第一章11 111 集合及其表示方法Word文档下载推荐.docx
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一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅.
②集合的元素特点
确定性：
集合的元素必须是确定的.
互异性：
对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.
无序性：
集合中的元素可以任意排列，与次序无关.
③集合相等：
给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B.
④集合的分类
根据集合含有的元素个数分为两类：
有限集：
含有有限个元素的集合（空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集）.
无限集：
含有无限个元素的集合.
（2）元素与集合的关系
元素与集合之间的关系只能用“∈”或“∉”表示，对一个确定的对象和一个给定的集合，这两种关系有且只有一个成立
知识点
关系
概念
记法
读法
元素与集
合的关系
属于
a是集合A的元素
a∈A
“a属于A”
不属于
a不是集合A的元素
a∉A
“a不属于A”
2.几种常见的数集及表示符号 记住这些符号，用到这些数集时非常方便
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
N
N*或N＋
Z
Q
R
3.列举法
列举法对有限集情有独钟，自然数集、整数集也可用列举法来表示，
（1）定义：
把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法.
（2）使用说明
①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.
②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
③无限集有时也可用列举法表示.
4.描述法 描述法表示集合要关注竖线“|”左边元素的形式，是数，是点或
一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p（x）称为集合A的一个特征性质.此时，集合A可以用它的特征性质p（x）表示为{x|p（x）}.
这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.
①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.
②集合{x|p（x）}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p（x）}.
5.区间及其表示
（1）区间
设a，b∈R，且a＜b.
定义
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
（a，b）
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
[a，b）
{x|a＜x≤b}
（a，b]
（2）无穷区间的表示
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x＜a}
{x|x≤a}
[a，＋∞）
（a，＋∞）
（－∞，a）
（－∞，a]
（－∞，＋∞）
教材拓展补遗
[微判断]
1.漂亮的花可以组成集合.（×
）
提示 “漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.
2.由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.（×
提示 由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素.
3.集合{1，2，3}与集合{3，2，1}是同一个集合.（√）
[微训练]
1.用符号“∈”或“∉”填空.
（1）若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；
（2）若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3________B；
（3）若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C，9.1________C.
解析
（1）∵A＝{x|x2＝x}＝{0，1}，∴－1∉A.
（2）∵B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{x|（x＋3）（x－2）＝0}＝{－3，2}，∴3∉B.
（3）∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
∴8∈C，9.1∉C.
答案
（1）∉
（2）∉ （3）∈ ∉
2.试分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1）由方程x（x2－2x－3）＝0的所有实数根组成的集合；
（2）大于2且小于7的整数.
解
（1）用描述法表示为{x∈R|x（x2－2x－3）＝0}，用列举法表示为{0，－1，3}.
（2）用描述法表示为{x∈Z|2<
x<
7}，用列举法表示为{3，4，5，6}.
[微思考]
1.设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3，4这两个元素与集合A有什么关系？
如何用数学语言表示？
提示 3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；
4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4∉A.
2.某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
集合元素确定性的含义是什么？
提示 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准.某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定.元素确定性的含义：
集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
题型一 集合概念的理解
【例1】 考察下列每组对象能否构成一个集合：
（1）不超过20的非负数；
（2）方程x2－9＝0在实数范围内的解；
（3）某校2019年在校的所有矮个子同学；
（4）
的近似值的全体.
解
（1）对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
（2）能构成集合；
（3）“矮个子”无明确的标准，对于某个人算不算矮个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
（4）“
的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.
规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；
如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.
【训练1】
（1）下列给出的对象中能构成集合的是（ ）
A.著名物理家B.很大的数
C.聪明的人D.小于3的实数
（2）下列各组对象可以构成集合的是（ ）
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
解析
（1）只有选项D有明确的标准，能构成一个集合.
（2）A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；
B能构成集合；
C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；
D中没有明确的标准，所以不能构成集合.
答案
（1）D
（2）B
题型二 元素与集合的关系、集合的元素特点及应用
【例2】
（1）给出下列关系：
①
∈R；
②|－3|∉N；
③|－
|∈Q；
④0∉N.其中正确的个数为（ ）
A.1B.2
C.3D.4
解析 ①正确；
②③④不正确.
