点集拓扑练习题及答案.doc
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点集拓扑练习题
一、单项选择题（每题1分）
1、已知,下列集族中，（）是上的拓扑.
①②
③④答案：
③
2、设，下列集族中,（）是上的拓扑.
①②
③④答案：
②
3、已知,下列集族中，（）是上的拓扑.
①②
③④答案：
①
4、设，下列集族中,（）是上的拓扑.
①②
③④答案：
②
5、已知,下列集族中，（）是上的拓扑.
①②
③④答案：
④
6、设，下列集族中,（）是上的拓扑.
①②
③④答案：
③
7、已知，拓扑,则=（）
①φ②③④答案：
④
8、已知，拓扑,则=（）
①φ②③④答案：
④
9、已知，拓扑,则=（）
①φ②③④答案：
②
10、已知，拓扑,则=（）
①φ②③④答案：
④
11、已知，拓扑,则=（）
①φ②③④答案：
②
12、已知，拓扑,则=（）
①φ②③④答案：
④
13、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（）
①1②2③3④4答案：
②
14、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（）
①1②2③3④4答案：
②
15、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（）①0②1③2④3答案：
①
16、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（）
①0②1③2④3答案：
③
17、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（）
①1②2③3④4答案：
④
18、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（）①1②2③3④4答案：
②
19、在实数空间中，有理数集的内部是（）
①②Q③R-Q④R答案：
①
20、在实数空间中，有理数集的边界是（）
①②Q③R-Q④R答案：
④
21、在实数空间中，整数集的内部是（）
①②③R-Z④R答案：
①
22、在实数空间中，整数集的边界是（）
①②③R-Z④R答案：
②
23、在实数空间中，区间的边界是（）
①②③④答案：
③
24、在实数空间中，区间的边界是（）
①②③④答案：
③
25、在实数空间中，区间的内部是（）
①②③④答案：
④
26、设是一个拓扑空间，A,B是的子集,则下列关系中错误的是（）
①②
③④答案:
③
27、设是一个拓扑空间，A,B是的子集,则下列关系中正确的是（）
①②
③④答案:
①
28、设是一个拓扑空间，A,B是的子集,则下列关系中正确的是（）
①②
③④答案:
④
29、已知是一个离散拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（）
①②③④答案：
①
30、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中不正确的是（）
①若,则②若,则
③若A={},则④若,则答案：
④
31、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（）
①若,则②若,则
③若A={},则④若,则答案：
①
32、设，令,则由产生的上的拓扑是（）
①{,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}}②{,,{c},{d},{c,d}}
③{,,{c},{a,b,c}}④{,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}答案：
①
33、设是至少含有两个元素的集合，,是的拓扑，则（）是的基.
①②
③④答案：
③
34、设,则下列的拓扑中（）以为子基.
①{,,{a},{a,c}}②{,,{a}}
③{,,{a},{b},{a,b}}④{,}答案：
②
35、离散空间的任一子集为（）
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：
③
36、平庸空间的任一非空真子集为（）
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：
④
37、实数空间中的任一单点集是（）
①开集②闭集③既开又闭④非开非闭答案：
②
38、实数空间R的子集A={1,,,,……},则＝（）
①φ②R③A∪{0}④A答案：
③
39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（）
①整数集②③有理数集④无理数集答案：
①
40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）
①整数集Z②有理数集③无理数集④整数集Z的补集答案：
④
41、已知上的拓扑,则点1的邻域个数是（ ）
①1②2③3④4答案：
④
42、已知,则上的所有可能的拓扑有（ ）
①1个 ②2个③3个④4个答案：
④
43、已知={a,b,c},则上的含有４个元素的拓扑有（ ）个
①3②5③7④9答案：
④
44、设为拓扑空间,则下列叙述正确的为（）
①②
③当时,④当时,答案：
③
45、在实数下限拓扑空间中，区间是（）
①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：
③
46、设是一个拓扑空间，,且满足,则是（）
①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：
②
47、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为（）
①②
③④答案：
③
48、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为（）
①②
③④答案：
②
49、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为（）
①②
③④答案：
②
50、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为（）
①②③④答案：
①
51、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为（）
