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结构的动力学设计
第九章结构动力学设计
§概述
结构设计的一个重要内容是强度设计，而结构强度设计特别是飞机、汽车等航行器的强度设计已经从过去的结构静强度设计思想，发展到现在的结构动力学设计概念，所谓的结构动力学设计，是指按照对结构动力学特性指标的要求，对结构进行设计，以满足对振动频率、振动响应以及振动稳定性边界的要求。
目前，结构动力学设计的概念正逐渐被人们所接受，各种动力学设计技术已逐渐发展起来并应用到结构设计的工程实践中。
一般所谓的结构动力学设计，实际上是结构动力学优化设计。
结构动力学优化设计的研究原则上包括三方面的内容：
（1）在给定频率和响应控制设计要求下，对结构的构型或布局进行设计优选；
（2）在确定结构布局或构型后，对有关的结构设计参数进行设计优选；（3）在基本结构设计确定后，如有必要，还应进行附加质量、附加刚度及附加阻尼的设计优选，或附加其它类型的振动控制措施。
但是，目前结构动力学设计的研究和应用水平，尚不能提供上述各方面的设计方法。
大多数的研究都集中在前两方面的研究内容上，即针对给定结构的构型和布局设计，按照结构动力学分析和优化设计的方法来对有关的结构设计参数进行设计优选，或者基于已按其它方面要求确定的基本结构的设计参数，进行结构动力学优化设计和设计修改。
而上述第三方面内容的研究和应用，现已经纳入到结构振动控制研究的范畴。
显然，对于确定的结构布局形式，无论是进行结构的频率控制设计或是进行在给定载荷下的响应控制设计，或者两者的联合控制设计，都属于结构动力学中的逆问题。
对工程实际中复杂结构的振动逆问题，只能借助于有关的近似方法。
目前最有效的方法，就是数学中得到了很好发展的最优化方法，它成为结构动力学设计的一个有效手段。
在第八章中介绍的结构参数灵敏度分析、参数摄动分析以及结构动力学修改等近似方法，也构成了结构动力学设计的基础。
本章主要介绍结构动力学设计中常用的一些优化方法。
【结构动力学设计的必要性】
过去对各种航行器的结构设计，都是按照静强度的思想进行设计，直到使用中出现各种振动故障问题时，才着手进行排故处理，一般对结构的振动问题没有进行事先估计，也没有采取相应的设计措施，因而在使用中最先暴露的是各种振动故障，即结构动力学问题。
飞机设计工程中出现的众多结构动力学问题，不仅会耗费大量人力、财力和物力，而且会延误飞行器的设计周期。
结构静强度设计主要取决于材料性能和工艺性能，而结构动力学设计不仅与材料、工艺有关，而且涉及到结构刚度、惯性、阻尼以及附加子结构，甚至结构的边界支持情况，还要考虑到外载荷的变化。
因此，结构动力学设计问题远比结构静强度设计问题要复杂和困难。
对于以受动载荷为主的结构，进行结构动力学设计是避免出现振动故障、提高结构动力学性能的有力手段。
【结构动力学设计指标】
根据不同的结构和工作环境而对结构动力学设计指标有不同要求，但总的说
来，主要的结构动力学设计指标可以归结为如下三个方面：
结构动力学设计的指标之一是避免有害的共振，即根据工作环境的激励频率，对结构的振动频率进行控制，使之具有预期的固有频率，从而提出了固有频率设计要求。
结构动力学设计的指标之二是，避免结构的过度振动，降低振动水平。
即对结构的动力学响应进行控制，从而提出了动力学响应设计要求，包括对固有振型（节线或节点）的设计要求。
结构动力学设计的指标之三是对动稳定性的设计要求，以保证结构在动力学稳定边界内工作。
