研究生高级微观经济学习题.pdf

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1第一部分：

消费者理论第一部分：

消费者理论第一部分：

消费者理论第一部分：

消费者理论一、形式化表述分析消费者偏好的性质（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等）二、效用函数存在性证明。

请参考教材三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。

考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为（2，4）时，其=1p需求为（1，2）。

当价格为（6，3）时，其需求为（2，1），该消=1x=2p=2x费者是否满足显示性偏好弱公理。

如果（1.4，1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。

=2x解答：

消费束1偏好于消费束281*42*2xp102*41*2xp2111=+=+=消费束2偏好于消费束1151*32*6xp122*31*6xp2212=+=+=消费束1在价格2的情况下买4.111*34.1*6xp122*31*6xp2212=+=wpXwpB,请参考教材3九、效用函数，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应2222111122221111）,（xxxxxxxxxxxxxxxxuuuu=和总效应。

请参考教材十、效用函数，求其货币度量的直接和间接效用函数。

11112222111122221111）（）,（xxxxxxxxxxxxxxxxuuuu+=答案：

11111111222211111111111122221111）（）（）,（+=ppppppppxxxxxxxxxxxxppppwwwwwwwwqqqqqqqqppppppppwwwwqqqqpppp+=1111111122221111111111111111222211111111）（）（）,（；十一、效用函数，当，2222111122221111）,（xxxxxxxxxxxxxxxxuuuu=40404040,3333,22220000222200001111=wwwwpppppppp5555,44441111222211111111=pppppppp求其等价变化和补偿变化。

答案：

，wwwwqqqqqqqqppppppppwwwwqqqqpppp2222111122221111）,（=；）1111101010103333（40404040=EVEVEVEV）3333101010101111（40404040=CVCVCVCV十二、分析福利分析在税收方面的应用。

请参考教材十三、，假定，对商品1开征消费税0.252121）,（xxxxu=25.01=p12=p2=w元。

求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。

解答：

解答：

maxmax2121）,（xxxxu=s.t.s.t.wpxpx=+221111求瓦尔拉斯需求函数求瓦尔拉斯需求函数（11）建立拉格朗日函数）建立拉格朗日函数）-（221121xpxpwxxL+=（22）求极值一阶条件）求极值一阶条件（a）（a）02112122111=pxxxL（b）（b）02122122112=pxxxL（c）（c）02211=xpxpwL4由由（a）（a）和和（b）（b）整理得：

整理得：

（）（）21122121212112=ppxxppxxxx（33）瓦尔拉斯需求函数）瓦尔拉斯需求函数分别将分别将，代入预算约束代入预算约束（c）（c），有，有2112=ppxx2121=ppxx112=pwx222=pwx22求间接效用函数求间接效用函数将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数，有，有2121=）,（xxxxu212211212211212）2（）2（）,（ppwpwpwwppv=33求支出函数求支出函数由间接效用函数，求反函数由间接效用函数，求反函数得：

得：

w）,（2=21212211wppvppwuppupe2122112=）,（44求希克斯需求函数求希克斯需求函数法一：

将支出函数法一：

将支出函数代入瓦尔拉斯需求函数代入瓦尔拉斯需求函数，得到，得到iipwx2=upp2122111h=upp2122112h=法二：

根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求法二：

根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函函数。

数。

55求货币度量的效用函数求货币度量的效用函数（11）货币度量的直接效用函数）货币度量的直接效用函数由由，有，有uppupe2122112=）,（5）,（2=）,（21212211xxuppxpw212122112=xxpp（22）货币度量的间接效用函数）货币度量的间接效用函数wqqppwqqvppwqp21221121221121212211）,

（2）,;（=66下标下标00表示征税前，下标表示征税前，下标11表示征收消费税后。

表示征收消费税后。

，25.0=01p1=02p，25.0+25.0=11p1=12p2=01www等价变化分析：

等价变化分析：

2）1（）25.0（22）（）

（2）,（u21212102210102010=ppwwppv2）1（）5.0（22）（）

（2）,（u21212112211112111=ppwwppv按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：

按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：

）,（）,（1110upeupeEv=wupe-）,（=10wwpp-）,;（=10（）（）（）（）wwpppp=21212121_12_110201（）（）（）（）5858.02215.0125.021212121_=商品税与收入税对消费者的福利之差为商品税与收入税对消费者的福利之差为:

