中考几何常见辅助线介绍.pdf
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1中考几何常见辅助线介绍中考几何常见辅助线介绍11一一.过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等去作题过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等去作题1如图在四边形ABCD中，BCBA，AD=DC，BD平分ABC求证：
180CA.2已知：
如图，在ABC中，A=90，AB=AC，1=2，求证：
BC=AB+AD3如图，ABCD中，E是DC上一点，F是AD上一点，AE交CF于点O，且AE=CF.求证：
OB平分AOC.二二有和角平分线垂直的线段时有和角平分线垂直的线段时，把它延长可得到中点或相等的线段把它延长可得到中点或相等的线段，从而与三角形中位线或三角形全从而与三角形中位线或三角形全等建立起联系等建立起联系4已知：
如图，1=2，ABAC，CDAD于D，H是BC中点，求证：
DH=21（ABAC）5已知：
如图，AB=AC，BAC=90，1=2，CEBE，求证：
BD=2CEABCD12ABCHD12ABCED12ADBCDECBOFA2三三.有角平分线时，常作平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常作平行线，构造等腰三角形。
（角平分线（角平分线+平行线平行线等腰三角形等腰三角形.）6已知：
如图，）（ACABABC中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DFAB,交AE于点F，DF=AC.求证：
AE平分BAC.四、有中线时可延长中线，构造全等三角形或平行四边形：
四、有中线时可延长中线，构造全等三角形或平行四边形：
7已知：
如图，AD为ABC中线，求证：
ADACAB2.8.已知：
如图，90CADBAE，AD=AC，AB=AE，M为BC中点，AM的延长线交DE于N求证：
DEANABCFEDABDCABCENDM3八年级八年级数学培优训练题数学培优训练题补形法补形法的的应用应用一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。
这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。
我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。
现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。
一、补成三角形一、补成三角形1.补成三角形补成三角形例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；证明：
ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。
分析：
过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。
这也是梯形中常用的辅助线添法之一。
略证：
2.补成等腰三角形补成等腰三角形例2如图2.已知A90，ABAC，12，CEBD，求证：
BD2CE分析：
因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF2CE，再证BDCF即可。
略证：
3.补成直角三角形补成直角三角形例3.如图3，在梯形ABCD中，ADBC，BC90，F、G分别是AD、BC的中点，若BC18，AD8，求FG的长。
分析：
从B、C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。
略解：
4.补成等边三角形补成等边三角形例4.图4，ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AEBD，连结CE、ED。
证明：
ECED分析：
要证明ECED，通常要证ECDEDC，但难以实现。
这样可采用补形法即延长BD到F，使BFBE，连结EF。
略证：
图图34二二由由角平分线角平分线想到的辅助线想到的辅助线口诀口诀：
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：
a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线与角有关的辅助线（一
（一）、截取构全等、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，AOC=BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例例11如图1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，点E在AD上，求证：
BC=AB+CD。
分析分析：
此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证简证：
在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
例例22已知：
如图1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证DCAC分析分析：
此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
例例33已知：
如图1-4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC，求证：
AB-AC=CD分析分析：
此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的线段上截?
图1-1?
O?
A?
B?
D?
E?
F?
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图1-2?
A?
D?
B?
C?
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图1-3?
A?
B?
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图1-4?
A?
B?
C?
D?
E5取短的线段，来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢？
练习1已知在ABC中，AD平分BAC，B=2C，求证：
AB+BD=AC2已知：
在ABC中，CAB=2B，AE平分CAB交BC于E，AB=2AC，求证：
AE=2CE3已知：
在ABC中，ABAC,AD为BAC的平分线，M为AD上任一点。
求证：
BM-CMAB-AC4已知：
D是ABC的BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。
求证：
BD+CDAB+AC。
（二
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例例11如图2-1，已知ABAD,BAC=FAC,CD=BC。
求证：
ADC+B=180分析分析：
可由C向BAD的两边作垂线。
近而证ADC与B之和为平角。
例例22如图2-2，在ABC中，A=90，AB=AC，ABD=CBD。
求证：
BC=AB+AD分析分析：
过D作DEBC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。
此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。
例例33已知如图2-3，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证：
BAC的平分线也经过点P。
分析分析：
连接AP，证AP平分BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。
练习：
练习：
1如图2-4AOP=BOP=15，PC/OA，PDOA，如果PC=4，则PD=（）A4B3C2D12已知在ABC中，C=90，AD平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。
3已知：
如图2-5,BAC=CAD,ABAD，CEAB，AE=21（AB+AD）.求证：
D+B=180。
4.已知：
如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC上的点，FAE=DAE。
求证：
AF=AD+CF。
5已知：
如图2-7，在RtABC中，ACB=90,CDAB，垂足为D，AE平分CAB交CD于F，过F作FH/AB交BC于H。
求证CF=BH。
?
