2
9tan（—-a）=
伙eZ）；
3•两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
（1）cos（a-/?
）=
（3）sin（a-0）=
（5
；
（2）cos（a+0）=；；（4）sin（a+/?
）=；
）tan（a-#）=
tan（&+0）=
a；
如,
②tan（—+&）=
4
注意：
特别喜欢考查两角和与差的正切公式的逆用和“1”的巧用。
—=>1一tan0=（1+tan<9）-tan（-一0）
1+tanO4
凹型=>l+tan0=（l—tan&）tan（^+0）；
1-tanO4
4・辅助角公式:
把两个异名的三角比的和或差化为一个同名的三角比（“异名化同名”）。
女口:
Asina+Bcosa=Ja2+B1（.sina+、"cosa）,
>!
a2+B2Ja'+b‘
（1）如果令边"肩&曲0=眉磊'则
1AB
Asina+Bcosa=W+B2（f^sina+cosa）
\ia2+b2
=Ja'+B）（cos0sina+sin0cos&）=sin（a+0）,其中tan^£
A
（2）如果令5山0=占，2竹’则
I人
Asina+Bcosa=yjA2+B2（,^sina+,cosa）
Ja2+B2\Ia2+B2
=W+庆（sin0sina+cos0cosa）=+B‘cos（a-0）9其中切V
B
5•二倍角和半角的正弦、余弦和正切公式：
（1）已知sin（a+0）=sinacos0+cosasin0,其中当"0时,则有：
sin2a=2sinacosa=>1±sinla=sin2a+cos2a±2sinacosa=（sina±cosa）‘
（2）已cos（a+0）=cosacos0-sinasin0,其中当—0时,
则有：
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2&一1=1一2sin2a
亠升幕公式：
1+cos2a=2cos2-cos2a=2sin2a
（3）已知（an（a+0）=严气，其中当"0时，则有:
1-tanatan0
c2（ana
tanla=s—•
1-taira
总结：
（1）sin2a=2sinacosa；
（2）cos2a=cos2a-sin2a=2cos2-1=1-2siirc?
;（3）tan2a=-{ana
1-taira
6•万能公式：
任何一个角的三角比都可以用
来表示。
②
tan^tan£+tanAtan£+tan£tan£=1；
222222
例1.已知⑸2
=3则sinx+2cosx_.sinxcosx-
2sinx-3cosx
例
2.
sin（2017/r+f）
sin（/r+彳）•sin（2/r+彳）•sin（3/r+彳）
的值
等于
cos（a_0）=*，求sina的
例3・若-—2212
值。
例4.已知”均为锐角，且sina=二，心0=晋~,贝!
|d-0的值为'
例5.己知XW0冷9求函数y=cos（吉一x）-cos（菩+x）的值域。
例6.求函数严=的值域。
3+cosx
例7•已知tan^=2,求值:
（1）「g+sina；
（2）sin2a+2cosN-3tan2d；答案：
2；
1+cosa+sina
-2066/175
则cosx-sim-的值为
变式训练:
1-若shLV-cosx=Z/且72.已知函数加〜宁,
g（x）=tan（^-x）,则（）
A.他）与g⑴都是奇函数
B.f（x）与g（x）都是偶函数
C.y（x）是奇函数，g（x）是偶函
数D.fix'）是偶函数,g（x）是
奇函数
3•若sin（^+tz）=-|9a是第二象限角，sin（f+0）=一耳^,0是
第三象限角，
则cos（a-P）的值是
4.已知函数f（x）=sin（2x+&）+VJcos（2x+&）为奇函数，且
06（0,龙）9
则&的值为
5•在△ABC中，①
sin（A+B）+sinC；
（2）cos（B+C）+cos4；
其中恒为定值的是（
A.②③B.①②
C.②④D.③④
6■已知匕叱=2+屁贝lhane+兰）的值为
1+tana4
&已知00w（O,/r）tan（£Z—0）=—,tan/7=_丄，
27
贝ll2&_0二
9•若
8sina+5cos0=6
8cosa+5siii/7=10,
贝!
