结构动力学第二章.pdf

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第第2章分析动力学基础及运动方程的建立章分析动力学基础及运动方程的建立2.1基本概念基本概念2.1.1动力自由度动力自由度动力自由度概念的动力自由度概念的由来由来将本质上的动力学问题化为形式上静力学问题将本质上的动力学问题化为形式上静力学问题须引入惯性力须引入惯性力惯性力与质量的加速度有关，须描述质量的加速度惯性力与质量的加速度有关，须描述质量的加速度须描述质量的位置须描述质量的位置须引入动力自由度须引入动力自由度动力自由度动力自由度：

确定结构的全部确定结构的全部质量在任何时刻所处位置质量在任何时刻所处位置需要的需要的独立独立的几何参数（坐标）数目的几何参数（坐标）数目。

红色部分为红色部分为引入动力自由度概念的目的引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为，蓝色部分为实现此目的的手段实现此目的的手段。

概念中的概念中的“全部全部”、“独立独立”两个条件非常关键。

两个条件非常关键。

严格来说，所以结构体系严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，质量都是连续分布的，为无限自由度体系，研究比较困难为无限自由度体系，研究比较困难。

但许多情况下，可以。

但许多情况下，可以作一定的简化，变为有限自由度体系。

作一定的简化，变为有限自由度体系。

简化并确定结构动力自由度最典型的方法：

集中质量法集中质量法根据结构的质量分布情况将质量集中到若干点上根据结构的质量分布情况将质量集中到若干点上勾画结构变形图，分析质量所在处结构的变形勾画结构变形图，分析质量所在处结构的变形用若干个独立的几何参数（坐标）描述质量所在处结构的变形，独立的几何坐标即为动力自由度数用若干个独立的几何参数（坐标）描述质量所在处结构的变形，独立的几何坐标即为动力自由度数悬臂柱式结构体系（烟囱、水塔等简化而来）悬臂柱式结构体系（烟囱、水塔等简化而来）例例2.1长为长为l的悬臂柱上端有一集中质量的悬臂柱上端有一集中质量m在空间在空间6自由度：

自由度：

x,y,z,x,y,z在平面在平面3自由度：

自由度：

x,z,y作为质点作为质点2自由度：

自由度：

x,z不计轴向变形不计轴向变形1自由度：

自由度：

x可见结构自由度数目与计算假定有关！

可见结构自由度数目与计算假定有关！

计算假定计算假定越越少，自由度数目少，自由度数目越越多，结果多，结果越越精确，但计算精确，但计算越越复杂；计算假定复杂；计算假定越越多，自由度数目多，自由度数目越越少，结果少，结果越越粗糙，但计算粗糙，但计算越越简单。

简单。

应在合理的假设下得到较少的自由度数目。

梁式结构体系梁式结构体系例例2.2简支梁上有一台电动机简支梁上有一台电动机1自由度自由度:

y（t）例例2.3简支梁上有两个集中质量简支梁上有两个集中质量2自由度自由度:

y1（t），y2（t）是否自由度数目等于集中质量数？

请看下例。

是否自由度数目等于集中质量数？

请看下例。

例例2.4无限刚度的梁上有两个集中质量无限刚度的梁上有两个集中质量1自由度自由度:

（t）可见结构自由度数目与集中质量数无关！

可见结构自由度数目与集中质量数无关！

刚（框）架类结构体系刚（框）架类结构体系例例2.5单跨三层剪切型刚架，柱子质量已集中到横梁，横梁抗弯单跨三层剪切型刚架，柱子质量已集中到横梁，横梁抗弯刚度无穷大刚度无穷大不计柱子的轴向变形，由变形图可见自由度为不计柱子的轴向变形，由变形图可见自由度为3个：

个：

x1（t）,x2（t）,x3（t）刚（框）架类结构体系刚（框）架类结构体系例例2.6单跨两层刚架，单跨两层刚架，4个集中质量个集中质量若计及轴向变形，自由度为若计及轴向变形，自由度为22=4个；不计轴向变形，自由度为个；不计轴向变形，自由度为4个个:

x1（t）,y1（t）,x2（t）,y2（t）若计及轴向变形，自由度为若计及轴向变形，自由度为42=8个；不计轴向变形，自由度为个；不计轴向变形，自由度为2个个:

x1（t）,x2（t）例例2.7单跨两层刚架，单跨两层刚架，2个集中质量个集中质量小结：

小结：

确定结构的动力自由度，关键是确定结构的动力自由度，关键是根据结构的质量分布、变形（运动）情况将连续分布的质量集中到若干点，根据结构的质量分布、变形（运动）情况将连续分布的质量集中到若干点，并并对结构变形作出合理假设，勾画结构变形图对结构变形作出合理假设，勾画结构变形图。

