高中数学立体几何大题(有答案).doc

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1．（2014•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．

（Ⅰ）求证：

AP∥平面BEF；

（Ⅱ）求证：

BE⊥平面PAC．

解答：

证明：

（Ⅰ）连接CE，则

∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，

∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，

设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，

∵F为线段PC的中点，

∴PA∥OF，

∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，

∴AP∥平面BEF；

（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，

∴BE∥CD，

∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AP⊥CD，

∴BE⊥AP，

∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，

∴四边形ABCE是菱形，

∴BE⊥AC，

∵AP∩AC=A，

∴BE⊥平面PAC．

3．（2014•湖北）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．

（Ⅰ）求证：

BE∥平面PAD；

（Ⅱ）求证：

BC⊥平面PBD；

（Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°．

解答：

解：

（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，AF，

∵E为PC中点，∴EF∥CD，且，

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，

∴EF∥AB，EF=AB，∴四边形ABEF为平行四边形，

∴BE∥AF，∵BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，

∴BE∥平面PAD．（4分）

（Ⅱ）∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AD．（5分）

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．

则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）．（6分）

，，

∴，BC⊥DB，（8分）

又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，

∴BC⊥平面PBD．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面PBD的法向量为，（10分）

∵，，且λ∈（0，1）

∴Q（0，2λ，1﹣λ），（11分）

设平面QBD的法向量为=（a，b，c），，，

由，，得

，

∴，（12分）

∴，（13分）

因λ∈（0，1），解得．（14分）

4．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：

（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC．

解答：

证明：

（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，

又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，

∴PA∥平面DEF；

（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；

又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；

∴DE2+EF2=DF2，

∴∠DEF=90°，

∴DE⊥EF；

∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；

∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；

∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．

13．（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE．

解答：

解：

（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，

∵AD⊂平面ABC，

∴AD⊥CC1

又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线

∴AD⊥平面BCC1B1，

∵AD⊂平面ADE

∴平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点

∴A1F⊥B1C1，

∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，

∴A1F⊥CC1

又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线

∴A1F⊥平面BCC1B1

又∵AD⊥平面BCC1B1，

∴A1F∥AD

∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，

∴直线A1F∥平面ADE．

16．（2010•深圳模拟）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点

（1）求证：

EF∥平面SAD

（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．

解答：

（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．

设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），，．

取SD的中点，则．平面SAD，EF⊄平面SAD，

所以EF∥平面SAD．

（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），，．EF中点，，，

又，，

所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．．

所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．

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