广州一模理科数学试卷及答案.pdf

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绝密，传启用前注意事项：

2016年广州市普通高中毕业班综合测试

（一）理科数学1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷土无效。

3.国答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷一选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

（1）己知集合A=xllxll,B=xlx2-x豆叶，则A门B=（A）xl-1至X至1CB）xlO三X至1CC）xlOx三1CD）xlO至xO）的相邻两个零点之间的距离为一，则的值为6）（A）3（B）6（C）12（D）24（5）设等差数列。

”）的前n项和为乱，且向向12=24，则s13=（A）52CB）78CC）104CD）208（6）如果罚飞，P,，是抛物线C:

y2=4x上的点，它们的横坐标依次为X1X2，孔，F是抛物线C的焦点，若X1引x,=10，则IJ=:

Fl+I乓Fl尺Fl=（A）n+lOCB）n+20CC）2n+10CD）2n+20（7）在梯形ABCD中，ADDBC，己知AD=4,BC=6，若百m瓦斗nBC（m,nER），贝卢n（A）-3CB）__!

_CC）_!

_CD）333理科数学试题第l页（共22页）Ix-y-I豆0,（8）设实数X,y满足约束条件ix+y-I豆0，则x2+（y+2）2的取值范围是Ix二三1,llltIllJ寸4Al-2llltIll、3A,ra（B）1,17（C）1,.Ji于（D）子叫（9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为l，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（A）20空。

写CB）一二一3CC）5骂、写冗CD）一二二一6（11）己知下列四个命题：

P，：

若直线l和平面内的无数条直线垂直，则l.l：

P2：

若f（x）=2-Tx，贝UtxR,J（-x）=-f（x）;p3：

若！

（均可击则:

lx0E（0,+co）f（x0）=1;p4：

在AABC中，若AB，则sinAsinB.其中真命题的个数是CA）lCB）2CC）3CD）4（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A）8+8./2+4-./6CB）8+8./2+2-./6JV/7CC）2+2./2+._/6CD）1-./2.,J6一一一一一224Cl2）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”323452013201420152016579.40274029403181216.805680602028.16116该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（A）201722015CB）201722014CC）201622015CD）201622014理科数学试题第2页（共22页）第II卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二填空题：

本大题共4小题，每小题5分（13）一个总体中有60个个体，随机编号0,1.2，”，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为l,2,3，6.现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是（川知双曲线C:

;-t=l（0,bO）的左附加，右焦点为F，点B（叫，且目置0ab则双曲线C的离心率为Cl5）（x2-x-2r的展开式中，（用数字填写答案）二？

则函数g（x）=2川x）-2的零点个数为个X之I川的系数为fl一lx+ll,（16）己知函数f（x）=ix2一句2B三解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）CD1-BC,如图，在AABC中，点D在边AB上，CD=5,BD=2AD.AC=5J3,CI）求AD的长：

CII）求AABC的面积（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,65）,65,75）,75,85内的频率之比为4:

2:

1.盟主组距。

030-CI）求这些产品质量指标值落在区间75,85内的频率；0.019-CII）若将频率视为概率，从该企业生产的2lounu这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间45,75）内的产0.004-品件数为X，求X的分布列与数学期望354555657585质量指标值1525理科数学试题第3页（共22页）。

C19）C本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD-A,B,C,D，的底面ABCD是菱形，AC门BD=O,AiOi底面ABCD,AB=AA,=2.CI）证明：

平面Apoi平面BB1D1D:

D,?

CII）若LBAD=6D，求二面角B-0鸟C的余弦值k/,、,/D.-_L一二一，：

？

c二三，一。

AB（20）C本小题满分12分）c,己知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为汽（一叫，点s（2，占）在椭圆C上，直线y=kx（k:

;t:

O）与椭圆C交于E,F两点，直线AE,AF分别与y轴交于点M,N.CI）求椭圆C的方程；CII）以MN为直径的圆是否经过定点？

若经过，求出定点的坐标：

若不经过，请说明理由（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）=ex+m-x3,g（X）=ln（X+1）+2.CI）若曲线y二f（x）在点（o,f（o）处的切线斜率为1，求实数m的值：

CII）当m:

2:

