命题逻辑真值形式.docx
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命题逻辑真值形式
第一章命题逻辑
一、真值形式
1命题及其真值、原子命题和复合命题
前题及其真值
我们已经知道，作为逻辑研究主要对象的推理，是一个命题序列，是从某个或某些命题
得到某个命题的思维过程。
那么，什么是命题呢？
命题是表达判断的语句。
所谓判断，就是人对思维对象有所断定。
一切能被人思考的客体都构成思维对象，简称对象。
对象可以是有形的，也可以是无形
的；可以是物质的，也可以是精神的；可以是存在的，也可以是不存在的。
总之，包罗万象。
对象要能被思考，必须具有一定的性质，处于——定的关系之中。
对象的性质和对象之间的关系•统称对象的属性。
没有属性的对象，是不存在的。
判断对对象有所断定，就是断定对象具有或不具有某种属性。
判断用语句的形式表达出来，就是命题。
例如：
（1）所有不受外力作用的物体都作匀速直线运动。
（2）上帝是万能的追物主。
⑶如果上帝是万能的造物主，那么他既能又不能造出一块他自己都无法举起的石头。
这些都是命题。
命题都有真假。
没有真假的语切不表达确定的判断•因而不是命题。
命题的真或假，称为命题的真值。
也就是说，命题的真值包括两个值，一个值是“真”，
另一个值是“假”。
真命题的真值是“真”，假命题的真值是“假”。
原子命题和复合命题
原子命题是不包含和自身不同的命题的命题。
例如：
（1）癌症是遗传的。
（2）癌症不是遗传的。
（3）并非癌症是遗传的。
（4）如果癌症是遗传的，那么老李患癌症是不可避免的。
（5）老李知道癌症是遗传的。
其中，句⑴和句⑵是原子命题，因为其中不包合和自身不同的命题，而句（3）、句⑷
和句（5）不是原子命题，因为这些命题中都包含了和自身不同的命题（划横线的部分）,这样的命题称为支命题。
像句（3）、句（4）和句（5）这样的命题，虽然都是包含支命题的非原子命题.但它们之间存在重要的区别。
句⑶和句⑷的真值是由其支命题的真值惟一地确定的，而句⑸则不是。
如果“癌症是遗传的”是真的，则句（3）是假的；如果“癌症是遗传的”是假的，则句
（3）是真的。
如果“癌症是遗传的”是真的，并且“老李患癌症是不可避免的”是假的，则句⑷是
假的；在支命题的其他真假情况下，句（4）都是真的。
句（5）的真值却不是由其支题的真值性一地确定的：
如果“癌症是遗传的”是真的，
则句（5）可以是真的，也可以是假的。
像句⑵和句⑷这样的命题，称为复合命题。
在命题逻联中，复合命题指这样的命题：
第一。
它包含和自身不同的命题作为支命题；第二，它的真值由其支命题的真值惟一地确定。
复合命题的支命题可以是原子命题，也可以是复合命题。
复合命题最终是出原子命题依
据一定的逻辑关系构成，依据这种逻辑关系，原子命题的真值，惟一地确定由其构成的复合命题的真值。
表达这种逻辑关系的语词，称为联结词。
因此，复合命题的终极构成成分只有
两个，一个是原子命题，另一个是联结词。
例如，上例句（3）中的联结向是“并非”；句（4）
中的联结词是“如果……，那么……”。
2•真值联结词•真值形式•常用真值联结词
真值联结词和真值形式
日常语言所表达的联结问，除了表达原子命题和复合真假关系之外，在特定的语境下，还会表达其他某些意思。
例如：
（1）小张和小李结了婚，并见有了孩子。
如果交换句⑴中两个支命题的位置，得到：
（2）小张和小李有了孩子，并且结了婚。
句
（2）的含义显然较之句
（1）有了变化。
这说明，这里联结词“并且”除了断定两个支命题都是真的以外，还表达了其他什么意思。
如果只保留联结词中对于真假关系的断定，我们就从联结词得到了真值联结词。
因此，真值联结词是对联结词的一种抽象，它刻画并且只刻画原子命题和由其构成的复合命题之间
的真假关系。
在命题逻辑中，真值联结词用专门的符号表示。
由真值联结词构成的复合命题
的形式结构，就是真值形式。
例如，句
（1）的真值形式是pq，其中，“”是真值联结词，
读作“合取”，表示“并且”；p和q称作命题变项，表示原子命题。
因此，真值形式也就是命题变项和真值联结词的合式构成。
单个命题变项也是真值形式，真值联结词在其中零次出
现。
特殊地，如果命题变项和真值联结词都零次出现，这样的真值形式称为空式。
空式也是
真值形式。