结构自由度数目并不是固定不变的，而是结构自由度数目并不是固定不变的，而是依赖计算假设，应在合理的假设下得到较少的自由度数目依赖计算假设，应在合理的假设下得到较少的自由度数目。

结构自由度数目结构自由度数目与集中质量数目无关与集中质量数目无关。

2.1.2惯性力惯性力（InertialForce）惯性惯性：

保持物体运动状态的能力。

：

保持物体运动状态的能力。

惯性力惯性力：

大小大小等于物体的质量与加速度的乘积，等于物体的质量与加速度的乘积，方向方向与加速度的方向相反。

与加速度的方向相反。

umf&-I=I表示惯性（表示惯性（Inertial）；）；m质量（质量（mass）；）；质点的加速度。

质点的加速度。

mckufI（t）fD（t）fS（t）m2.1.3弹簧的恢复力弹簧的恢复力（ResistingForceofSpring）对弹性体系，对弹性体系，弹簧的恢复力弹簧的恢复力也被称为也被称为弹性恢复力弹性恢复力。

弹性恢复力：

大小大小等于弹簧刚度与位移等于弹簧刚度与位移（弹簧变形弹簧变形）的乘积，的乘积，方向方向指向体系的平衡位置。

指向体系的平衡位置。

kuf-S=s表示弹簧（表示弹簧（Spring）k弹簧的刚度（弹簧的刚度（Springstiffness）u质点位移质点位移mckufI（t）fD（t）fS（t）m单层框架结构的水平刚度单层框架结构的水平刚度p（t）hLEIbEIcEIc（a）Eib=（b）Eib=0（c）cb3c;431324LIhIhEIk=+=h框架结构的高度框架结构的高度E弹性模量弹性模量Ib和和Ic梁和柱的截面惯性矩梁和柱的截面惯性矩=;243chEIk0;63c=hEIk2.1.4阻尼力阻尼力（DampingForce）阻尼：

阻尼：

引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用。

阻尼来源阻尼来源（物理机制）：

（物理机制）：

固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散；固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散；结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦；结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦；结构周围外部介质引起的阻尼。

例如，空气、流体等。

结构周围外部介质引起的阻尼。

例如，空气、流体等。

粘滞（性）阻尼力可表示为：

D表示阻尼（表示阻尼（damping）c阻尼系数（阻尼系数（Dampingcoefficient）质点的运动速度质点的运动速度u&uf&-cD=mckufI（t）fD（t）fS（t）m阻尼系数阻尼系数c的确定：

的确定：

不能像结构刚度不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等来获得，因为那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等来获得，因为c是是反映了多种耗能因素综合影响的系数反映了多种耗能因素综合影响的系数，阻尼系数，阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到一般是通过结构原型振动试验的方法得到。

粘性（滞）阻尼粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中理论仅是多种阻尼中最为简单最为简单的一种。

的一种。

其它常用的阻尼：

摩擦阻尼：

阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数；摩擦阻尼：

阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数；滞变阻尼：

阻尼力大小与位移成正比滞变阻尼：

阻尼力大小与位移成正比（相位与速度相同相位与速度相同）；流体阻尼：

阻尼力与质点速度的平方成正比。

流体阻尼：

阻尼力与质点速度的平方成正比。

2.1.5线弹性体系和粘弹性体系线弹性体系和粘弹性体系（LinearlyElasticSystemandViscousElasticSystem）线弹性体系线弹性体系：

由线性弹簧（或线性构件）组成的体系。

当结：

由线性弹簧（或线性构件）组成的体系。

当结构处于小变形状态，并忽略介质的阻尼时。

构处于小变形状态，并忽略介质的阻尼时。

最简单的理想化力学模型。

粘弹性体系粘弹性体系：

当线弹性系统中进一步考虑阻尼的影响时。

：

当线弹性系统中进一步考虑阻尼的影响时。

结构动力分析中的最基本力学模型。

2.1.6非弹性体系非弹性体系（InelasticSystem）构件（或弹簧）的恢复力可表示为构件（或弹簧）的恢复力可表示为）,（SSuuff&=fS是位移和速度的非线性函数。