1时，证明：

f（x）g（x）-x3.理科数学试题第4页（共22页）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，贝lj按所做的第一题计分做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4一1：

几何证明选讲如图所示，AABC内接于0，直线AD与00相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DEDCA交BA的延长线于点E.CI）求证：

DE2=AEJBE;CII）若直线EF与00相切于点F，且EF=4,EA=2,求线段AC的长（23）（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程ED在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点。

为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin，0,2）CI）求曲线C的直角坐标方程；,._,rx=J3r+J3,CII）在曲线C上求一点D，使匕到直线l:

斗Ct为参数，tR）的距离最短，并求y=-3t+2出点D的直角坐标（24）（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲设瞅f（x）斗x+Fal十CI）当。

1时求不等式！

（叶的解集；CII）若对任意。

0,1，不等式f（x）三b的解集为空集，求实数b的取值范围理科数学试题第5页（共22页）绝密，传启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试

（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4.只给整数分数选择题不给中间分选择题

（1）D（7）A二填空题（13）43三解答题

（2）D（8）A（3）C（9）D、5+I（14）干一一2（4）B00）B（15）-40（5）C（ll）A（16）2（6）A（12）B（17）（I）解法一：

在AABC中，因为BD=2AD，设AD=x（xO），则BD=2x.在ABCD中，因为CD1-BC,CD=5,BD缸，CD5所以cos正CDB一一一.2分BD2x在l:

.ACD中，因为AD=x,CD=5,AC=5fj,AD2+CD2-AC2x2+52一（5Ji）2由余弦定理得cosADC=2ADCD2X5因为CDBADC，所以cos丘ADC=-COSt乙CDB,x2+52一（5.J3）25即-一一.5分2x52x解得x=S.所以AD的长为5.6分理科数学试题第6页（共22页）解法二：

在AABC中，因为BD=2AD，设AD=x（x0），则BD=2x.在ABCD中，因为CD1-BC,CD=5,BD=2x,所以BC.BC.J4x2-25所以cosCBD一一，一.2分BD2x在6.ABC中，因为AB知，BC占AC=S.f?

J,AB2+BC2-AC213x2-100川由余弦定理得cosCBA=卢一一一一分2ABBC6x.J4x2-25飞4x2-25l3x2-100所以，一卢一一一一.5分2x6x.J4x2-25解得x=S.所以AD的长为5.6分CII）解法一：

由CI）求得AB=3x=l5,BC岳7丁五5-/3.g分BC.n.1所以COSL乙CBD一一二二，从而smCBD一.10分BD22所以S川Dr=！

ABBCsinCBA山u2c17飞n=-x155./3一一二二.12分224解法二：

由CI）求得AB=3x=l5,BC乒7丁否s-/3.g分因为AC=5.f?

J，所以6.ABC为等腰三角形BC.n因为cosCBD一一二二，所以L.CBD=30.10分BD21飞I飞所以AABC底边AB上的高h=-BC二22所以sAAUr=_!

_ABh山LJ215.fj75.fj一15一一一一一.12分224理科数学试题第7页（共22页）解法三：

因为AD的长为5,CD51所以cosCDB一一一一一，解得CDB一.8分BD2x232？

气、飞所以Sunr一ADCDsin一一一二山234？

气气S山rn一BDCDsin一一二.10分山山2327气、n所以SMBC=SM川Sl:

.BCD寸二时（18）解：

（I）设区间75,85内的频率为X,则区间55,65）,65,75）内的频率分别为4x和2x.1分依题意得（0.004+0.012+0.019+0.03）10+4x+2x+x=1，3分解得x=0.05.所以区间75,85内的频率为0.05.4分门口从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从二项分布B（矶时，其中n=3.由（I）得，区间45,75）内的频率为0.3+0.2+0.1=0.6,将频率视为概率得p=0.6.5分因为X的所有可能取值为0,L2,3，.6分且P（X=O）叫0.60.43=0.064,P（X=1）=C;0.610.42=0.288P（X=2）=C0.620.41=0.432,P（X=3）=C：

0.6300.216.所以X的分布列为：

xp00.0640.28820.43230.21610分所以X的数学期望为EX=O0.064+10.288+20.432+30.216=1.8.（或直接根据二项分布的均值公式得到EX=np=30.6=1.8）.12分理科数学试题第8页（共22页）C19）CI）证明：