在某些场合，空式的概念不可缺少。
另外，真值形式必须是有限构成的，即是有限长的符号串。
，
在以后的讨论中，p,q,r…表示命题变项，A,B,C…表示任意的真值形式。
常用真值联结词
这里定义五个常用真值联结词，即“入”、“m”、“T”、“㈠”和“「”及相关的五
个基本真值形式。
合取
真值形式“paq”，读作“p合取q”，断定：
p和q都是真的。
也就是说p和q中，只要有一个是假的，pq就是假的。
“pq”可如下定义：
p
q
pr
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
上面这样的表格，称为真值表。
其中，“1”表示真，“o”表示假。
真值表列出了在原子命题的每一组真值组合下复合命题的真值。
因此，正如下面将要说明的，一个完整的真值表,就定义了一个真值函数。
不同的真值表，定义不同的真值函数。
以上的真值表说明，关于入的真值运算，下面的等式成立：
11=1;10=01=00=0。
在日常语言中，“p代q”表述为“P并且q”，“不但P,而且q”等等。
合取式相当于传统逻辑中的联言命题。
析取
真值形式“p订q”读作“p析取q”断定：
P和q中至少有一个是真的。
也就是说,只有当p和q都是假的，pq才是假的。
“pq”可如下定义：
p
q
P“q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
以上的真值表说明，关于的真值运算，以下的等式成立：
1.■1=1.■0=0I"1=1;0I"0=0。
在日常语言中，“pvq"表述为“p或者q”析取式相当于传统逻辑中的相容选言命题。
蕴涵
真值形式“ptq”，读作“P蕴涵q”断定：
只有当p真和q假时，pTq才是假的；在其余情况下，p>q都是真的。
“p>q”可如下定义：
p
q
PTq
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
如上定义的蕴涵.称为“实质蕴涵”。
以上的真值表说明，关于>的真值运算，以下的等式成立：
1一；0=0;1一；1=1一；0=0—；0=1。
在日常语言中，“PTq"表述为“如果P,那么q”“只要P,就q”等等。
蕴涵式相当于传统逻辑中的充分条件假言命题。
“pTq”和“如果P,那么q”的含义是有区别的。
“如果P,那么q”除了表
示“不会P真而q假”这种p和q之间的真假关系以外，根据具体的语境，还可能表示P
和q之间的其他联系；而“p>q”除了表示“不会P真而q假”以外，不表示P和q之间的任何其他联系。
因此，如果“如果p,那么q”成立•则“p>q”成立：
但反过来，
如果“p>q”成立，则“如果p,那么q”不一定成立。
在后面的情况下•就会出现所谓的“蕴涵怪论”。
根据“蕴涵”的定义，只有当一个真命题蕴涵一个假命题的时候，这个蕴涵式才是假的，因此，假命题可以蕴涵任何命题，而真命题可以被任何命题蕴涵。
这样，因为“废话是财富”是个假命题，因此，它既可以蕴涵“夸夸其谈者可以成为百万富翁”，又可以蕴涵“夸夸其谈者将一贫如洗”。
事实上，我们可以接受“如果废话是财富，那么夸夸其谈者可以成为百万富翁”为真命题，但不能接受“如果废话是财富。
那么夸夸其谈者将一贫如洗”为真命题，特别是不能把这两个内容正好相悖的命题，同时接受为真命题。
像“如果废话是财富.那
么夸夸其谈者将一贫如洗”这样的在实质蕴涵的意义上被确认为真，在事实上难以成立或显
然不能成立的条件命题。
就称为“蕴涵怪论”。
为了排除蕴涵怪论，逻辑学家定义了一种有别于实质蕴涵的“严格蕴涵”，从而产牛了
一个重要的逻辑分支一一模态逻辑。
基于实质蕴涵的一阶逻辑不排除蕴涵怪论。
这里的关键问题是，“p）q”不完全等同于
“如果p，那么q”，而只是对后者的一种真值抽象。
推理和蕴涵有着密切的联系。
我们说从前提A能推出结论B,意思就是说，如果A是
真的，那么B就不会是假的，这正是A蕴涵B的意思。
因此，一个推理的真值形式就是一个蕴涵式。
等值
真值形式“p㈠q”，读作“p当且仅当q”，也读作“p和q等值”，断定：
p和q具有相同的真值。
“pq"可如下定义：
p
q
P㈠q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
以上的真值表说明，关于…的真值运算，以下的等式成立：