答案 A
（2）已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.
解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－
.
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去.
当a＝－
时，a－2＝－
，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性.∴a＝－
规律方法 利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
（1）策略：
根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验.
（2）注意点：
利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.
【训练2】
（1）设集合M是由不小于2
的数组成的集合，a＝
，则下列关系中正确的是（ ）
A.a∈MB.a∉M
C.a＝MD.a≠M
解析 判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是.∵
<
2
，∴a∉M.
答案 B
（2）已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值.
解 因为－3是集合A中的元素，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合要求.
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
题型三 集合的表示方法
【例3】 用适当的方法表示下列集合（能用区间表示的用区间表示）：
（1）方程x（x2＋2x＋1）＝0的解集；
（2）在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；
（3）不等式x－2>
6的解的集合；
（4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；
（5）方程组
的解集.
解
（1）{0，－1}；
（2）{x|x＝2n＋1，且x<
1000，n∈N}；
（3）（8，＋∞）；
（4）{1，2，3，4，5，6}；
（5）解集用描述法表示为
，
解集用列举法表示为{（4，－1）}.
规律方法
（1）一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围.
（2）方程（或方程组）的解的个数较少，因此方程（或方程组）的解集一般用列举法表示；
不等式（或不等式组）的解集一般用描述法表示.注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式.
【训练3】
（1）下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A.{x|x＝1}B.{y|（y－1）2＝0}
C.{x＝1}D.{1}
（2）有下面六种表示方法
①{x＝－1，y＝2}；
②{（x，y）|
；
③{－1，2}；
④（－1，2）；
⑤{（－1，2）}；
⑥{x，y|x＝－1或y＝2}.
其中，能正确表示方程组
的解集的是________（填序号）.
解析
（1）由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|（y－1）2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.
（2）
序号
判断
原因分析
否
①中含两个元素，且都是方程，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点
②
能
②代表元素是点的形式，且对应值与方程组的解相同
③
③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素
④
④没有用花括号“{ }”括起来，不表示集合
⑤
⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组的解对应相等
⑥
⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号（ ），条件中“或”也要改为“且”
答案
（1）C
（2）②⑤
一、素养落地
1.通过集合概念及元素与集合关系的学习，重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养.
2.研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.这是判断能否构成集合的依据.
3.表示集合的要求：
（1）根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.
（2）一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.
二、素养训练
1.现有下列各组对象：
①著名的数学家；
②某校2019年在校的所有高个子同学；
③不超过30的所有非负整数；
④方程x2－4＝0在实数范围内的解；
⑤平面直角坐标系中第一象限内的点.
其中能构成集合的是（ ）
A.①③B.②③
C.③④D.③④⑤
解析 ①著名的数学家无明确的标准，对某个数学家是否著名无法客观地判断，因此①不能构成一个集合；
类似地，②也不能构成集合；
③任给一个整数，可以明确地判断它是不是“不超过30的非负整数”，因此③能构成一个集合；
类似地，④也能构成一个集合；
对于⑤，“在第一象限内”不仅可以用坐标系进行图示，也可以通过点的横、纵坐标是否都大于0来判断，标准是明确的，因此能构成一个集合.
答案 D
2.已知1，x，x2三个实数构成一个集合，则x满足的条件是（ ）
A.x≠0B.x≠1
C.x≠±
1D.x≠0且x≠±
1
解析 根据集合中元素的互异性，得
解得x≠0且x≠±
1.
3.下列所给关系正确的个数是（ ）
∉Q；
②|－1|∈N；
③π∈R；
④－3∈Z.
解析 ∵
是无理数，∴
∉Q，因此①正确.又|－1|＝1∈N，π是实数，－3是整数，故②③④也正确.
4.已知集合A中的元素x满足x≥2，若a∉A，则实数a的取值范围是________.
解析 由题意a不满足不等式x≥2，即a<
2.
答案 a<
5.已知集合A是由所有形如3a＋
b（a∈Z，b∈Z）的数组成的，判断－6＋2
是不是集合A中的元素.