因为AiOi平面ABCD,BDc平面ABCD,所以AIO.lBD.！

分Ai所以D2分g二，：

ro二；二二三4j，乙：

，工7c因为ABCD是菱形，因为AP门CO=O,2二二，苟，、AB所以BD.l平面A1co.3分因为BDc平面BBIDID,所以平面BB,D,Di平面A,CO.4分clCTI）解法一：

因为AiOi平面ABCD,CO.lBD，以0为原点，OBocOAI方向为xy,z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.S分因为AB儿叫2,LBAD=60。

，所以OB=OD=LOA=OC=.J3，问）AA,2-OA2=1.6分则B（l,0,0）,c（0,-J,0）,A（0,-J,0）,（0,0,1）,所以高石；二（o,.Ji,1）,再；二司豆豆；（1，二巧，1）7分DI设平面OBBI的法向量为n（川，z）因为再（1，州，再；（1，1）/I/）D，：

二，.：

一马，、目二，一/,J.二二，f二二C所以t:

y+z二。

令y=1,A乞二二J”一、B得n（以./3）.:

.9分同理可求得平面OCBI的法向量为m=（1,0，一1）.10分.Ji,J6所以cos0）,。

因为椭圆的左焦点为町（-2,o），所以矿b2=4.1分设椭圆的右焦点为R，协己知点s（2,h）在椭圆C上，由椭圆的定义知IB罚l+IB乓1=2，所以2a=3.J2+.J2=4.J2阶所以2.J2，从而b=2阶x2y2所以椭圆C的方程为一一1.4分84xv解法二设椭圆C的方程为仨二1（b0）,。

因为椭圆的左焦点为Fi（-2，的，所以2-b2=4Ic、42因为点Bl2，但l在椭圆C上，所以：

；：

；l.飞J。

（.l分.2分由解得，a=2.J2,b=2.阶x2y2所以椭圆C的方程为一一1.4分84CII）解法一：

因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为（22,o）5分x2y2因为直线y=kx（k=t=0）与椭圆一一1交于两点E,F,84设点E（布，Yo）C不妨设X00），则点F（-xo,-Yo）L8-2一XB可/JIMPd去消帆兰4户2x一8fIll气illL组口至于在什方立联/）2/）/.,所以Xo一二工二一，则Yn一二二J石FJO理科数学试题第11页（共22页）所以直线AE的方程为y=古（川Fi）.6分1飞11+2e因为直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,们0阳叫0,1一在）8分2FikI一（1+2k2）所以IMNl=I一|1+.Ji石k21-0+2k21一（F21设MN的中点为p，则点P的坐标为PIO,-TJJO分则以MN为直径的圆的方程旷儿到2=r2（1却2）llk）IlklI。

2-.f）F!

Ix+y二y=4.ll分k-令y=O，得x2=4，即x=2或x=-2.故以MN为直径的圆经过两定点Pi（2,0），乓（2,0）.12分解法二因为椭圆C的左端点为A，则点A的坐标为（22,o）5分x2v因为直线y=kx（k*0）与椭圆一二一1交于两点E,F,84设点E（句，Yo），则点F（-xo,-Yo）所以直线AE的方程为y一主，（x+2J2）.6分X0+2飞12飞因为直线AE与y轴交于点M,A_2Jiyo（2J2yo1令x=O得Y一节，即点MlO，一一1.？

分.X0+2-J2l刊2-J2）l空、12.v晶l同理可得点NIO，一二三号8分lx。

一2.J2）理科数学试题第12页（共22页）向J向一川NM以所因为点E（xo,Yo）在椭圆C上，所以五正184所以IMNI立.协IYol-r.J）ynl设MN的中点为P，则点p的坐标为PlO，一二二JL1.10分l.YoJ?

r、I?

x,16则以MN为直径的圆的方程为矿Iy二二i一飞Yo）Yo叫2l?