Jsin（a+0）—
10<已知sina+sin0+siny=O,
cosa+cos/?
+cos/=0,
则cos（a-0）的
值是
11•证明:
3xx2sinx
tan—_tan—=
22cosx+cos2x
12.（2013全国II）已知sin2a=—,则
.TC
cos"（tz+—）=
4
13•下列各式中值等于f的是（）
则论的值等于
15.（2012山东）若&上,3,sin2"型,则sin—
428
17.已知函数y=—cos2x+-^-sinxcosx+1,xeR9当函数y取
22
三角恒等变换技巧
三角变换的常用技巧有：
（1）名变换；
（2）
角变换；（3）“1”的变换；（4）公式逆用；（5）降次与升幕变换；（6）换元变换等。
在三角变换过程中，要做到异名化同名,fl角化同角,尽量减少三角比名称和角的个数，变换中要做到“同名、同角、同一个变量”。
方法一、“名”变换
当题目中出现不同名的三角函数时，这就需
要变“名”，即化异名函数为同名函数。
名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，最
常见的做法是孩切互化和辅助角公式o
2.已知函数f（x）=（1-tanx）（l+sin2x4-cos2x）,求于⑴的定义域和值域。
3•已知心都是锐角，且30=池沁，求亠「的
sina+cosasina一cosa
4.已知函数
值。
f（x）=2cosxsin（x+—）-Visin'x+sinxcosx
3
的最大值和最小值。
_”>““.4—t/sin—+PCOS—o.
5.己知正实数a、b满足一5——认竺，求2的值。
兀i•兀15a
acos—-Z?
sin—
55
方法二、“角”变换
“角”变换的基本思想是，通过拼凑或分解
鱼方法把未知角转化为已知角的“和、差、倍角、半角”，然后运用相应的公式求解。
常见的变角方式有：
①加是&的二倍；Q是彳的二倍；f±2a是令密的
二倍；②」+0）严-0）;
7・已^0兰<02413
贝||sin2a=
9
才上（兀）3177_戶sin2x+2cos，x砧彳古
•COS—+XI=—,/TVXV—7T、:
K[I*J111,o
I4；51241-tanx
方法三、公式逆用
弦、余弦、正切公式以及二倍角半角公式，但有
时若能逆用这些公式也可以帮助我们快速解题。
逆用公式的方法有：
①通过添项拼凑出要用的公式，常见于二倍角半角公式的逆用:
②公式的恒等变形，常见于两角和差的正切公式的逆用。
10.求值:
（1）cos20°cos40°cos60°cos80°；
（2）tan70°-tan10°->/3tan70°tan10°；
11.求证：
tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan[（n-l）xltannx=一n
tanx
a+/?
+/=eZ）
tana+tan+tan/=tana・tan0tan/
条件。
13<（1+tanl7）-（1+tan18*）-（1+tan27）-（1+tan28）的值是
方法四、降次与升幕变换
降次和升幕也是三角变换的一种重要策略,
为运用公式创造条件。
常见的降次与升幕方法有:
sin—于；②巧用“1”,如sin%+cos'd=1,
2
cos4a+si«"a—1-2sin2acos2a^^o
14•化简：
"…皿
1-cosa-sin1a
15•求"丄+二的最小值。
sirrxcos"x
16•求函数/（x）=2sin21—+x]->/3cos2x,
k.4丿
最小值。
17.求siir20+cos250+sin20cos50的值。
18.化简下列各式:
方法五、换元变换
当函数表达式中同时出现sinx+cw（或sinx—cosx）
sinxcosx9
sinzx耳1）,把三角函数转化为熟悉的函数来求
解。
有时，换元可以达到简化运算的目的。
20•证明：
4+亠+三=4.4二
1+xy1+1+zx\+xy\+yz1+乙丫
21.求值：
sin（0+75•）+cos（&+45"）-VJcos（&+15）
升级会员 