）,;（）,（）,;（）（101110wppEvupthwppEvT=0.08585858.02）1（）5.0（25.05858.0）（）（25.02121121122111=+=+=upp表明商品税对消费者的福利影响更差。

表明商品税对消费者的福利影响更差。

补偿变化分析：

补偿变化分析：

按照征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：

按照征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：

）,（）,（0100upeupeCv=）,（-=01upew6）,;（-=01wppw（）（）（）（）wppppw21212121_02_011211=（）（）（）（）8284.02125.015.0221212121_=商品税与收入税对消费者的福利之差为商品税与收入税对消费者的福利之差为:

）,;（）,（）,;（-010101wppCvupthwppCvT=8284.00.70748284.02）1（）5.0（25.08284.0）（）（25.02121021122111+=+=+=upp=0.1213=0.1213表明商品税对消费者的福利影响更差。

表明商品税对消费者的福利影响更差。

2.D.3设xB,xB,0,1.Bwp,wp,令x=x+（1-）x,因为x是一个凸集，所以xX.故px=（px）+（1-）（px）w+（1-）w=w因此，xB.wp,2.E.5因为x（p,w）对w是一次齐次的，所以对任意0有Bx（p,w）=x（p,w）.7因此，x（p,w）=x（p,1）w.ll因为当kl时，（p,1）/=（p）/=0lxkplkp所以x（p,1）只是关于p的函数，即可记为x（p,w）=x（p）.lllll又因为x（p,w）满足零次齐次性，所以x（p）必定是p的-1次方。

lll因此，存在0时，使x（p）=/p.lllll根据瓦尔拉斯定律,p（/p）w=w=w.llllll因此有=1是个常数.ll82.F.3B（a）若100120+100y100100+100100且100100+80100100120+80y即,y75,80时,他的行为与弱公理矛盾.（b）若100120+100y100100+100100且100100+80100100120+80y即,y100100+100100且100100+80100100120+80y即,y80时,消费者在第2年的消费束显示出优于第1年的消费束.（注:

b,c假定弱公理成立）（d）无论y取何值,都有充分的信息来断定a,b,c中有一个成立（e）当y100120+80y因此第2年的实际收入水平低于第1年的实际收入水平,同时商品1的相对价格上升.但是,因为y75100,商品2的需求量下降,这意味着商品1的收入效应是负的.故商品1（在某一价格上）是劣等品.（f）当80y100100+100100且100100+80100100120+80y因此第2年的实际收入水平高于第1年的实际收入水平,同时商品2的相对价格下降.但是,因为y100-5+=100-5+，31/pp32/pp3/pw31/pp32/pp3/pw=.33231/pwpppp+33231/pwpppp+（c）因为斯拉茨基替代矩阵具有对称性，则有：

（）（）3323133/pwpppppp+=（）（）3323133/5100/pwpppppp+因此，代入=1，整理得：

3p=（）wpp221+（）wpp2215100+因为该方程对于所有和w都成立,则有，21,pp=，=-5，+100+=得，5,5,100=21xx=（）33231/5/5100pwpppp+由于斯拉茨基矩阵的对角线上的所有元素均为非正的，则得到：

=0代入=1，对角线上的第一个元素为：

-3p5+（）wpp22155100+13若0，则0，就可找到一组值使得上式0.2（）wpp21,故得：

=0所以，=.21xx=（）3231/5/5100pppp+（d）因为对于任意价格，=，所以消费者的无差异曲线呈L型，拐1x2x点在坐标轴的对角线上，如下图。

（e）根据d的结论，对于固定的，商品1和2的偏好可由表示，3x21,minxx商品1和2的需求也无收入效应。

因此得到：

=+或是该形式的单调变换。

（）321,xxxu21,minxx3xX1OX2143.I.7（a）根据瓦尔拉斯定律和零次齐次性，可得到三种商品的需求函数的定义域都是。

于是我们可以从需求函数中得到（）0:

3PRRwp一个33的斯拉茨基矩阵。

将该斯拉茨基矩阵的最后一行与最后一列去掉，可得到一个22的子矩阵，为.gecbp）/1（3根据瓦尔拉斯定律和齐次性，当且仅当22的子矩阵对称时，33的斯拉茨基矩阵也对称。

