初等数论练习题.docx

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初等数论练习题

初等数论练习题

信阳职业技术学院

2010年12月

初等数论练习题一

一、填空题

1、d（2420）=___________；

（2420）=___________。

2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=___________。

3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。

4、同余方程9x+12≡0（mod37）的解是__________。

5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。

6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_______。

7、18100被172除的余数是___________。

8、

=___________。

9、若p是素数，则同余方程xp11（modp）的解数为。

二、计算题

1、解同余方程：

3x211x200（mod105）。

2、判断同余方程x2≡42（mod107）是否有解

3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。

三、证明题

1、已知p是质数，（a,p）=1，证明：

（1）当a为奇数时，ap-1+（p-1）a≡0（modp）；

（2）当a为偶数时，ap-1-（p-1）a≡0（modp）。

2、设a为正奇数，n为正整数，试证

≡1（mod2n+2）。

3、设p是一个素数，且1≤k≤p-1。

证明：

（-1）k（modp）。

4、设p是不等于3和7的奇质数，证明：

p6≡1（mod84）。

初等数论练习题二

一、填空题

1、d（1000）=__________；σ（1000）=__________。

2、2010!

的标准分解式中，质数11的次数是__________。

3、费尔马（Fermat）数是指Fn=

+1,这种数中最小的合数Fn中的n=_________。

4、同余方程13x≡5（mod31）的解是__________。

5、分母不大于m的既约真分数的个数为_________。

6、设7∣（80n-1）,则最小的正整数n=__________。

7、使41x+15y=C无非负整数解的最大正整数C=__________。

8、

=__________。

9、若p是质数，np1，则同余方程xn1（modp）的解数为。

二、计算题

1、试求

被19除所得的余数。

2、解同余方程3x144x106x180（mod5）。

3、已知a=5,m=21,求使ax1（modm）成立的最小自然数x。

三、证明题

1、试证13|（54m+46n+2000）。

（提示：

可取模13进行计算性证明）。

2、证明Wilson定理的逆定理：

若n>1，并且（n1）!

1（modn），则n是素数。

3、证明：

设ps表示全部由1组成的s位十进制数，若ps是素数，则s也是一个素数。

4、证明：

若2p1是奇素数，则（p!

）2

（1）p0（mod2p1）。

5、设p是大于5的质数，证明：

p4≡1（mod240）。

初等数论练习题三

一、单项选择题

1、若n＞1，（n）=n-1是n为质数的（）条件。

A.必要但非充分条件B.充分但非必要条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

2、设n是正整数，以下各组a，b使

为既约分数的一组数是（　　　）。

=n+1,b=2n-1=2n-1,b=5n+2C.a=n+1,b=3n+1=3n+1,b=5n+2

3、使方程6x+5y=C无非负整数解的最大整数C是（　　　）。

.24C

4、不是同余方程28x≡21（mod35）的解为（　　）。

≡2（mod35）B.x≡7（mod35）C.x≡17（mod35）D.x≡29（mod35）

5、设a是整数，

（1）a≡0（mod9）

（2）a≡2010（mod9）

（3）a的十进位表示的各位数码字之和可被9整除

（4）划去a的十进位表示中所有的数码字9，所得的新数被9整除

以上各条件中，成为9|a的充要条件的共有（　　　）。

个个个个

二、填空题

1、σ（2010）=__________；

（2010）=__________。

2、数

的标准分解式中，质因数7的指数是__________。

3、每个数都有一个最小质因数.所有不大于10000的合数的最小质因数中，最大者是___。

4、同余方程24x≡6（mod34）的解是__________。

5、整数n>1，且（n-1）!

