点集拓扑学练习题第二章答案.docx
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点集拓扑学练习题第二章答案
练习（第二章）参考答案：
1.判断题（每小题2分）
1.集合X的一个拓扑有不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑（X）
2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.（V）
3.实数集合中的开集，只能是开区间，或若干个开区间的并.（X）
4.「、T2是X的两个拓扑，则TiUT是一个拓扑.（X）
5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。
（V）
6.从（X,Ti）至U（X,T2）的恒同映射必是连续的。
（X）
7.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（V）
8.设Ti,T2是集合X的两个拓扑，则「T2不一定是集合X的拓扑（X）
9.从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射（V）
10.设A为离散拓扑空间X的任意子集，则dA（V）
11.设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则dA（X）
12.设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则dAX（V）
2.填空题：
（每空格3分）
1、X二Z+,T二{ZZ…乙…},其中
乙={n,n+1,n+2,-},
贝S包含3的所有开集为Z1,Z2,Zs
包含3的所有闭集为乙,z4,z5,z6,...
包含3的所有邻域为Z1,Z2,Z3,{1}Z3
设A二{1,2,3,4,5}则A的导集为{1,2,3,4},A的闭包为{1,2,3,4,5}
2、设X为度量空间,x€X,则d（{x}）=_
3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是R.
4、xd（A）当且仅当对于x的每一邻域U有;
答案：
U（A{x}）
5、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d（A）=—A=；
答案：
X；X
6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d（A）=—A=;
答案：
X；X
7、设X{1,2,3},X的拓扑T{X,,{2},{2,3}},则X的子集A{1,2}的内部
为；
答案：
{2}
三、单项选择题（每题2分）
4、设X{a,b,c,d}，拓扑T{X,,{a},{b,c,d}},则X的既开又闭的非空真子集的
个数为（）
11②2③3④4答案：
②
5、设X{a,b}，拓扑T{X,,{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（）
答案：
③
答案：
②
③R-Z④
10、在实数空间中，区间［0,1）的边界是（
①d（AB）d（A）d（B）
12、已知X是-
个离散拓扑空间，
（）
①d（A）
②d（A）
③d（A）A
④d（A）
A是X的子集，则下列结论中正确的是
XA
X答案：
①
13、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中不正确的是
（）
①若A,则d（A）②若A{x。
},则d（A）XA
③若A={xi,x2},则d（A）X④若AX,则d（A）X答案：
④
14、设X{a,b,c,d},令B{{a,b,c},{c},{d}},则由B产生的X上的拓扑是（）
①{
X,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}}
②{
X,,{c},{d},{c,d}}
③{
X,,{c},{a,b,c}}
④{
X,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}
答案：
①
15、离散空间的任一子集为（）
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：
③
16、平庸空间的任一非空真子集为（）
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：
④
17、实数空间R中的任一单点集是（）
①开集②闭集③既开又闭④非开非闭答案：
②
18、实数空间R的子集A={1,丄，1,丄，……},则A=（）
234
①©②R③AU{0}④A答案：
③
19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（）
①整数集②a,b③有理数集④无理数集答案：
①
20、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）
①整数集Z②有理数集
③无理数集④整数集Z的补集Z答案：
④
已知X{1,2,3}上的拓扑T{X,,{1}},则点1的邻域个数是（
答案：
④
四.证明题（52分）:
1.设X有拓扑Ti,T2,…Tn,
证:
2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的.
证：
设度量空间X中序列{Xi}iZ有：
limXi
limxi
）/3）=
若Xy则B（x,Px,y）/3）nB（y,px,y
对于B（x,
P（x,y
）/3）,
存在Ni>0,当i>Ni时
有xi
B（x,
P（x,y
）/3）
对于B（y,
P（x,y
）/3）,
存在N2>0,当i>N2时
有xi
B（y,
P（x,y
）/3）
取N=max{N1,N2},则当i>N时
有XiB（x,Px,y）/3）nB（y,px,y）/3）
与B（x,Px,y）/3）nB（y,Px,y）/3）=.矛盾
3.设X是一个拓扑空间，B是一个基，x€X,则B二{B€B|x€B}是点x处的一个邻域基.
见P.82定理2.6.7
4.在欧氏平面R中令Y={（0,y）|y€R}U{（x,0）|x€R},证明:
Y与实数空间R不同
胚.（提示:
用反证法）
证：
设丫与实数空间R同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的,得到矛盾.所以Y与实数空间R不同胚.
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