是位移和速度的非线性函数。

结构构件的力结构构件的力变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。

变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。

工程结构是属于弹性体系还是非弹性体系，一般主要由结构变形的大小决定。

2.2运动方程的建立运动方程的建立1.利用利用牛顿牛顿（Newton）第二定律第二定律fD（t）fS（t）mckp（t）u（t）p（t）单质点体系的受力分析单质点体系的受力分析maF=SD）（fftpF=）（SDtpffma=+kufucfua=SD&）（tpkuucum=+&单质点体系运动时要满足的控制方程单质点体系运动时要满足的控制方程运动方程运动方程利用牛顿第二定律的优点利用牛顿第二定律的优点牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用以人们最容易接受的力学知识建立体系的运动方程以人们最容易接受的力学知识建立体系的运动方程2.DAlembert原理（直接动力平衡法）原理（直接动力平衡法）DAlembert原理原理：

在体系运动的任一瞬时，如果除了实际作用结构的主动力（包括阻尼力）和约束反力外，再加上（假想的）惯性力，则在该时刻体系将处于假想的平衡状态（动力平衡）。

：

0）（SDI=ffftp）（tpkuucum=+&kufucfumf=SDI&fD（t）fS（t）mckp（t）u（t）p（t）单质点体系的受力分析单质点体系的受力分析fI（t）DAlembert原理的优点：

原理的优点：

静力问题是人们所熟悉的，有了静力问题是人们所熟悉的，有了DAlembert原理之后，本质上的动力问题就变成了形式上的静力问题，静力问题中用来建立控制方程的方法，都可以用于建立动力问题的平衡方程，使对动力问题的思考有一定的简化。

对很多问题，原理之后，本质上的动力问题就变成了形式上的静力问题，静力问题中用来建立控制方程的方法，都可以用于建立动力问题的平衡方程，使对动力问题的思考有一定的简化。

对很多问题，DAlembert原理是用于建立运动方程的最直接、最简便的方法。

原理是用于建立运动方程的最直接、最简便的方法。

DAlembert原理的贡献：

建立了原理的贡献：

建立了动力平衡动力平衡概念。

概念。

3.虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理：

在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。

：

在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。

虚位移虚位移是指满足是指满足体系约束条件体系约束条件的的无限小位移无限小位移。

0）（SDI=ffftp）（tpkuucum=+&kufucfumf=SDI&fD（t）fS（t）mckp（t）u（t）p（t）单质点体系的受力分析单质点体系的受力分析fI（t）0）（SDI=ufufufutp虚位移原理的优点：

虚位移原理的优点：

虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因而比虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因而比Newton第二定律，或第二定律，或DAlembert原理中需要采用的矢量运算更简便。

原理中需要采用的矢量运算更简便。

对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些m,Jcckp（t）无质量刚杆无质量刚杆kLLLL无质量刚杆无质量刚杆LLLL4.Hamilton原理原理（积分形式的动力问题的变分方法）（积分形式的动力问题的变分方法）可以应用可以应用变分法变分法（原理）建立结构体系的运动方程。

（原理）建立结构体系的运动方程。

体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值，一般是极小值。

Hamilton原理是动力学中的变分法（原理）。

原理是动力学中的变分法（原理）。

应用应用Hamilton原理可以推导出体系的运动方程。

原理可以推导出体系的运动方程。

（）mucukupt+=&Hamilton原理原理：

在任意时间区段：

在任意时间区段t1,t2内，体系的动能和位能的变分加上非保守力做功的变分等于内，体系的动能和位能的变分加上非保守力做功的变分等于0。

1122（）0ttncttTVdtWdt+=ncncjjjWPu=T体系的总动能；体系的总动能；V体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；Wnc作用于体系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功；作用于体系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功；指（在指定时间段内）所取的变分。

指（在指定时间段内）所取的变分。

Hamilton原理的优点：

原理的优点：

不明显使用惯性力和弹性力，而分别用对动能和位能的变分代替。

因而对这两项来讲，仅涉及处理纯的标量，即能量。

不明显使用惯性力和弹性力，而分别用对动能和位能的变分代替。

因而对这两项来讲，仅涉及处理纯的标量，即能量。

而在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。

动能动能：

集中质量转动质量集中质量转动质量位能位能：

拉伸弹簧转动弹簧：

拉伸弹簧转动弹簧多自由度体系：

多自由度体系：

动能动能位能位能212Tmu=&212TJ=&212Vku=212Vk=&21122ijijjjijjTmuumu=&12ijijijVkuu=用用Hamilton原理建立体系的运动方程原理建立体系的运动方程体系的动能：

