初等数论习题.docx

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初等数论习题

《初等数论》习题集

第1章

第1节

1. 证明定理1。

2. 证明：

若mpmnpq，则mpmqnp。

3. 证明：

任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p是n的最小素约数，n=pn1，n1>1，证明：

若p>

，则n1是素数。

5. 证明：

存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为

a2p（a>0是整数，p为素数）

的形式。

第2节

1. 证明：

12n42n311n210n，nZ。

2. 设3a2b2，证明：

3a且3b。

3. 设n，k是正整数，证明：

nk与nk+4的个位数字相同。

4. 证明：

对于任何整数n，m，等式n2（n1）2=m22不可能成立。

5. 设a是自然数，问a43a29是素数还是合数？

6. 证明：

对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除。

第3节

1. 证明定理1中的结论（ⅰ）—（ⅳ）。

2. 证明定理2的推论1,推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x，yZ，172x3y，证明：

179x5y。

5.设a，b，cN，c无平方因子，a2b2c，证明：

ab。

6. 设n是正整数，求

的最大公约数。

第4节

1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a，b是正整数，证明：

（ab）[a,b]=a[b,ab]。

4. 求正整数a，b，使得ab=120，（a,b）=24，[a,b]=144。

5. 设a，b，c是正整数，证明：

。

6. 设k是正奇数，证明：

1291k2k9k。

第5节

1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。

2. 用辗转相除法求整数x，y，使得1387x162y=（1387,162）。

3. 计算：

（27090,21672,11352）。

4. 使用引理1中的记号，证明：

（Fn+1,Fn）=1。

5. 若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？

6. 记Mn=2n1，证明：

对于正整数a，b，有（Ma,Mb）=M（a,b）。

第6节

1. 证明定理1的推论1。

2. 证明定理1的推论2。

3. 写出22345680的标准分解式。

4. 证明：

在1,2,,2n中任取n1数，其中至少有一个能被另一个整除。

5. 证明：

（n2）不是整数。

6. 设a，b是正整数，证明：

存在a1，a2，b1，b2，使得

a=a1a2，b=b1b2，（a2,b2）=1，

并且[a,b]=a2b2。

第7节

1. 证明定理1。

2. 求使12347!

被35k整除的最大的k值。

3. 设n是正整数，x是实数，证明：

=n。

4. 设n是正整数，求方程

x2[x2]=（x[x]）2

在[1,n]中的解的个数。

5. 证明：

方程

f（x）=[x][2x][22x][23x][24x][25x]=12345

没有实数解。

6. 证明：

在n!

的标准分解式中，2的指数h=nk，其中k是n的二进制表示的位数码之和。

第8节

1. 证明：

若2n1是素数，则n是2的乘幂。

2. 证明：

若2n1是素数，则n是素数。

3. 证明：

形如6n5的素数有无限多个。

4. 设d是正整数，6

d，证明：

在以d为公差的等差数列中，连续三项都是素数的情况最多发生一次。

5. 证明：

对于任意给定的正整数n，必存在连续的n个自然数，使得它们都是合数。

6. 证明：

级数

发散，此处使用了定理1注2中的记号。

第2章

第1节

1. 证明定理1和定理2。

2. 证明定理4。

3. 证明定理5中的结论（ⅰ）—（ⅳ）。

4. 求81234被13除的余数。

5. 设f（x）是整系数多项式，并且f

（1）,f

（2）,,f（m）都不能被m整除，则f（x）=0没有整数解。

6. 已知99

，求与。

第2节

1. 证明定理1。

2. 证明：

若2p1是奇素数，则

（p!

）2

（1）p0（mod2p1）。

3. 证明：

若p是奇素数，N=12（p1），则

（p1）!

p1（modN）。

4. 证明Wilson定理的逆定理：

若n>1，并且

（n1）!