①②③④答案：
②
52、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为（）
①②
③④答案：
④
53、设是实数空间，是整数集，则的子空间的拓扑为（）
①②③④答案：
②
54、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（）
①单射②连续的单射③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
55、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（）
①单射②连续的单射③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
56、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（）
①单射②连续的单射③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
57、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（）
①单射②连续的单射③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
58、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（）
①单射②连续的单射③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
59、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（）
①单射②连续的单射③满的连续闭映射④满的连续开映射答案：
④
60、设和是两个拓扑空间，是它们的积空间,，，则有（）
①②③④答案：
②
61、有理数集是实数空间的一个（）
①不连通子集②连通子集③开集 ④以上都不对答案：
①
62、整数集是实数空间的一个（）
①不连通子集②连通子集③开集④以上都不对答案：
①
63、无理数集是实数空间的一个（）
①不连通子集②连通子集③开集 ④以上都不对答案：
①
64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若,则Z为（）
①不连通子集②连通子集③闭集④开集答案：
②
65、设是平庸空间，则积空间是（ ）
①离散空间②不一定是平庸空间③平庸空间 ④不连通空间答案：
③
66、设是离散空间，则积空间是（ ）
①离散空间②不一定是离散空间③平庸空间 ④连通空间答案：
①
67、设是连通空间，则积空间是（ ）
①离散空间 ②不一定是连通空间③平庸空间 ④连通空间答案：
④
68、实数空间R中的连通子集E为（）
①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案：
④
69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为（）
①开区间②闭区间③ 区间④以上都不对 答案：
③
70、实数空间R中的连通子集E为（）
①开区间②闭区间③ 区间④区间或一点 答案：
④
71、下列叙述中正确的个数为（）
（Ⅰ）单位圆周是连通的；（Ⅱ）是连通的
（Ⅲ）是连通的（Ⅳ）和同胚
①1②2③ 3④4答案：
②
72、实数空间（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：
③
73、整数集作为实数空间的子空间（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：
③
74、有理数集作为实数空间的子空间（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：
③
75、无理数集作为实数空间的子空间（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：
③
76、正整数集作为实数空间的子空间（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：
③
77、负整数集作为实数空间的子空间（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：
③
78、2维欧氏间空间（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：
③
79、3维欧氏间空间（）
①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：
③
80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）
①平庸性②连通性③离散性④第一可数性公理答案：
②
81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）
①第一可数性公理②连通性③第二可数性公理④平庸性答案：
②
82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）
①第一可数性公②可分性③第二可数性公理④离散性答案：
②
83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）
①平庸性②可分性③离散性④第二可数性公理答案：
②
84、设是一个拓扑空间，若对于,均有,则是（）
①空间②空间③空间④以上都不对答案：
①
85、设，，则是（）
①空间②空间③空间④以上都不对答案：
①
86、设，，则是（）
①空间②空间③空间④道路连通空间答案：
①
87、设，，则是（）
①空间②空间③空间④以上都不对答案：
④
88、设，，则是（）
①空间②空间③空间④以上都不对答案：
④
89、设，，则是（）
①空间②空间③空间④以上都不对答案：
④
90、设，，则是（）
①空间②空间③空间④以上都不对答案：
④
91、设，，则是（）
①空间②空间③空间④以上都不对答案：
①
92、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，
则是（）