如飞机前轮摆振稳定性设计、气动弹性稳定性设计等。
根据不同的结构动力学设计指标，形成了众多的结构动力学设计方法。
而对一个具体结构，结构动力学设计方法又取决于设计指标，而且与设计措施紧密相关。
对于正在设计的结构，设计措施就是改变结构某些重要的可设计参数，进行结构动力学分析，而对于已经设计好的结构，设计措施可以是修改结构参数，也可以采用附加子结构系统的方法。
进行结构动力学设计的一项重要工作是进行结构的动力学灵敏度分析，动力
学灵敏度是指结构的振动特性和动力响应因结构参数的改变而变化的程度。
通过灵敏度分析来确定修改哪些结构参数以实现结构动力学设计目标更有效，从而指导选择设计措施。
通常结构的动力学灵敏度分析是特征灵敏度分析，即结构动力学特性对结构参数的灵敏度。
在第八章中，我们已经对灵敏度分析作了介绍。
在确定了设计参数后，如何在满足设计参数的限制条件下，设计得到最佳的参数，获得最好的结构动力学性能，实际上是一个数学上的约束优化问题，也就是所谓的“结构动力学优化设计”。
结构动力学优化设计的研究，近几年来获得了长足的发展，针对不同的动力学指标，提出了各种各样的优化设计分析方法。
本章主要介绍多频优化的结构动力学设计方法以及频响优化的结构动力学设计方法。
§优化方法
结构动力学设计过程是，将结构系统构造成一个带有设计变量的数学模型，通过对设计变量的选取，来实现动力学设计要求，并满足设计中所受到的限制。
从数学上讲，结构动力学设计构成数学上的约束非线性规划问题，即约束优化问题。
【目标函数】
结构动力学设计的目的是控制结构振动特性和降低结构振动水平，得到一个
具有良好结构动力学性能的结构系统。
结构系统的动力学性能要求，就构成对
它进行动力学优化设计的目标函数。
它可以用结构的实际性能数据与其目标值
之差的平方和来构造，也可以用结构动力学变分原理形成的性能函数来构造。
由它们的极值条件（通常是极小值）给出最优解，来获得具有良好的动力学性能的结构系统
结构系统的振动特性，主要可由它的固有频率和固有振型等模态参数来表示，为了避免共振，必须使结构的固有频率避开激振力的频率（频带）。
特别是对最低的前几阶频率。
设结构前m阶频率是匚（i1,2,m），要求经过动力学设
计后相应频率的目标值是*（i1,2,m），按其偏差的加权平方和最小来构造如
下的目标函数：
m
Jf（Pr）Wi（ii*）2（9－1）
i1
Wi为频率权函数。
结构的动响应特性，可以用它的频率响应函数或脉冲响应函数来表示。
由于频域内结构动响应X（j）通常采用模态叠加法进行计算，引入模态频率响应函数Hi（j）后，系统频域响应为：
m
X（j）Hi（j）f（j）（9－2）
i1
为了使结构系统在一个给定频带（lh）内的动响应幅值趋近于目标值
X*（j），可构造如下的目标函数：
Jr（Pr）hW（j）（X（j）X*（j））2dj（9－3）
l
W（j）为响应权函数。
当然，对于不同的动力学设计问题，还可以构造出其它的目标函数。
结构动力学设计就是要上述的目标函数有最小值，即使得：
min（J（Pr））（9－4）
【约束条件】
动力学设计过程中，要受到各种条件的制约，构成它的约束条件。
约束条件有两类：
性能约束和边界约束。
性能约束是指结构所必须具有的某些性能要求，如在结构动力学设计时，仍应保证结构有足够的静强度，即满足应力约束准则：
bmax（Pr）0（9－4）
还有其它的动力学特性要求，如为保证动稳定性要求的阻尼准则：
0（Pr）0（9－5）
以及对结构重量的要求，特别是对于航行器，优化设计的结果不能降低其航行的性能，就要求结构在设计后重量不应超过重量的允许值：