+1≡0（modn）,则n为_______（填：

素数或合数）。

6、3103被11除所得余数是__________。

7、

=__________。

三、计算题

1、判定（ⅰ）2x3x23x10（mod5）是否有三个解；

（ⅱ）x62x54x230（mod5）是否有六个解

2、设n是正整数，求

的最大公约数。

3、已知a=18,m=77,求使ax1（modm）成立的最小自然数x。

四、证明题

1、若质数p≥5,且2p+1是质数，证明：

4p+1必是合数。

2、设p、q是两个大于3的质数，证明：

p2≡q2（mod24）。

3、若x,y∈R+,

（1）证明：

[xy]≥[x][y]；

（2）试讨论{xy}与{x}{y}的大小关系。

注：

我们知道，[xy]≥[x]+[y]，{x+y}≤{x}+{y}。

此题把加法换成乘法又如何呢

4、证明：

存在一个有理数

，其中d<100,能使

=

。

（提示：

由（73,100）=1，利用裴蜀恒等式来证明）

初等数论练习题四

一、单项选择题

1、若Fn=

是合数，则最小的n是（）。

A.2B.3C.4D.5

2、记号ba‖a表示ba｜a,但ba+1

a.以下各式中错误的一个是（）。

A.218‖20!

B.105‖50!

C.119‖100!

D.1316‖200!

3、对于任意整数n，最大公因数（2n+1,6n-1）的所有可能值是（）。

A.1B.4C.1或2D.1，2或4

4、设a是整数，下面同余式有可能成立的是（）。

A.a2≡2（mod4）B.a2≡5（mod7）C.a2≡5（mod11）D.a2≡6（mod13）

5、如果a≡b（modm），c是任意整数，则下列错误的是（　　　）

A．ac≡bc（modmc）B．m|a-bC．（a,m）=（b,m）D．a=b+mt,t∈Z

二、填空题

1、d（10010）=_________；φ（10010）=_________。

2、对于任意一个自然数n，为使自N起的n个相继自然数都是合数，可取N=_________。

3、为使3n-1与5n+7的最大公因数达到最大的可能值，则整数n应满足条件________。

4、在5的倍数中，选择尽可能小的正整数来构成模12的一个简化系，则这组数是______。

5、同余方程26x+1≡33（mod74）的解是_________。

6、不定方程5x+9y=86的正整数解是_________。

7、

=_________。

三、计算题

1、设n的十进制表示是

，若792n，求x，y，z。

2、求3406的末二位数。

3、求（214928+40）35被73除所得余数。

四、证明题

1、设a1,a2,,am是模m的完全剩余系，证明：

（1）当m为奇数时，a1+a2++am≡0（modm）；

（2）当m为偶数时，a1+a2++am≡

（modm）。

2、证明：

若m＞2，a1,a2,,a（m）是模m的任一简化剩余系，则

3、设m>0是偶数，{a1,a2,,am}与{b1,b2,,bm}都是模m的完全剩余系，证明：

{a1b1,a2b2,,ambm}不是模m的完全剩余系。

4、证明：

（1）2730∣x13-x；

（2）24∣x（x+2）（25x2-1）；

（3）504∣x9-x3；

（4）设质数p＞3，证明：

6p∣xp-x。

初等数论练习题五

一、单项选择题

1、设x、y分别通过模m、n的完全剩余系，若（）通过模mn的完全剩余系。

、n都是质数，则mynxB.m≠n，则mynx

C.（m，n）=1，则mynxD.（m，n）=1，则mxny

2、1×3×5×…×2003×2005的标准分解式中11的幂指数是（）。

.101C

3、n为正整数，若2n-1为质数，则n是（）。

A.质数B.合数（k为正整数）

4、从100到500的自然数中，能被11整除的数的个数是（）。

.34C

5、模100的最小非负简化剩余系中元素的个数是（）。

.10C

二、填空题

1、同余方程ax+b≡0（modm）有解的充分必要条件是______。

2、高斯称反转定律是数论的酵母，反转定律是指____________。

3、被3除所得的余数为______。

4、设n是大于2的整数，则（-1）

（n）=______。

5、单位圆上的有理点的坐标是____________。

6、若3258×a恰好是一个正整数的平方，则a的最小值为______。

7、

=_________

三、计算题

1、求32008×72009×132010的个位数字。

2、求满足（mn）=（m）+（n）的互质的正整数m和n的值。

3、甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100斤，问各买几斤

四、证明题

1、已知2011是质数，则有2011|

。

2、设p是4n+1型的质数，证明若a是p的平方剩余，则p-a也是p的平方剩余.