x0一即xyL一二二y-4.11分Yo令y=O，得对4,l1Px=2或x=-2.故以MN为直径的圆经过两定点Pi（2,0），乓（2,0）.12分解法三：

因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为（22,0）5分x2v2因为直线y=kx（k=t=0）与椭圆一1交于两点E,F,84设点E（212cosB,2sinB）（0），则点F（-212cosB,-2sin所以直线AE的方程为y=2.J2二立2.M（川Fi）.6分因为直线AE与y轴交于点M,2sin（2sin1令x=O得y一一，即点MIO，一一一一.7分cos1l.cosIJ（2sin1同理可得点NIO，一一一一8分cos1）I2sin2sinI4所以IMNI一一一一一一一一.9分Icos1cos11sin理科数学试题第13页（共22页）（2cos1设MN的中点为p，则点p的坐标为PlO一一一一一1.10分sinj则以MN为直径的圆的方程为对（y坦钊丁，飞smtJJsm,4cos即矿y：

y=4.11分sintJ令y=O，得x2=4，即x=2或x=-2.故以MN为直径的圆经过两定点Pi（2,0），乓（2,0）.12分C21）CI）解：

因为f（x）=ex+m-x3所以f（x）=ex川一3x2.1分因为曲线y=J（x）在点（o,J（o）处的切线斜率为1,所以f（0）=e111=1，解得m=O2分CII）证法一：

因为J（x）=eHm-x3,g（x）=ln（x+1）+2,所以f（x）g（x）-x3等价于ex+m一ln（x+l）-2。

当m主1时，ex”一ln（x+1）-2主ex+I一ln（x+1）-2要证e”一ln（x+l）-20，只需证明ex+I一ln（x+1）-204分以下给出三种思路证明e+I-ln（X+1）-2Q思路1：

设h（x）=e+I一叶设p（X）=e+I-！

一，则P（X）=ex+I+！

一0（x+1）2所以函数p（x）=h（x）=ex+1_！

一在（1,+oo）上单调递增.6分x+I阳

（1）二二20所以函数邱）=ex+I一土在（1,+oo）上有唯一零的。

，且时_!

_,Olx+12J理科数学试题第14页（共22页）8分因为h（x0）=0，所以exo+I=！

，即ln（x0+1）=-（x0+1）.9分X0+l当x（1,x0）时，h（x）O,所以当Xo时，h（x）取得最小值h。

10分所以叫x）h（xo）=exo+I一ln（x0+1）-2二（x0+1）-20.x0+l综上可知，当m三1时，f（x）g（x）-x312分思路2：

先证明ex+I主x+2（xR）.5分设h（x）=ex+l-x-2，则h（x）=ex+l一1因为当x一1时，h（x）O,所以当x0,只需证明（x+2）-ln（x+1）-20.8分下面证明x一ln（x+l）兰O.设p（归一Inx+lx+l当一lxO时，p（x）O时，p（x）O,所以当一lxO时，函数p（x）单调递增所以p（x）三p（O）=O.所以x一ln（x+1）二0（当且仅当x=O时取等号）10分由于取等号的条件不同，理科数学试题第15页（共22页）所以eH1-ln（x+1）-20.综上可知，当m注1时，f（x）g（x）-x3.12分（若考生先放缩In（x+1），或e、ln（x+1）同时放缩，请参考此思路给分！

）思路3：

先证明eHI一ln（x+1）-20.令t=x+l，转化为证明e1一lnt2（tO）.5分因为曲线y=e1与曲线y=Int关于直线y=t对称，设直线x=x0（x00）与曲线y=e1、y=lnt分别交于点A、B，点A、Bf1J直线y=t的距离分别为di、吨，则AB=.f5_（d1的）a句vv1肉v其中di立d=.:

L_二二立（x00）.f5,2.f5,设h（x0）=e与（x00），则h（x0）1.因为x00，所以h（x0）10.所以h（x0）在（0,+oo）上单调递增，则h（x0）h（O）=I.aXo.I叮所以d,=.：

.立二二、22设p（Xo）与In与（xoo），则P（x0）=1土主二！

.XoXo因为当0x01时，p（x0）0,所以当0x01时，函数p（x0）=x0-Inx0单调递增所以p（xo）主p（l）=l.所以且主主.J22（.f5,F2i所以AB2-J2（d1呜）.Ji.IJ=2.理科数学试题第16页（共22页）综上可知，当m三1时，f（x）g（x）-x3.12分证法二：