位能体系的动能：

位能（弹簧应变能弹簧应变能）：

212Tmu=&212Vku=1122（）0ttncttTVdtWdt+=因此能量的变分：

因此能量的变分：

非保守力所做的功的变分（等于非保守力在位移变分上作的功）非保守力所做的功的变分（等于非保守力在位移变分上作的功）将以上两式代入将以上两式代入Hamilton原理的变分公式，得：

原理的变分公式，得：

对上式中的第一项进行分部积分对上式中的第一项进行分部积分kuuuumVT=&）（uucutpWnc&=）（0）（21tt=+dtutpkuuuucuum&11122211112222（）（）（）ttttttttttttttddmuudtmuudtmuudtdtdtmudumuuumudtmuudt=&对上式中的第一项进行分部积分对上式中的第一项进行分部积分（）mucukupt+=&0）（21tt=+dtutpkuuuucuum&021tt=+udt）t（pkuucum&5.Lagrange方程方程Hamilton原理是一种积分形式的动力问题的变分方法，实际还有另外与之等价的原理是一种积分形式的动力问题的变分方法，实际还有另外与之等价的微分形式的动力问题的变分原理微分形式的动力问题的变分原理，就是运动的，就是运动的Lagrange方程，其表达式如下：

方程，其表达式如下：

NjtPuVuTuTdtdncjjjj,1,2,）,（）（L&=+其中：

其中：

T体系的动能；体系的动能；V体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；Pncj与与uj相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。

相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。

用用Hamilton原理：

原理：

1122（）0ttncttTVdtWdt+=推导：

推导：

Lagrange方程方程（）（）,1,2,ncjjjjdTTVPtjNdtuuu+=L&用用Hamilton原理推导原理推导Lagrange方程对于有方程对于有N个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为:

1212（,）NNTTuuuuuu=&LL12（,）NVVuuu=L因此动能和位能的变分为：

因此动能和位能的变分为：

NNjjjjjjTTTuuuu=+&NjjjVVuu=同时，非保守力所做功的变分为：

同时，非保守力所做功的变分为：

（a）（）（b）（）（c）（）（d）（）（e）（）（f）（）（g）NncncjjjWPu=将式将式（c）、（d）和和（e）代入代入Hamilton原理式得：

原理式得：

2211（）0NNttncjjjttjjjjjTVTPudtudtuuu+=&对式对式（f）的第二项进行分部积分：

的第二项进行分部积分：

22221111222111（）（）（）（）（）ttttjjjjttttjjjjtttjtjjttjjjduTTTdTudtdtudtduuudtudtuTdTdTuudtudtudtudtu=&式式（g）代入式代入式（f）得：

得：

21（）0NtncjjtjjjjdTTVPudtdtuuu+=&由由uj的任意性，可知式的任意性，可知式（h）中括号内的项恒为零，这样就得到了中括号内的项恒为零，这样就得到了Lagrange方程：

方程：

（）（）,1,2,ncjjjjdTTVPtjNdtuuu+=L&（h）体系的动能：

位能：

非保守力：

体系的动能：

位能：

非保守力：

212Tmu=&212Vku=（）cnPcupt=+&因此，因此，（）（）dTdmumudtudt=&0Tu=Vkuu=代入代入Lagrange方程：

再一次得到体系的运动方程：

方程：

再一次得到体系的运动方程：

（）（）ncdTTVPtdtuuu+=&用用Lagrange方程建立体系的运动方程方程建立体系的运动方程（）mucukupt+=&五种建立运动方程的方法的特点五种建立运动方程的方法的特点牛顿第二定律牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用，有助于理解和接受是基于物理学中已有知识的直接应用，有助于理解和接受DAlembert原理。

原理。

DAlembert原理原理是一种简单、直观的建立运动方程的方法，得到广泛的应用。

是一种简单、直观的建立运动方程的方法，得到广泛的应用。

DAlembert原理建立了动平衡的概念，使得在结构静力分析中的一些方法可以直接推广到动力问题。

当结构具有分布质量和弹性时，直接应用原理建立了动平衡的概念，使得在结构静力分析中的一些方法可以直接推广到动力问题。

当结构具有分布质量和弹性时，直接应用DAlembert原理，用动力平衡的方法来建立体系的运动方程可能是困难的。

原理，用动力平衡的方法来建立体系的运动方程可能是困难的。

虚位移原理虚位移原理部分避免了矢量运算，在获得体系虚功后，可以采用标量运算建立体系的运动方程，简化了运算。

部分避免了矢量运算，在获得体系虚功后，可以采用标量运算建立体系的运动方程，简化了运算。

Hamilton原理原理是一种建立运动方程的能量方法（积分形式的变分原理），如果不考虑非保守力作的功（主要是阻尼力），它是完全的标量运算，但实际上直接采用是一种建立运动方程的能量方法（积分形式的变分原理），如果不考虑非保守力作的功（主要是阻尼力），它是完全的标量运算，但实际上直接采用Hamilton原理建立运动方程并不多。