解 因为－2∈Z且2∈Z，所以－6＋2
＝3×
（－2）＋
×
2是形如3a＋
b（a∈Z，b∈Z）的数，即－6＋2
是集合A中的元素.
基础达标
一、选择题
1.以下各组对象不能组成集合的是（ ）
A.中国古代四大发明
B.地球上的小河流
C.方程x2－1＝0的实数解
D.周长为10cm的三角形
解析 选项B中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能组成集合.
2.方程组
的解集是（ ）
A.{x＝3，y＝0}B.{3}
C.{（3，0）}D.{（x，y）|（3，0）}
解析 方程组解的形式是有序实数对，故可排除A，B，而D不是集合表示的描述法的正确形式，排除D.
答案 C
3.下列集合中恰有2个元素的集合是（ ）
A.{x2－x＝0}B.{y|y2－y＝0}
C.{x|y＝x2－x}D.{y|y＝x2－x}
解析 选项A中的集合只有一个元素为：
x2－x＝0；
集合{y|y2－y＝0}的代表元素是y，则集合{y|y2－y＝0}是方程y2－y＝0根的集合，即{y|y2－y＝0}＝{0，1}；
选项C，D中的集合中都有无数多个元素，故选B.
4.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（ ）
A.矩形B.平行四边形
C.菱形D.梯形
解析 由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D.
5.用描述法
表示图中所示阴影部分的点（包括边界上的点）的坐标的集合是（ ）
A.{－2≤x≤0且－2≤y≤0}
B.{（x，y）|－2≤x≤0且－2≤y≤0}
C.{（x，y）|－2≤x≤0且－2≤y<
0}
D.{（x，y）|－2≤x<
0或－2≤y≤0}
解析 由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，
∴集合{（x，y）|－2≤x≤0且－2≤y≤0}表示阴影部分点的集合.
二、填空题
6.给出下列关系①
∈Q；
③0∉N*；
④π∉Q；
⑤－4∉Z.其中正确的个数为________.
解析 ①②③④是正确的；
⑤是错误的.
答案 4
7.设区间A＝（－2，3），B＝[2，＋∞），使得x∈A且x∈B的一个实数为________.
解析 如2∈A，2∈B，事实上区间[2，3）内任一个实数都符合要求.
答案 2（答案不唯一）
8.若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________.
解析 由题意可知（－5）2－a×
（－5）－5＝0，得a＝－4，故方程x2－4x＋4＝0的解为x＝2，即{x|x2－4x－a}＝{2}，则其所有元素之和为2.
答案 2
三、解答题
9.判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1）2，
这些数组成的集合有5个元素；
（2）方程（x－3）（x＋1）2＝0的解组成的集合有3个元素.
解
（1）不正确.∵
＝
∴这个集合有3个元素.
（2）不正确.方程（x－3）（x＋1）2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝－1，因此这个集合只有3，－1两个元素.
10.用适当的方法表示下列集合：
（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合；
（2）方程
＋|y－2|＝0的解集.
解
（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有：
12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}.
（2）由
＋|y－2|＝0，
得
所以
所以方程
＋|y－2|＝0的解集用描述法可表示为{（x，y）|
能力提升
11.由三个数a，
，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，求a2019＋b2019的值.
解 由a，
，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得
或
解得
（不满足集合元素的互异性，舍去）.
所以a2019＋b2019＝（－1）2019＋0＝－1.
12.下面三个集合：
A＝{x|y＝x2＋1}；
B＝{y|y＝x2＋1}；
C＝{（x，y）|y＝x2＋1}.
问：
（1）它们是不是相同的集合？
（2）它们各自的含义是什么？
解
（1）在A，B，C三个集合中，虽然特征性质的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合.
（2）集合A的代表元素是x，满足y＝x2＋1，
故A＝{x|y＝x2＋1}＝R.
集合B的代表元素是y，满足y＝x2＋1的y≥1，
故B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}.
集合C的代表元素是（x，y），满足条件y＝x2＋1，即表示满足y＝x2＋1的实数对（x，y）；
也可认为满足条件y＝x2＋1的坐标平面上的点.
因此，C＝{（x，y）|y＝x2＋1}＝{（x，y）|（x，y）是抛物线y＝x2＋1上的点}.
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