11=00=1；仆0=0，1=0。
在日常语言中，“p㈠q”表述为“如果p，那么q;并且只有p才q”。
等值式相当于传统逻辑中的充分必要条件假言命题。
定义所表达的定义项和被定义项之间的关系就是一种常见的等价关系。
换句话说，如果
两个命题之间具有等值关系，它们是可以互相定义的。
显然，如果P蕴涵q,并且q蕴油p,则p和q就是等值的。
反之亦然。
也就是说“piq”可定义为“p_.q「jq—•p”。
并非
真值形式“”，读作“并非p”，断定「p和p具有不同的真值。
“一p”可如下定义：
P
「p
1
0
0
1
关于一的真值运算，以下的等式成立
一1=0；—0=1。
［例］完成以下的真值运算：
-1一0》0尸|：
01
［解］一1一0r0（01
=一11一；0L1
=一1一；011
1.1
=1
3•命题逻辑层次上的自然语言符号化•复合命题的真值形式•命题推理及其真值形式
复合命题的真值形式
基于上面所定义的常用真值联结词，就可以在命题逻辑的层次上对自然语言进行符号化，也就是对自然语言所表达的复合命题和命题推理，抽象出它们的真值形式。
把自然语言所表达的复合命题翻译成相应的真值形式，其步骤是：
第一，确定复合命题
所包含的所有不同的原于命题；第二，用同一命题变项表示所有相同的原子命题，用不同的
命题变项分别表示所有不同的原子命题（表示命题变项的符号是小写英文字母p、q、r、s、
t……）；第三，确定复合命题所断定的支命题之间的逻辑关系，并用相应的真值联结词加以表达；第四，依据确定的层次，写出整个复合命题的真值形式。
下面通过实例加以说明。
［例1］写出下列各复合命题的真值形式：
（1）要么总经理辞职，要么董事长承担全部责任。
令P表示总经理辞职，q表示董事长承担全部责任。
命题
（1）断定p和q两个命题有且只
有一个为真，因此，其真值形式是：
p—q—pq。
pq表示传统逻辑中的相容选言命题；在传统逻辑中，表示不相容选言命题的联结词是“要么……，要么……”。
本例说明，不相容选言命题“P,要么q”的真值形式是
pqpq。
（2）只有确保产品质量，企业才能具备起码的竞争力。
令P表示（企业）确保产品质量，q表示企业具备起码的竞争力。
命题
（2）断定p是q的必
要条件，即无p则无q。
因此，其真值形式是：
pq。
q和piq分别表示传统逻辑中的充分条件和充分必要条件假言命题；在传统逻辑中，表示必要条件假言命题的联结词是“只有……才……”。
本例说明,必要条件假言命题
“只有P,才有q”的真值形式是—p、-q。
命题（3）的真值
〔3〕除非制定的法律都能得到有力的实施，否则，依法治国就是一句空话。
令P表示制定的法律都能得到有力的实施，q表示依法治国是一句空话。
形式是：
~■ptq。
⑷明天将举行全校运动合，除非天下雨。
令P表示明天将举行全校运动会,
q表示（明）天下雨。
是乞（4）的真值形式是：
「pTq。
［例2］写出下列各复合命题的真值形式：
（1）如果恐怖分子的要求能在规定期限内满足，则全体人质就能获释；否则，恐怖分子就要杀害人质，除非特种部队能实施有效的营救。
令p表示恐怖分子的要求能在规定期限内满足，q表示全体人质就能获释，r表示恐怖
分子就要杀害人质，s表示特种部队能实施有效的营救。
命题
（1）的真值形式是：
p-q一卩一：
r。
也可以写作qi1（一p—r）。
事实上，以后将会看到，这两个形式真值是等值的。
（2）如果大张在孩子落水的现场但没有参加营救，那么，或者他看到了孩子落水但却装着看不见，或者他确实不会游泳。
令P表示大张在孩子落水的现场，q表示大张参加了营救，r表示大张看到了孩子落水，
s表示大张装着看不见孩子落水，t表示大张会游泳。
命题⑵的真值形式是：
p》-q〕ii：
rs-t。
大张看到了孩子落水，和大张装着看不见孩子落水，是两个没有真值关系的原子命题，必须用不同的命题变项表示。
r表示大张看到了孩子落水，-r表示大张没看到孩子落水，
而不表示大张装着看不见孩子落水。
（3）如果光强调固结，不强调斗争，或者光强调斗争，不强调固结，就不能达到既弄清思想又团结同志的目的。
令P表示强调团结，q表示强调斗争，r表示乔清思想，s表示团结同志（这里都省略了主语）。
命题⑶的真值形式是：
p-qq—p-rs。
命题推理及其真值形式
命题逻辑的中心课题，是研究命题推理的形式结构及其有效性的判定。
那么，什么是命题推理呢？