原理建立运动方程并不多。

Hamilton原理的美妙在于它以一个极为简洁的表达式概括了复杂的力学问题。

原理的美妙在于它以一个极为简洁的表达式概括了复杂的力学问题。

Lagrange方程方程得到更多的应用，它和得到更多的应用，它和Hamilton原理一样，除非保守力（阻尼力）外，是一个完全的标量分析方法，不必直接分析惯性力和保守力（主要是弹性恢复力），而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理对象。

原理一样，除非保守力（阻尼力）外，是一个完全的标量分析方法，不必直接分析惯性力和保守力（主要是弹性恢复力），而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理对象。

五种建立运动方程的方法的特点五种建立运动方程的方法的特点方法方法特点特点牛顿第二定律牛顿第二定律矢量方法，物理概念明确矢量方法，物理概念明确DAlembert原理原理矢量方法，直观，建立了动平衡概念矢量方法，直观，建立了动平衡概念虚位移原理虚位移原理半矢量法，可处理复杂分布质量和弹性问题半矢量法，可处理复杂分布质量和弹性问题Hamilton原理原理标量方法，表达简洁标量方法，表达简洁Lagrange方程方程标量方法，运用面广标量方法，运用面广几种建立运动方程方法的特点几种建立运动方程方法的特点2.3重力的影响重力的影响静平衡位置静平衡位置：

受动力作用以前结构所处的实际位置：

受动力作用以前结构所处的实际位置st重力重力W=mg作用下体系的静位移。

作用下体系的静位移。

st=W/k记：

动位移为记：

动位移为u惯性力、阻尼力和弹性恢复力分别惯性力、阻尼力和弹性恢复力分别umumf&=+=）（stIucucf&=+=）（stD）（stSukf+=外荷载为：

外荷载为：

WtP+）（应用应用DAlembert原理：

原理：

WtPfff+=+）（SDI）（tPkuucum=+&stkW=1.考虑重力影响时，结构体系的运动方程与无重力影响时的运动方程完全一样，此时考虑重力影响时，结构体系的运动方程与无重力影响时的运动方程完全一样，此时u是由动荷载引起的动力反应。

可见在研究结构的动力反应时，可以完全不考虑重力的影响，建立体系的运动方程，直接求解动力荷载作用下的运动方程，即得到结构体系的动力解。

是由动荷载引起的动力反应。

可见在研究结构的动力反应时，可以完全不考虑重力的影响，建立体系的运动方程，直接求解动力荷载作用下的运动方程，即得到结构体系的动力解。

2.当需要考虑重力影响时，结构的当需要考虑重力影响时，结构的总位移总位移为为总位移总位移=静力解静力解+动力解动力解即可以应用叠加原理将结构的动力反应和静力反应相加即得到结构的总体反应。

即可以应用叠加原理将结构的动力反应和静力反应相加即得到结构的总体反应。

在结构反应问题中，应用在结构反应问题中，应用叠加原理叠加原理可将静力问题（一般是重力问题）和动力问题分开计算。

可将静力问题（一般是重力问题）和动力问题分开计算。

3、同时也要注意到，并不是对任何结构动、静力反应问题都可以这样处理，因为在以上推导中，假设弹簧的刚度、同时也要注意到，并不是对任何结构动、静力反应问题都可以这样处理，因为在以上推导中，假设弹簧的刚度k为常数，即结构是线弹性的，因此只有对为常数，即结构是线弹性的，因此只有对线弹性结构线弹性结构（如果是二维或三维问题，还要加上（如果是二维或三维问题，还要加上小变形小变形（位移位移）的限制）才可以使用叠加原理，将静力、动力问题分开考虑。

）的限制）才可以使用叠加原理，将静力、动力问题分开考虑。

4、应当注意的是，在以上推导过程中，假设悬挂的弹簧、应当注意的是，在以上推导过程中，假设悬挂的弹簧-质点体系只发生竖向振动，在动荷载作用之前，重力被弹簧的弹性变形所平衡，而施加荷载后，重力始终被弹性变形所平衡。

如果质点体系只发生竖向振动，在动荷载作用之前，重力被弹簧的弹性变形所平衡，而施加荷载后，重力始终被弹性变形所平衡。

如果重力的影响没有预先

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