同样，可得当且仅当22的子矩阵为半负定矩阵时，33的斯拉茨基矩阵也是半负定矩阵。

因此，效用最大化所蕴含的参数限制为：

c=e,b0,g0,且bg-c2150.（b）首先，证明前两种商品相应的希克斯需求函数与效用水平无关，仅是前两种商品价格的函数，它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。

=,=l=1,2（）uphl,（）（）upepxl,（）uphl,（）（）upepxl,因为与收入无关，=（）lx（）（）upepxl,（）（）upepxl,因此=。

（）uphl,（）uphl,故，与效用水平无关，它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。

（）uphl,若价格变化是遵循路径：

，则等价变化为：

（）1,1（）1,2（）2,2+=+（）11121,1,dpuph（）22221,2dpuph（）11121,1,dpwpx（）22221,2dpwpx=+（）（）cba+2/3（）（）ged2/32+若价格变化是遵循路径：

，则等价变化为：

（）1,1（）2,1（）2,2+=+（）11121,2,dpuph（）22221,1dpuph（）11121,2,dpwpx（）22221,1dpwpx=+（）（）cba22/3+（）（）ged2/3+当且仅当c=e时，以上两种等价变化相等。

（c）由以上可知：

=a+（3/2）b+c1EV（）11121,1,dpwpx=d+e+（3/2）g=d+c+（3/2）g2EV（）22221,1dpwpx=（a+（3/2）b+c）+（d+2e+（3/2）g）=a+（3/2）b+3c+EV16d+（3/2）g因此,-（+）=cEV1EV2EV与之和不包括由于第二种商品的价格上升到2引起的图1EV2EV中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应（同样也可指不包括第一种商品的价格上升到2引起的图中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应）。

从图中看出，当c=e0，包括ABCD区域，但EV+不包括。

1EV2EV（d）因为=a+2b+c,第一种商品的税收收入与它相等，（）wx,1,21因此，=（a+（3/2）b+c）-（a+2b+c）=-b/21DW因为=d+e+2g,第二种商品的税收收入与它相等，（）wx,2,12因此，=（d+e+（3/2）g）-（d+e+2g）=-g/22DW因为=a+2b+2c,=d+2e+2g,两种商品的税收收（）wx,2,21（）wx,2,22入为：

（a+2b+2c）+（d+2e+2g）=a+2b+4c+d+2g因此，=（a+（3/2）b+3c+d+（3/2）g）-（a+2b+4c+d+2g）=-b/2-c-g/2DWd+ed+2e201DCBAX2X117故，-（+）=-cDW1DW2DW（e）问题可以转化为：

（）（）21,21ttDWMintts.t.R（）llltutth,1,12121+=其中，=-（）21,ttDW（）21,ttEV（）21,ttTR=-（）utte,1,121+（）ue,1,1（）llltutth,1,12121+=建立拉格朗日函数：

=+（R-）（）,21ttL（）21,ttDW（）21,ttTR对求一阶导数：

-=0lt（）ltttDW/,21（）ltttTR/,21但是，由于/=（）utte,1,121+lt（）utthl,1,121+=+（）ltttTR/,21（）utthl,1,121+（）klkkttutth）/,1,1（2121+=所以=/-（）ltttDW/,21（）utte,1,121+lt（）utthl,1,121+-（）klkkttutth）/,1,1（2121+=-（）klkkttutth）/,1,1（2121+=因此一阶条件可以写为：

+=0l=1,2（）klkkttutth）/,1,1（2121+=（）+1（）utthl,1,121+又因为R=,（）llltutth,1,12121+=则-=（）（）21212121tctbactbt+（）（）21212121tgtcagtct+18（a+b+c）+（d+c+g）=R（）11t+（）21t+1t（）11t+（）21t+2t第二部分：

厂商理论第二部分：

厂商理论第二部分：

厂商理论第二部分：

厂商理论一、产商的生产函数，求其要素需求函数和条件要素33331111222233331111111111111111）,（xxxxxxxxxxxxxxxxffff=需求函数。

解答：

（1））,（.maxmaxmaxmax111111112222222211111111xxxxxxxxffffyyyyttttssssxxxxwwwwxxxxwwwwpypypypy=2222222211111111333311112222333311111111maxmaxmaxmaxxxxxwwwwxxxxwwwwxxxxpxpxpxpx=00003333111111113333111122223333222211111111=wwwwxxxxpxpxpxpxxxxx00003333111122223333111111113333222222222222=wwwwxxxxpxpxpxpxxxxx2222222211113333111127272727wwwwwwwwppppxxxx=1111222222223333222227272727wwwwwwwwppppxxxx=