3、已知p,q是两个不同的质数，且ap-1≡1（modq）,aq-1≡1（modp）,

证明：

apq≡a（modpq）。

4、证明：

若m,n都是正整数，则（mn）=（m,n）（[m,n]）。

初等数论练习题六

一、填空题

1、为了验明2011是质数，只需逐个验算质数2，3，5，…p都不能整除2011，此时，质数p至少是__________。

2、最大公因数（4n+3,5n+2）的可能值是__________。

3、设3α∣40!

，而3α+1

40!

，即3α‖40!

，则α=__________。

4、形如3n+1的自然数中，构成模8的一个完全剩余系的最小的那些数是__________。

5、不定方程x2+y2=z2,2|x,（x,y）=1,x,y,z>0的整数解是且仅是_________。

6、21x≡9（mod43）的解是__________。

7、

=__________。

二、计算题

1、将

写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。

2、若3是质数p的平方剩余，问p是什么形式的质数

3、判断不定方程x2+23y=17是否有解

三、证明题

1、试证对任何实数x,恒有〔x〕+〔x+

〕=〔2x〕。

2、证明：

（1）当n为奇数时，3∣（2n+1）；

（2）当n为偶数时，3

（2n+1）。

3、证明：

（1）当3∣n（n为正整数）时，7∣（2n-1）；

（2）无论n为任何正整数，7

（2n+1）。

4、设m＞0，n＞0，且m为奇数，证明：

（2m-1，2n+1）=1。

初等数论练习题七

一、单项选择题

1、设a和b是正整数，则

=（　　　）。

A．1B．aC．bD．（a,b）

2、176至545的正整数中，13的倍数的个数是（　　　）。

A．27B．28C．29D．30

3、200!

中末尾相继的0的个数是（　　　）。

A．49B．50C．51D．52

4、从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（　　　）。

A．2的倍数B．3的倍数C．4的倍数D．5的倍数

5、设n是正整数，下列选项为既约分数的是（　　　）。

A．

B．

C．

D．

二、填空题

1、314162被163除的余数是___________。

2、同余方程3x≡5（mod13）的解是___________。

3、

4、［-π］＝___________。

5、为使n-1与3n的最大公因数达到最大的可能值，则整数n应满足条件___________。

6、如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。

7、同余方程x3+x2-x-1≡0（mod3）的解是___________。

三、计算题

1、求不定方程x2y3z=41的所有正整数解。

2、有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。

已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人

3、判断同余方程

是否有解

四、证明题

1、设（a,m）=1，d0是使ad1（modm）成立的最小正整数，则

（ⅰ）d0（m）；

（ⅱ）对于任意的i，j，0i,jd01，ij，有ai

aj（modm）。

2、证明：

设a，b，c，m是正整数，m>1，（b,m）=1，并且

ba1（modm），bc1（modm），

记d=（a,c），则bd1（modm）。

3、设p是素数，pbn1，nN，则下面的两个结论中至少有一个成立：

（ⅰ）pbd1对于n的某个因数d

（ⅱ）p1（modn）。

若2

n，p>2，则（ⅱ）中的modn可以改为mod2n。

初等数论练习题八

一、单项选择题

1、若n>1，则（n1）!

1（modn）是n为素数的（）。

A.必要但非充分条件B.充分但非必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件

2、小于545的正整数中，15的倍数的个数是（）。

.35C

3、500!

的标准分解式中7的幂指数是（）。

.80C

4、以下各组数中，成为模10的简化剩余系的是（）。

9,－3,－1,－1,7,9C.5,7,11,13D.－1,1,－3,3

5、设n是正整数，下列选项为既约分数的是（）。

A.

B.

C.

D.

二、填空题

1、σ（120）=______________。

2、7355的个位数字是______________。

3、同余方程3x≡5（mod14）的解是______________。

4、（

）=______________。

5、［-

］＝______________。

6、如果一个正整数具有6个正因数，问这个正整数最小是______________。

7、同余方程x3+x2-x-1≡0（mod5）的解是______________。

三、计算题

1、已知563是素数，判定方程x2429（mod563）是否有解。

2、求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余。

3、试求出所有正整数n，使得1n＋2n＋3n＋4n能被5整除。

四、证明题

1、证明：

若质数p>2，则2P-1的质因数一定是2pk+1形。

2、设（m,n）=1,证明：

m（n）+n（m）≡1（modmn）。

3、设（a,b）=1,a+b≠0,p为一个奇质数，证明：

。

初等数论练习题九

一、单项选择题

1、以下Legendre符号等于-1的30被-1是（）。

A.