因为f（x）=eg（x）-x3等价于e川ln（x+l）-20.4分以下给出两种思路证明ex+m一ln（x+l）-2。

思路1：

设叫x）=ex+m一In（设p（x）=ex，一一，贝Up（x）=e+（x+l）2所以函数p（x）=h（x）户！

在（1.+oo）上单调递增.6分x+l因为m主1,所以h（一1旷，）旷l川11-e=e（e-l+所以函数h（x）在（一1,+oo）上有唯一零点句且时1川）8分因为h（x0）=0，所以eXo+III=！

，即In（x0+1）=-x0-m.9分x0+l当x（0,x0）时，h（x）O.所以当X=X0时，h（x）取得最小值h（x0）.10分所以h（x）主忡。

）=ex.仕”一ln（x0叫一2斗x0+m-2Xo十I=i卢叫川。

综上可知，当m2.l时，f（x）g（x）-x3.12分思路2：

先证明ex主x+l（xR），且ln（x+l）豆x（x-1）.5分设F（x）二ex-x-l，则F（x）=ex-1.因为当xO时，F（x）O时，F（x）0,理科数学试题第17页（共22页）所以F（x）在（一oo,O）上单调递减，在（O,+oo）上单调递增所以当x=O时，F（x）取得最小值F（O）=0.所以F（x）三F（O）=0，即ex主x+l（xR）.7分所以ln（x+1）三x（当且仅当x=O时取等号）.8分再证明e”一ln（x+1）-20.由ex注x+l（xER），得ex）二：

2C当且仅当x一l时取等号）.9分因为x-1,m注1，且ex+I主x+2与ln（x+1）三x不同时取等号，所以e+m一ln（X+1）-2=em-Iex+I一ln（x+l）-2e”一1（x+2）-x-2=（e川一l）（x+2）三0.综上可知，当m主1时，f（x）g（x）-x3.12分（22）CI）证明：

因为AD是0的切线，所以正DAC正BC弦切角定理）.l分因为DEDCA,E所以DAC丘EDA.2分所以EDA丘B.D因为LAED丘DEBC公共角），所以AAED（/）!

:

DEB.3分DEAE所以一一一一BEDE即DE2=AEJBE.4分CII）解：

因为EF是0的切线，4B是0的割线，所以EF2=EAJEB（切割线定理）.5分因为EF=4,EA=2，所以EB=8,AB=EB一4=6.7分理科数学试题第18页（共22页）由CI）知DE2=AEE，所以DE=4.8分因为DEDCA，所以ABAC（/）h,.BED.9分BAAC所以一一一一BEEDBAED64所以AC一一一一二一一3.10分BE8C23）CI）解：

由2sin，0,2），可得2=2sin.l分因为2=x2+y2，siny，.2分所以曲线C的普通方程为x2+y2-2y=0C或对（y一1）2=1）.4分rx=.J3t+.J3CII）解法一：

因为直线的参数方程为（t为参数，tER）,ly=-3t+2消去f得直线l的普通方程为y=-.J3x+5.S分因为曲线C：

对（y-1）2=1是以G（0,1）为圆心，l为半径的圆，设点D（布，Yo），且点D到直线l:

y=-.J3x+5的距离最短，所以曲线C在点D处的切线与直线l:

y=-/3x+5平行即直线GD与l的斜率的乘积等于一1，即主二1（J?

）=-1.7分Xo飞因为x/+（Yo一1）2=L解f（J3（J3寻Xn一一一或几一一2v2（J?

11JJ?

31所以点D的坐标为一一一，一虱一一，一I.9分I22JI22J由于点D到直线y=-.J3x+5的距离最短，理科数学试题第19页（共22页）！

、n31所以点D的坐标为二二，一.10分rx=./3t+.13解法二：

困为直线l的参数方程为（t为参数，tR）,y=-3t+2消去t得直线l的普通方程为.J3x+y-5=0.5分因为曲线cx2+（y-1）2=1是以G（0,1）为圆心，l为半径的圆，因为点D在曲线C上，所以可设点D（cos机l+sin）（们（0,2）7分l./3cossin41所以点D到直线l的距离为d