F（X）单调增,所以F（O）>
F（-l）,
BP/（0）>
√（-l）5即
7.【答案】C
【解析】因为M不可逆,所以rH）<
4,又因为上12工°
，所以∕,（∕0≥3,所以r（∕l）=3,r（∕i'
）=1,
又因为J12≠0,所以ana39a4线性无关，
又囚为AA∙=（K所以川\=0的通解
X=AIaI+⅛2α3+⅛3α4,ft中你匕、心为任童常数•8•【答案】D
【解析】山题知A（al+α2）=α1÷
α3,A（-a3）=-（-α3）,
I0O-
令P二（（Zl+幺2・一口3，口则厂咕P=0-10.
001
9•【答案】-√2
√∕2+l
【解析】交换枳分次序得
（CA7J；
Jx'
+1*=J：
CqJx'
+l√r=£
X2Jx'
+I（Zr
=打√77L∕（F+1）=扌（2屁1）.
11.【答来】
（π-∖）dx-dy
【解析】±
=Jarctan（Aτ÷
Sin（A-÷
^））=^÷
x√y÷
cos⅛X^÷
√r）1+g+sing）），
则血（On≈（π-Y）dx-dy.
12.【答案】Ipgα3
【解析】水压力为F=£
P^（CI-y）∙2yιly=2∕^χ∫θ（U-y）∙ydy=
13.【答案】1
【解析】/+2∕+v=0的特征方程为√+2r+l=0.则r=-l为二重根,
微分方程的通解为J=（Cl+CW
由MO）=OJ'
（0）=1得CI=O,c2=L则
J=-Ye'
xJθy（χ）Nv=JoXe^dX=
14.【答案】α4-4a2
15•【解析】只考虑X>
0的情形:
+x,πΓLrIII1
=LIim—1-__L±
£
a.<
→÷
≡ot
=-Iinl'
∏∕）=丄,于是,曲线的斜渐近线方程为y=-X+丄
∕jto∙/-2ee2e
16•【解析】当XHo时,
X（X）=∫θ∕（χ∕）<
∕/∫∫∕（ι∕M?
/.XU）=Λ∫t
当X=OlI4,
r、/∕u-[f（ιι）du—0
Xn）-—=Iim
JrfOXλ->
0工
所以
.x≠0,
x=0,
f（U）（JIt+=IinI丄F*f∖u）du+Iim
X」Jf→0XZJOx→0
=1⅛4F+l=r^（O）
所以g∖x）在X=O处连续•
故/⑴在C丄］处取得极小值JI极小值/卩丄］=-⅛
\612）\612J2\6
】9•【解析】令/=少（M.,=F丄町討
DXCOSF
=⅛⅛^
=∣∫;
SeC^tan^=ISeC^tan^
7L3止
4一二J：
UmOsecO必
02°
JwoSeC财-茁SeCs伏
=-y∕l——P（SeC2^-I）SeCOdO
=I^-ItSeC^+⅛sec^
3厂3—
=一4一/+—In（SeC〃+Um〃）4
92e
Z0
=-√2-7+1ln（l+^）
22
7=^［√2+ln（1+√2）］.
20.证明：
令F（X）=（2-χ∖f（χ∖曲题/（∣）=O.Λ（I）=O.Λ,⑵=0,囚为F（X）在［1,2］上连续，在（1.2）可导，
所以由罗尔定理可知北w（1.2）使FG）=0.
即f（ξ）=（2-ξy2
（2）令^（X）=InX,/（x）,g（x）在［1,2］上连续,在（1,2）可导,且g'
（χ）=0,
所以由柯西中值定理可知
存在片∈（1,2）,便得樂=¾
~z¾
W∕⑵=ln2.〃訐.g（〃）g
（2）-g（l）
21.【解析】设所求曲线方程为y=J（X）.任•点AZ坐标为（Xj）,
MPV
由题tan/?
=/=-—•即TP=—.
TPy
三角形MT的血积为：
曲边三角形OMp的山i积S=£
J（X>
Zv,
山两IiieIZ比为常数W^7=∣j^>
（λ->
Zy,
两边关于T求导衍⅛⅛⅛∙=-J（Xμψy>
w=-y,21
厂33
令PG）=⅛M∕=pv,
（Jy
=∙∣∕√,即"
y^--τIP=O。
3Jv3
■"
-J
原方程化为VP如「'
ay.
丄
由J—p=o>
得“=Ca•即b=C肿.从而G+C2=牛,dy3•丄
山曲线过原点，JlXeO=0,代入f9C2=0.
所求曲线为^=ICIX.
山G的任点性•曲线可衣示为y=Cχ∖C为任盘常数。
1aa>
110、
22.【解析1
（1）设
a1a
110
・由题意可知
WQ1>
004
r（∕l）=r（Z?
）.Itnr（^）=2,故厂（M）=2,于是可得a≈-∖
-宁2*3
（3）对于二次型/
f（xi,x29X3）=X^+X2+xl-XIX2-x2x3一XIX3
=（xi・卜2・十討十缶
（11
+T（x2-兀3）'
4
=IXI・£
兀2・£
*3
对于二次型g,gS，必"
J=X+M+4处+2儿儿=S+必），W
（\
（
\
‘可=yi+y2}
■二；
1
0-1
Z2=2>
⅛
%7
得g=Z12+∑2.取马=
01
、Z3=>
⅛丿
2）
丄0
2丿
2
取尸=MT
2、
v3
4
O
、
Z、
Vl
•存在变换
兀2
=P
y≥
便得/CYl•勺∙XJ化为^CVl.y2J3）•
23.证明:
1）H为"
是非0向量,Il不是力的特征向量,
所以Acι≠^λ为任盘实数，
所以，P=（a9Aa）的2列向量不成比例，
所以心加线性无关，从而R（P）=2,所以P可逆。
-I）
2；
∣l∣于∕1P=A（（LAa）=（Aa,Aa）=（Λa,6a-A（J）=（t∕,Aa
fθQ
所以AP=P&
UT丿
Ifo6\
又因为/M逆，所以P^AP.丄
f0\
所以，B=又∖B-λE∖=Or所以，才+八6=0
从而A=-3,A2=2
所以B的2个特征值互不相同，从而〃可对角化乂』与B相似，所以/对对角化。
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