1（modn），

则n是素数。

5. 设m是整数，4m，{a1,a2,,am}与{b1,b2,,bm}是模m的两个完全剩余系，证明：

{a1b1,a2b2,,ambm}不是模m的完全剩余系。

6. 设m1,m2,,mn是两两互素的正整数，i（1in）是整数，并且

i1（modmi），   1in，

i0（modmj），ij，1i,jn。

证明：

当bi通过模mi（1in）的完全剩余系时，

b11b22bnn

通过模m=m1m2mn的完全剩余系。

第3节

1. 证明定理1。

2. 设m1,m2,,mn是两两互素的正整数，xi分别通过模mi的简化剩余系（1in），m=m1m2mn，Mi=

，则

M1x1M2x2Mnxn

通过模m的简化剩余系。

3. 设m>1，（a,m）=1，x1,x2,,x（m）是模m的简化剩余系，证明：

。

其中{x}表示x的小数部分。

4. 设m与n是正整数，证明：

（mn）（（m,n））=（m,n）（m）（n）。

5. 设a，b是任意给定的正整数，证明：

存在无穷多对正整数m与n，使得

a（m）=b（n）。

6. 设n是正整数，证明：

（ⅰ） （n）>

；

（ⅱ） 若n是合数，则（n）n

。

第4节

1. 证明：

197810319783能被103整除。

2. 求313159被7除的余数。

3. 证明：

对于任意的整数a，（a,561）=1，都有a5601（mod561），但561是合数。

4. 设p，q是两个不同的素数，证明：

pq1qp11（modpq）。

5. 将6121分解成素因数之积。

6. 设nN，bN，对于bn1的素因数，你有甚麽与例6相似的结论？

第5节

1. 证明例2中的结论。

2. 证明定理2。

3. 求

。

4. 设f（n）是积性函数，证明：

（ⅰ） 

（ⅱ） 

。

5. 求（n）的Mobius变换。

第3章

第1节

1. 证明定理3。

2. 写出789的二进制表示和五进制表示。

3. 求

的小数的循环节。

4. 证明：

七进制表示的整数是偶数的充要条件是它的各位数字之和为偶数。

5. 证明：

既约正分数

的b进制小数（0a1a2a3）b为有限小数的充要条件是n的每个素因数都是b的素因数。

第2节

1. 设连分数1,2,,n,的第k个渐近分数为

，证明：

，

2. 设连分数1,2,,n,的第k个渐近分数为

，证明：

，k2。

3. 求连分数1,2,3,4,5,的前三个渐近分数。

4. 求连分数2,3,2,3,的值。

5. 解不定方程：

7x9y=4。

第3节

1. 证明定理4。

2. 求

的连分数。

3. 求

的误差105的有理逼近。

4. 求sin18的误差105的有理逼近。

5.已知圆周率=3,7,15,1,292,1,1,1,21,，求的误差

106的有理逼近。

6.证明：

连分数展开的第k个渐近分数为

。

此处{Fn}是Fibonacci数列。

第4节

1. 将方程3x22x2=0的正根写成连分数。

2. 求=

之值。

3. 设a是正整数，求

的连分数。

4. 设无理数

=a1,a2,,an,的第k个渐近分数为

，证明：

的充要条件是

pn=a1qnqn1，dqn=a1pnpn1。

5. 设无理数

=a1,a2,,an,的第k个渐近分数为

，且正整数n使得

pn=a1qnqn1，dqn=a1pnpn1，

证明：

（ⅰ） 当n为偶数时，pn，qn是不定方程x2dy2=1的解；

（ⅱ） 当n为奇数时，p2n，q2n是不定方程x2dy2=1的解。

第4章

第1节

1. 将

写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。

2. 求方程x12x23x3=41的所有正整数解。

3. 求解不定方程组：

。

4. 甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？

5. 证明：

二元一次不定方程axby=n，a>0，b>0，（a,b）=1的非负整数解的个数为

1。

6. 设a与b是正整数，（a,b）=1，证明：

1,2,,abab中恰有

个整数可以表示成axby（x0，y0）的形式。

第2节

1. 证明定理2推论。

2. 设x，y，z是勾股数，x是素数，证明：

2z1，2（xy1）都是平方数。

3. 求整数x，y，z，x>y>z，使xy，xz，yz都是平方数。

4. 解不定方程：

x23y2=z2，x>0，y>0，z>0，（x,y）=1。

5. 证明下面的不定方程没有满足xyz0的整数解。

（ⅰ） x2y2z2=x2y2；