mi（Pr）m0M（9－6）
边界约束是对设计参数变化的上、下界进行限制，防止在设计中出现不切实际的量值：
gi（Pr）hi（Pr）
0（i1,2,q）
0（iq1,q2,Q）
9－8）
带有约束条件的非线性规划问题，称为约束非线性规划。
一般约束条件可以有等式约束和不等式约束两种：
【设计变量】
对于一个结构，在采用有限元方法离散后，得到其有限元动力学模型，对于该模型来说，所具有的参数是刚度参数、质量参数和阻尼参数，而这些参数从物理上讲，又是通过结构的几何参数、材料参数等所构成。
而这些参数在设计中，有些是不能修改的，有些是可以修改的。
那些可以修改的参数称为设计变
设计变量数决定了非线性规划的设计自由度，每个等式约束给予变量之间的一个必须满足的关系式，减少了设计变量。
但对于约束非线性规划问题，要用等式约束消去因变量是很复杂的，甚至是不可能的，往往是保留因变量，把等式约束引入目标函数。
在设计过程中，设计变量越少，设计效率就越高。
因此删除一些次要的设计变量是有益的，这一工作通常是通过灵敏度分析来对设计变量进行取舍。
我们已经知道，灵敏度是目标函数对设计变量的偏导数，显然应该选取灵敏度大的设计变量参与设计。
【可行域】
既满足等式约束又满足不等式约束的设计变量称之为可行点，可行点的集合称为可行域。
对于等式约束，可行点落在等式约束表达式给出的变量空间的超几何曲线上，对于不等式约束gi（Pr）0，满足gi（Pr）0的变量称为内点，满足gi（Pr）0的变量称为边界点，当然它们都是可行点。
【最优解】
从上述看到，结构动力学设计的非线性规划问题，它的数学描述为：
9－9）
minJ（Pr）
s.t.gi（Pr）0（i1,2,,q）
hi（Pr）0（iq1,q2,,Q）
满足上述条件的设计变量P*称为最优点。
对应的目标函数值称为最优值。
最优
点与最优值构成最优解。
由于非线性规划往往不止只有一个极值解，于是往往它给出的是局部最优解，即设计变量可行域内的一个局部极小值。
【函数的逼近】
非线性规划中，目标函数、约束条件等都是设计变量P的非线性函数。
现
以目标函数为例，将其展开成泰勒级数：
J（Pr）JU。
Tj（p,k））（pr叭）（P「为心⑴侃芈）（?
一⑼
2
其中，J（P（k））是目标函数在Pr（k）点处的梯度，表示了函数增加最快的方向，它是目标函数对设计变量的一阶偏导数:
J®"）
JU"〉）
Pr
从而目标函数的一次近似表达式为：
（9—10）式中的2J（Pr（k））
H（Pr（k））称为目标函数的海赛矩阵,
它是目标函数对
J（Pr）J（Pr（k））TJ（Pr（k））（PrPr（k））（9—⑵
设计变量的二阶偏导数。
H（Pi（k））
2J（Pr（k））
P2
2J（Pr（k））
PrR
2J（Pr（k））
PlPr
2J（Pr（k））
Pr2
（9—13）
目标函数的二次近似表达式：
J（Pr）J（Pr（k））T
J（Pr（k））（PrPr（k））
（PrPr（k））T2J（P/k））（Pr护）
（9—14）
2
上式是进行非线性规划分析的重要公式。
【优化方法】
1．无约束极小化方法无约束极小化问题就是无约束非线性规划问题：
minJ（Pr）（9－15）
对于无约束极小化问题，介绍一种使用导数的方法。
它是一种逐步搜索的方法，对于第k步，
Pr（k1）Pr（k）（k）S?
（k）Pr（k）*（k）S（k）（9－16）
其中，S（k）是搜索方向，*（k）为该搜索方向上所移动的一个步长。
S?