B.

C.

D.

2、100至500的正整数中，能被17整除的个数是（）。

A.23B.24C.25D.26

3、设

|500!

，但

500！

，则α=（）。

A.245.246D.248

4、以下数组中，成为模7的完全剩余系的是（）。

A.－14，－4，0，5，15，18，19B.7，10，14，19，25，32，40

C.－4，－2，8，13，32，35，135D.－3，3，－4，4，－5，5，0

5、设n是正整数，则以下各式中一定成立的是（）。

A.（n+1,3n＋1）=1B.（2n－1,2n＋1）=1C.（2n,n＋1）=1D.（2n＋1,n－1）=1

二、填空题

1、25736被50除的余数是________________。

2、同余方程3x≡5（mod16）的解是________________。

3、不定方程9x－12y=15的通解是________________。

4、

=________________。

5、实数的小数部分记为{x}，则{－

}＝________________。

6、为使3n与4n＋1的最大公因数达到最大的可能值，则整数n应满足条件________。

7、如果一个正整数具有35个正因数，问这个正整数最小是________________。

三、计算题

1、解不定方程9x＋24y－5z=1000。

2、设A={x1,x2,,xm}是模m的一个完全系，以{x}表示x的小数部分，若（a,m）=1，求

。

3、设整数n2，求：

。

即在数列1,2,,n中，与n互素的整数之和。

4、设m>1，（a,m）=1，x1,x2,,x（m）是模m的简化剩余系，求：

。

其中{x}表示x的小数部分。

四、证明题

1、证明：

设a是有理数，b是使ba为整数的最小正整数，若c和ca都是整数，则

b∣c。

（提示：

利用带余数除法解决。

）

2、设p是素数，证明：

（ⅰ）对于一切整数x，xp11（x1）（x2）（xp1）（modp）；

（ⅱ）（p1）!

1（modp）。

3、证明：

若2

n，p是奇质数，p∣an-1,则

。

4、证明：

若p=4m+1是一质数，则

。

5、设p是奇质数，p1（mod4），则：

1（modp）。

初等数论练习题十

一、单项选择题

1、设p是大于1的整数，如果所有不大于

的质数都不能整除p，则p一定是（）。

A.素数B.合数C.奇数D.偶数

2、两个质数p，q，满足p+q=99，则

的值是（　　　）。

B.

C.

D.

3、2010！

的标准分解式中，7的最高幂指数为（　　　）。

A．331B．332C．333D．334

4、n为正整数，若2n+1为质数，则n是（　　　）。

A．质数B．合数C．1D．2k（k为非负整数）

5、当n＞2时，欧拉函数（n）一定是（）。

A．奇数B．偶数C．1D．2

二、填空题

1、如果p是质数，a是整数，则有（a，p）=1或者_______。

2、设p是奇质数,（a,p）=1,则a是模p的平方非剩余的充要条件是_______。

3、1000开始到2010结束的所有整数中13的倍数有_______个。

4、2756839-1的末位数是_______。

5、不定方程ax+by=c有解的充要条件是______。

6、写出模12的一个最小非负简化系，要求每项都是7的倍数，此简化系为_______。

7、已知563是质数，则

=_______。

三、计算题

1、若3是质数p的平方剩余，问p是什么形式的质数

2、求使12347!

被35k整除的最大的k值。

四、证明题

1、证明：

设

是一个质数，则存在唯一的一个正整数x，使得：

。

2、已知9901是素数，试证：

。

3、证明：

若p=10n-1是个质数，则

。

（提示：

利用勒让德符号解决。

）

4、设p=4n+3是质数，证明当q=2p+1也是质数时，梅森数Mp=2p-1不是质数。

由此证明：

23|（211-1），47|（223-1），503|（2251-1）。

5、证明：

设p是大于5的质数，则

。

（利用Wilson定理解决，只需证明：

p（p+1）|（p-1）!

+p+1。

）