（2））min（min（min（min（2222222211111111xxxxwwwwxxxxwwww+yyyyxxxxxxxxttttssss=333311112222333311111111.,222233332222111122222222111111111111yyyywwwwwwwwxxxx=,222233332222111111112222111122222222yyyywwwwwwwwxxxx=二、产商的生产函数，求其成本函数和利润函数31231111）,（xxxxf=解：

将要素需求函数带入利润函数表达式就得到利润函数，将条件要素需求函数带入成本函数表达式就得到成本函数答案：

222211113333222233332222111122222222111111112222111127272727）,（,2222）,（wwwwwwwwppppyyyyppppyyyywwwwwwwwyyyywwwwwwwwcccc=19三、产商的生产函数，

（1）用三种方法求其供给函数

（2）假定31231111）,（xxxxf=生产要素2固定为k，再重新求其供给函数。

解答：

（1）方法一：

由利润函数求解供给函数方法二：

由生产函数求解供给函数方法三：

由成本函数求解供给函数（注意：

是利润最大化条件）MCMCMCMCpppp=2222111122229999wwwwwwwwppppyyyy=

（2）同样的三种办法222211111111）3333（wwwwkpkpkpkpyyyy=四、厂商利润最大化条件的意义及应用边界；厂商成本最小化条件的意义及应用边界（新加）参考书五、分析生产集的性质参考书六、阐述欧拉方程和克拉克分配定理的理论意义和现实意义。

参考书七、证明利润函数是价格的凸函数。

参考书八、给出要素需求函数、条件要素需求函数、成本函数及利润函数形式化描述，并解释经济意义。

说明其性质，并证明其中的凹凸性性质。

参考书第三部分不确定性选择第三部分不确定性选择第三部分不确定性选择第三部分不确定性选择一、一决策者的效用函数为，初始财富160000，5%损失70000，5%损失xxxxxxxxuuuu=）（120000，问其愿意支付的最大保险金额多大？

如果保险公司不承担损失中的207620，其愿意支付的最大保险金额又多大？

解答：

用确定性等值，

（1）RRRR=+160000160000160000160000160000160000160000160000%90909090120000120000120000120000160000160000160000160000%555570000700007000070000160000160000160000160000%555511775117751177511775=RRRR

（2）RRRRRRRRRRRR+=+160000160000160000160000%909090907620762076207620160000160000160000160000%55557620762076207620160000160000160000160000%5555160000160000160000160000%90909090120000120000120000120000160000160000160000160000%555570000700007000070000160000160000160000160000%555511004110041100411004=RRRR二、给出简单彩票、复合彩票、货币彩票及彩票空间的独立性公理的形式化描述，并解释经济意义。

二*、期望效用函数的存在性证明参考书三、写出并证明绝对和相对风险系数不变的效用函数。

参考书四、简要分析保险需求理论的基本框架。

参考书五、简要分析资产组合理论的基本框架参考书六、假定个人具有效用函数，

（1）计算当财富水平时的绝对和相xxxxxxxxuuuu=）（5=w对风险规避系数。

（2）计算彩票的确定性等价和风险溢价（3）计）21,21;4,16（算彩票的确定性等价和风险溢价。

将这一结果与

（2）比较，并）21,21;16,36（解释。

对同一个人，不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能有相同的风险溢价。

解答：

（1），1010101011112222111122221111）22221111（2222111111112222111122223333=xxxxxxxxxxxxuuuuuuuurrrr22221111=xxxxuuuuuuuu21

（2），）（）（）（2222222211111111xxxxuuuuxxxxuuuuwwwwccccuuuu+=9999）（,4444222211111616161622221111）（=+=wwwwccccwwwwcccc，101010104444222211111616161622221111）（2222222211111111=+=+=xxxxxxxxwwwwEEEE1111）（）（）（=wwwwccccwwwwEEEEwwwwRRRR（3），。

25252525）（=wwwwcccc26262626）（=wwwwEEEE1111）（）（）（=wwwwccccwwwwEEEEwwwwRRRR对同一个人，不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能有相同的风险溢价。

第四部分：

局部、一般均衡和福利经济学第四部分：

局部、一般均衡和福利经济学第四部分：

局部、一般均衡和福利经济学第四部分：

局部、一般均