（k）为搜索方
向上的单位向量。
现在的问题就在于确定它的方向和搜索方向的步长。
【确定搜索步长】先确定极小点的区间。
从初始点Pr（k）出发，设
Z（k）Pr（k）,W（k）Pr（k）S?
（k）（9－17）
若J（W（k））J（Z（k）），则设：
Z（k）Pr（k）,U（k）Pr（k）S?
（k）,W（k）Pr（k）3S?
（k）（9－18）
若J（W（k））J（Z（k）），则设：
Z（k）Pr（k）S?
（k）,U（k）Pr（k）,W（k）Pr（k）S?
（k）（9－19）
当J（W（k））J（Z（k）），则用对分法继续搜索，最终确定在Z（k）和W（k）之间含有极
小值的点。
设其存在区间为（k）W（k）Z（k），再用黄金分割法来找极小点：
取
U（k）
Z（k）
0.618
（k）,V（k）W（k）
0.618（k）
（9－20）
若J（V（k））
J（U（k）），
则取
Z（k1）
Z（k）,
U（k1）
V（k）,W（k1）
U（k）
（9－21）
若J（V（k））
J（U（k）），
则取
Z（k1）
V（k）,
U（k
1）Z（k
1）0.618（k1）,
W（k1）W（k）
（9－22）
若J（V（k））J（U（k）），则采用对分法寻找极小点，不断分割直至满足精度要求
【确定搜索方向】
1.梯度法
梯度法是一种一阶导数法,
目标函数的梯度表示函数增加最快的方向,
负梯度
方向则是最速下降的方向
最速下降方向的单位矢量为:
尹）
J（Pr（k））
J（Pr（k））
（9—23）
取炉）为搜索方向，则:
Pr（k）
J（Pr（k））
Pr（k）
*（k）
J（Pr（k））
（9—24）
也可以采用目标函数的二次近似式，设
PrPr（k
1）卩化）
*（kgk）
（9—25）
目标函数极值条件:
dJ（P（k1）
d
*（kgk）
Tj（p（k））s（k）
*（k）（S（k））THS（k）
0（9—26）
解得
*（k）
TJ（P,k））S（k）（S（k））THS（k）
（9—27）
2.牛顿法
牛顿法是
种二阶导数法，从目标函数的二次近似的极值条件:
dJ（Pr）
dPr
（9—28）
可得：
Pr（k1）Pr（k）[2J（Pr（k））]1J（Pr^）
取如下搜索方向：
S（k）[2J（Pr（k））]1J（Pr（k））
则
Pr（k1）Pr（k）*（k）[2J（Pr（k））]1J（Pr（k））
（9—29）
（9—30）
（9—31）
步长*（k）由一维搜索法确定
此外，还有共轭梯度法、变尺度方法等搜索方法。
这里不再一一介绍【约束非线性规划方法】
1．罚函数法
对约束非线性规划问题：
minJ（Pr）
s.t.gi（Pr）0（i1,2,,q）（9－32）
hi（Pr）0（iq1,q2,,Q）
对这类问题的一种解法是，采用线性逼近的方法，把约束非线性规划问题变换为约束线性规划问题。
另一种算法是，采用罚函数方法，把约束非线性规划问题变换为无约束非线性规划问题。
这里介绍后一种方法。
引入权因子i0，把约束条件构成的约束函数加给目标函数，形成广义的
增广函数，通常称之为罚函数。
即：
qQ
F（Pr,i）J（Pr）iG（gi（Pr））iH（hi（Pr））（9－33）
i1iq1
其中，G（gi（Pr））和H（hi（Pr））是约束条件的泛函，从而将约束非线性规划问题转
换成了一系列无约束极小化问题。
【约束函数选择原则】
约束函数由约束条件构成，它的选择原则为：
对不等式约束的约束函数，
当gi（Pr）0时，Gi（gi（Pr）），它要求Pr总是内点。
当gi（Pr）0时，G2（gi（Pr））0，对于外点才取这种选择。