①正则空间②正规空间③空间④空间答案：
③
93、设是一个拓扑空间，若的每一个有限子集都是闭集，
则是（）
①正则空间②正规空间③空间④空间答案：
③
94、设是一个拓扑空间，若对及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得,则是（）
①正则空间②正规空间③空间④空间答案：
①
95、设是一个拓扑空间，若对的任何一个闭集及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得,则是（）
①正则空间②正规空间③空间④空间答案：
②
96、设，，则是（）
①空间②空间③空间④正规空间答案：
④
97、设，，则是（）
①空间②空间③空间④正规空间答案：
④
98、设，，则是（）
①空间②空间③空间④正则空间答案：
④
99、设，，则是（）
①空间②正则空间③空间④正规空间答案：
④
100、设，，则是（）
①空间②正则空间③空间④正规空间答案：
④
101、设，，则是（）
①空间②正则空间③空间④正规空间答案：
④
102、若拓扑空间的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间是一个（）
①连通空间②道路连通空间③紧致空间④可分空间 答案：
③
103、紧致空间中的每一个闭子集都是（）
①连通子集②道路连通子集③紧致子集④以上都不对 答案：
③
104、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（）
①连通子集②开集③闭集④以上都不对 答案：
③
105、紧致的Hausdorff空间中的紧致子集是（）
①连通子集②开集③闭集④以上都不对答案：
③
106、拓扑空间的任何一个有限子集都是（）
①连通子集②紧致子集③非紧致子集④开集 答案：
②
107、实数空间的子集是（）
①连通子集②紧致子集③开集④非紧致子集 答案：
②
108、实数空间的子集是（）
①连通子集②紧致子集③开集④非紧致子集 答案：
②
109、如果拓扑空间的每个紧致子集都是闭集，则是（）
①空间②紧致空间③可数补空间④非紧致空间答案：
①
二、填空题（每题1分）
1、设,则的平庸拓扑为;答案：
2、设,则的离散拓扑为;答案：
3同胚的拓扑空间所共有的性质叫;答案：
拓扑不变性质
4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是___________.答案：
R
5、当且仅当对于的每一邻域有;答案：
6、设是有限补空间中的一个无限子集，则=;答案：
7、设是有限补空间中的一个无限子集，则=;答案：
8、设是可数补空间中的一个不可数子集，则=;答案：
9、设是可数补空间中的一个不可数子集，则=;答案：
10、设,的拓扑,则的子集的内部为;答案：
{2}
11、设,的拓扑,则的子集的内部为;答案：
{1}
12、设,的拓扑,则的子集的内部为;答案：
{1}
13、设,的拓扑,则的子集的内部为;答案：
14、设,则的平庸拓扑为;答案：
15、设,则的离散拓扑为;答案：
16、设,的拓扑,则的子集的内部为;答案：
{3}
17、设,的拓扑,则的子集的内部为;答案：
{1}
18、是拓扑空间到的一个映射，若它是一个单射，并且是从到它的象集的一个同胚，则称映射是一个.答案：
嵌入
19、是拓扑空间到的一个映射，如果它是一个满射，并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑，则称是一个;答案：
商映射
20、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个开集的象集是中的一个开集，则称映射是一个 ;答案：
开映射
21、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个闭集的象集是中的一个闭集，则称映射是一个 ;答案：
闭映射
22、若拓扑空间存在两个非空的闭子集,使得,则是一个；答案：
不连通空间
23、若拓扑空间存在两个非空的开子集,使得,则是一个；答案：
不连通空间
24、若拓扑空间存在着一个既开又闭的非空真子集，则是一个；答案：
不连通空间
25、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则也是的一个;答案：
连通子集
26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个；答案：
在连续映射下保持不变的性质
27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个；答案：
可商性质
28、若任意个拓扑空间,都具有性质,则积空间也具有性质，则性质称为;答案：
有限可积性质
29、设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使得,则称是一个；答案：
不连通空间.
30、若满足第一可数性公理，则积空间满足;答案：
第一可数性公理
31、若满足第二可数性公理，则积空间也满足;答案：
第二可数性公理
32、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个子空间也具有性质,则称性质为;答案：
可遗传性质
33、设是拓扑空间的一个子集，且,则称是的一个；答案：
稠密子集
34、若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个；答案：
可分空间
35、设是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称是一个；答案：
LindelÖff空间
36、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个开子空间也具有性质,则称性质为;答案：
对于开子空间可遗传性质
37、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个闭子空间也具有性质,则称性质为;答案：
对于闭子空间可遗传性质
38、设是一个拓扑空间，如果则称是一个空间;
答案：
中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开
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