图2-1?
A?
B?
C?
D?
E?
F?
图2-2?
A?
B?
C?
D?
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图2-3?
P?
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图2-4?
B?
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图2-5?
A?
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图2-6?
E?
A?
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D?
F?
图2-7?
F?
D?
C?
B?
A?
E?
H6（三（三）：
作角平分线的垂线构造等腰三角形：
作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例例11已知：
如图3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD于D，H是BC中点。
求证：
DH=21（AB-AC）分析分析：
延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。
问题可证。
例例22已知：
如图3-2，AB=AC，BAC=90，AD为ABC的平分线，CEBE.求证：
BD=2CE。
分析分析：
给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例例33已知：
如图3-3在ABC中，AD、AE分别BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。
求证：
AM=ME。
分析分析：
由AD、AE是BAC内外角平分线，可得EAAF，从而有BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。
练习练习：
11已知：
在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是BAC的平分线，且CEAE于E，连接DE，求DE。
22已知BE、BF分别是ABC的ABC的内角与外角的平分线，AFBF于F，AEBE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=21BC（四（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
如图4-1和图4-2所示。
?
图4-2?
图4-1?
C?
A?
B?
C?
B?
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G例5如图，BCBA，BD平分ABC，且AD=CD，求证：
A+C=180。
BDCA?
图示3-1?
A?
B?
C?
D?
H?
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图3-2?
D?
A?
B?
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F?
C?
图3-3?
D?
B?
E?
F?
N?
A?
C?
M7例6如图，ABCD，AE、DE分别平分BAD各ADE，求证：
AD=AB+CD。
练习：
练习：
1.已知，如图，C=2A，AC=2BC。
求证：
ABC是直角三角形。
3已知CE、AD是ABC的角平分线，B=60，求证：
AC=AE+CD4已知：
如图在ABC中，A=90，AB=AC，BD是ABC的平分线，求证：
BC=AB+AD三三由由线段线段和差想到的辅助线和差想到的辅助线口诀：
口诀：
线段线段和差及和差及倍半，延长缩短可试验。
倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式线段和差不等式，移到同一三角去。
，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
1、截长：
在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：
将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：
例1、已知如图1-1：
D、E为ABC内两点,求证:
AB+ACBD+DE+CE.证明证明：
（法一）（法一）将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，在AMN中，AM+ANMD+DE+NE;
（1）在BDM中，MB+MDBD；
（2）在CEN中，CN+NECE；（3）由
（1）+
（2）+（3）得：
ABECDCABABCDAEBDCABCDENM11图8AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
三、三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
四、截长补短法作辅助线。
例如：
已知如图6-1：
在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点求证：
AB-ACPB-PC。
分析：
要证：
AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。
证明：
（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN,在APN和APC中AN=AC（辅助线作法）1=2（已知）AP=AP（公共边）APNAPC（SAS）,PC=PN（全等三角形对应边相等）在BPN中，有PB-PNBN（三角形两边之差小于第三边）BP-PCPM-PC（三角形两边之差小于第三边）AB-ACPB-PC。
例1如图，AC平分BAD，CEAB，且B+D=180，求证：
AE=AD+BE。
例2如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，求证：
ADC+B=180例3已知：
如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108，BD平分ABC。
求证：
BC=AB+DC。
DAECB?
A?
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B?
C?