当gi（Pr）0时，G3（gi（Pr））0。
当gi（Pr）0时，G4（gi（Pr））0。
对等式约束的约束函数，
当hi（Pr）0时，H（hi（Pr））0。
对于等式约束和不等式约束，都要求：
（k）G（gi（Pr（k）））0
i1
Q
（SEPT））0
iq1
limF（Pr（））J（Pr）0
k
2.序列无约束极小化方法（SUMT法
序列无约束方法是一种混合罚函数法，它把非线性约束规划问题转化为一
系列无约束极小化问题。
定义广义增广函数：
qQ
F（Pr（k）,r（k））J（Pr（k））r（k）Wi（kr（r（k））1/2Wihi2（R（k））（9—35）
i1gi（Pr（））iq1
其中，Wi是权系数，一般取为1。
r（k）为响应系数，它的取值有很重要的作用，对于它的初值r（0）的选取，建议采用如下方法:
（1）r（0）1;这是最适用的一种方法。
（2）对于不等式约束的增广函数可写为:
尸0刖,严）曲“）「J命JU”）严R（尹）（9-36）
取其梯度的模对r的极小化来选取初值，即由
—（J（P（0））r（0）R（Pr（k）））T（J（Pr（0））r（0）R（P（k）））0（9—37）
dr
r（0）
tJ（F「（0））R（P⑹）
tR（P（0））R（Pr（k））
（9—38）
给出：
确定初值r（0）后，响应系数构成一个递减序列，用一个简单的递推关系给出;
（k1）
（9—39）
r（k）I
C
其中C是一个大于1的常数，一般取C4~50。
序列无约束极小化算法的一般步骤是：
（1）选择一个初始点Pr（0），它必须是可行域内的一个内点
（2）对当前的Pr（k）,r（k），构造广义增广函数F（R（k）,r（k）），确定它的搜索方向
（3）在确定的搜索方向上，用一维搜索法确定它的搜索步长（k），求出：
p（ki）pr（k）（k）s（k）（9—40）
（4）用外推方法加速收敛。
可从Pr（k1）、Pr（k）到PF。
外推到一个近似极值点
其中，J（P*）为约束非线性规划的一阶近似估计。
0是控制收敛的常数
当r（k）0，可按下式估计:
E（Pr（k）,ui（k）,Wi（k）,Vi（k））是非线性规划问题的对偶问题的目标函数
当上面的准则之一满足时，计算结束，否则转向下一步。
（6）生成响应系数递减序列第下一个值r（k）。
（7）对缩小的响应系数r（k），用第四步的外推法估计广义增广函数F（R⑹,r（k））的极小值。
（8）转向第二步继续迭代。
§多频优化的结构动力学设计
【多频优化的问题数学表示】
结构动力学设计的一个主要原则是避免有害的共振，通过对结构的固有频率做出控制设计，避开外激励的主要频带，或者将频率限制在某些特定的频率附近。
在工程设计中，难以对各阶固有频率同时做出合适的调整。
据此提出了结构多频优化设计的要求。
一般是对结构前m阶低阶固有频率进行优化。
设前
阶低阶固有频率为：
1,2,m，其目标值为：
I,2,，目标函数为：
m
JfWi（ii）2（9-46）
i1
频率权系数Wi的选取，是根据在设计过程中，对各阶频率要求接近目标值的程度不同而加以选取的，可取W1/*。
结构动力学设计时，必须服从一定的约束条件，即应考虑边界约束和对参与设计的设计变量的上、下界限制。
设计变量上、下界的选取原则是：
防止在优化过程中出现不切实际的量值。
如考虑材料和工艺上的可实现性。
特别是结构动力学设计一般是全局性的而静强度设计是局部性的，考虑到这种原则上的差异，为了保证动力学设计时不至于造成结构静强度的不足，可以对静强度设计过程中的薄弱部位，限制设计变量的下限来保证。
此外，还要根据结构具体的工作环境和工作条件以及实际设
minJ
s.t.