DDCBAABCDNMP16图1292.如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BDAE于D，CEAE于E。
求证：
BD=DE+CE四四由中点想到的辅助线由中点想到的辅助线口诀口诀：
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
（一一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，AD是ABC的中线，则SABD=SACD=SABC（因为ABD与ACD是等底同高的）。
例1如图2，ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中线。
已知ABC的面积为2，求：
CDF的面积。
解：
因为AD是ABC的中线，所以SACD=SABC=2=1，又因CD是ACE的中线，故SCDE=SACD=1，因DF是CDE的中线，所以SCDF=SCDE=1=。
CDF的面积为。
（二二）、由中点应想到利用三角形的中位线、由中点应想到利用三角形的中位线例2如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。
求证：
BGE=CHE。
证明：
连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，ME是BCD的中位线，MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位线，MFAB，MFE=BGE，10AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，从而BGE=CHE。
（三三）、由中线应想到延长中线、由中线应想到延长中线例3图4，已知ABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。
解：
延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=22=4。
在ACD和EBD中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，从而BE=AC=3。
在ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90，BD=，故BC=2BD=2。
例4如图5，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。
求证：
ABC是等腰三角形。
证明：
延长AD到E，使DE=AD。
仿例3可证：
BEDCAD，故EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，从而AB=AC，即ABC是等腰三角形。
（四四）、直角三角形斜边中线的性质、直角三角形斜边中线的性质例5如图6，已知梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求证：
AC=BD。
证明：
取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtABD，RtABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此CDE=DCE。
AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在ADE和BCE中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。
11（五五）、角、角平分线平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例6如图7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：
BD=2CE。
证明：
延长BA，CE交于点F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，从而CF=2CE。
又1+F=3+F=90，故1=3。
在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。
注：
此例中BE是等腰BCF的底边CF的中线。
（六）（六）中线延长中线延长口诀：
口诀：
三角形中有中线，延长中线等中线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。
例一例一：
如图4-1：
AD为ABC的中线，且1=2，3=4，求证：
BE+CFEF。
证明证明：
廷长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。
在BDE和CDM中，BD=CD（中点定义）1=5（对顶角相等）ED=MD（辅助线作法）BDECDM（SAS）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180（平角的定义）3+2=90即：
EDF=90FDM=EDF=90在EDF和MDF中ED=MD（辅助线作法）EDF=FDM（已证）DF=DF（公共边）EDFMDF（SAS）EF=MF（全等三角形对应边相等）在CMF中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF上题也可加倍FD，证法同上。
注意：
当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。
例二例二：
如图5-1：
AD为ABC的中线，求证：
AB+AC2AD。
分析：
要证AB+AC2AD，由图想到：
AB+BDAD,AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去14图ABCDEFM123412证明证明：
延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CEAD为ABC的中线（已知）BD=CD（中线定义）在ACD和EBD中BD=CD（已证）1=2（对顶角相等）AD=ED（辅助线作法）ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在ABE中有：
AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD。
练习：
练习：
1如图，AB=6，AC=8，D为BC的中点，求AD的取值范围。
2如图，AB=CD，E为BC的中点，BAC=BCA，求证：
AD=2AE。
3如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，BAC=DAE=90。
求证：
AMDC。
4，已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。
5已知：
如图AD为ABC的中线，AE=EF，求证：
BF=AC五五全等三角形辅助线全等三角形辅助线找全等三角形的方法：
找全等三角形的方法：
（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；ABCDE15图DMCDEDADBDBADC86BECDAABCDEF25图ABDCEF13DCBAEDFCBA（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：
三角形中常见辅助线的作法：
延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：
常见辅助线的作法有以下几种：
1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：
在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答（一
（一）、倍长中线（线段）造全等、倍长中线（线段）造全等1：
（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.2：
如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3：
如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：
AD平分BAE.EDCBA14?
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B?
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A（二
（二）、截长补短、截长补短1.如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：
CDAC2：
如图，ACBD，EA,EB分别平分CAB,DBA，CD过点E，求证;ABAC+BD3：
如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。
求证：
BQ+AQ=AB+BP4：
如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分ABC，求证：
0180CA5:
如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC?
C?
D?
B?
A
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