Pr（L）
i*）2
i
PrPr（U）
（9—47）
计上的各种限制，引入相应的约束条件多频优化设计的数学提法为：
显然，它构成一个约束非线性规划问题。
【构造罚函数】
先构造如下的“障碍”函数：
R
（9—48）
G1r（k）Wr[（Pr（U）Pr）2（PrPL）2]1
r1
其中，Wr是设计变量权函数。
一般，当设计变量落在可行域内时取值1，
落在可行域外时，取：
WrJ（P（k））[（尺⑴Pr）2（PrP®）2]/r⑹，以迫使它满足不
等式约束，于是构造的广义增广函数是：
m（*）2R
F（Pr,r（k））（i*Jr（k）Wr[（R（U）p）2（r才））2]1（9-49）
i1ir1
通常，响应系数r（0）1,（9-34）式中的递减率C取50。
【设计变量的选取】
用摄动法分析参与优化的m阶模态的固有频率i对设计变量P的灵敏度，
取设计变量增量为原始值的1%,即：
Pr0.01P（9-50）
定义频率灵敏度系数为：
（Sf）irL（9-51）
Pr
将灵敏度系数按绝对值排序，根据设计需要和实际可能，选择其绝对值很大
的前面几个为实际参与设计的设计变量。
【无约束极小化方法】
应用序列无约束极小化方法时，应该选择合适的步长，目标函数的梯度是：
J（Pr）
m
2-
i1Pr
（i
*
i
i）
（9-52）
约束函数的梯度是：
Gi（P）
r（k）2Wr
2P
（P（U）
Pr（L））
（9-53）
[（Pr（U）
Pr）（Pr
Pr（L））]3
【收敛准则】
算法的收敛性检验选取下列三条准则：
（1）目标函数的收敛性检验：
J（p（k1））J（Pr（k））J（p（k））（9-54）
（2）最优点的收敛性检验：
Pr（k1）Pr（k）Pr（k）（9-55）
（3）梯度的收敛性检验:
F（Pr（k1））F（Pr（k））F（Pr（k））
（9—56）
通常收敛容差取为104
最后需要对优化结果进行精度检验，用优化所得到的固有频率值与其目标值的偏差来评价结果是否满足工程要求。
检查准则是：
i*fi（9—57）
fi是给定的精度要求
§频响优化的结构动力学设计
结构动力学设计的另一个重要指标是降低结构的振动响应水平，即要求结构
的某些指定部位处的振动响应水平被控制在一定的量级之下。
降低结构的振动水平与结构所受到的激励直接相关，动响应的性质和大小都受到激励的制约。
结构受简谐激励的振动响应称为频率响应，其它激励下的响应可以用频率响应进行积分得到。
【频率响应】
对具有n个自由度的系统，其振动方程为：
[M]{x}[C]{x}[K]{x}{f（t）}（9—58）
当外激励力是简谐力{f（t）}{F}exp（jt）时，稳态频率响应是：
21
{x}{X}exp（jt）（[M]j[C][K]）{F}exp（jt）（9—59）
频率响应函数矩阵为：
21
[H（）]（[M]j[C][K]）（9—60）
假定系统是比例阻尼，则频响函数矩阵的模态叠加形式为：
n
[H（）]{i}（AjBi）{i}T（9—61）
i1
其中,
Ai
Bi
/22、22
（i）（2ii）
2ii
2~22
2）2（2ii）2
（i2
（9—62）
结构在P点处的响应为:
（9—63）
n
XpHpk（）Fk
k1
【频响优化设计的数学表示】
频响优化的动力学设计目的是，要求将响应量控制在给定的值X；（p1,2,P）
频响优化的目标函数定义为：
Pn
*2
W
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