看下面两个推理：
（1）如果大张是作案者，那么他一定有作案动机
大张没有作案动机
所以，大张不是作案者
（2）所有的作案者都有作案动机
大张没有作案动机
所以，大张不是作案者
这两个推理都是有效的，并且有着相同的内容。
但是。
它们之间有着实质性的区别：
推
理
（1）的有效性的根据是命题之间的关系，而推理
（2）的有效性的根据是原子命题内部的构成
要素之间的关系。
像推理
（1）这样的推理，称为命题推理。
任命题推理中，事实上在整个命题逻辑中，原子命题作为最基本的单位，它的内部结构不再分析。
求命题推理的真值形式的步骤是：
第一，分别号出各个前提和结论的真值形式；第二，用合取号把各个前提的真值形式联结起来，所得的合取式，即是前提的真值形式；第三，用
蕴涵号把前面提和结论的真值形式联结起来，所得的蕴涵式，即是整个命题推理的真值形式。
［例3］写出以下命题推理的真值形式：
如果上帝不能创造出一块他自己都不能搬动的石头，则他不是万能的；如果上帝能创造
出一块他自己都不能搬动的石头，则他同样不是万能的。
上帝或者能创造出一块他自己都不
能搬动的石头，或者不能，二者必居其一。
因此，上帝不是万能的。
令P表示上帝能创造出一块他自己都不能搬动的石头，q表示上帝是万能的。
则该推理
的格式是：
一卩•■一q
PT飞P一P
•••_q
它的真值形式是：
i）p—；「q「〔p—；「q「〔p一p丁一；「q。
4•真值联结词的一般性质•真值函数•n元真值函数的总数•真值联结词的可定义性、完
全性和独立性
真值函数
所谓函数，是指在两个集合的元素之间建立对应关系的一种运算。
设A和B是两个集合，若对A中的元素，或元素元组，依据某种运算，能惟一地确定B中的某个元素与之对应，这就定义了一个从A到B的（单值）函数。
A称为该函数的定义域，B称为该函数的值域；定义域上的元素称为自变量，值域上的元素称为函数值。
显然，真值联结词也是一种函数，称为真值函数。
它的定义域和值域都是由“真”“假”
两个真值构成的集合。
真值函数的自变量和函数值都是真值。
对任一真值形式，如果其中命题变项的真值确定了，那么真值形式的真值也就惟一地确
定了。
也就是说，真值形式的值，是真值函数的函数值。
因此，真值形式也称为真值函项。
在以上定义的五种常用真值联结词中，“-”由一个命题变项定义，是一元真值函数；
其余的都有两个命题变项定义，是二元真值函数。
一般地，如果由n个命题变项定义的真值
函数，称为n元真值函数，即n元真值联结词。
n元真值函数的总数
上述五个常用真值联结词是从人们的日常思维中概括出来的。
现在的问题是，它们是否
穷尽了所有的一元、二元真值联结词？
也就是说，包括-在内的一元真值联结词共有多少
个?
包括、、一;和I在内的二元真值联结词共有多少个？
一般地，n元真值联结词.即n元真值函数共有多少个？
前面已经提到，一个完整的真值表，定义了一个确定的真值函数；不同的真值表，定义了不同的真值函数。
因此n元真值函数共有多少个，也就是问，具有n个命题变项的不同的
真值表共有多少个？
一个完整的真值表，有两个构成要素：
第一，要列出命题变项所有不同的真假情况，即要列出所定义的真值函数自变量的所有取值；第二，对命题变项所有不同的真假情况，真
值函数都有确定的真值作为函数值。
例如，设f（p,q）为一二元真值函数,
函数并非都有确定的真值作为函数值。
因此，要回答具有n个命题变项的不同的真值表共有多少个，无非是要回答这样两个问题：
第一，n个命题变项所有不同的真假情况共是多少？
第二，对应于n个命题变项所有
不同的真假情况，作为函数值共有多少种不同的真值排列？
由于每个每个命题变项都可以取真或假，因此，一个命题变项所有不同的真假情况是2
个，两个命题变项所有不同的真假情况是4个，三个命题变项所有不同的真假情况是8
个，……一般地，n个命题变项所有不同的真假情况共是，个。
而对应于命题变项的，种
的每一种，函数值可以取真或假，因此，对应于命题变项的2“种不同的取值，真值函数共
有22叮，:
2（连乘2“次）种不同的取值。
也就是说，n元真值函数，共有22'：
■:
2
n,nA
（连乘2次）=2个。
这样，一元真值联接词，共有4个，二元真值联接词，共有16个。
以下分别是所有一元和二元真值联接词的一览表。
其中，表示f一元真值联接词，g表
示二元真值联接词。
[表1]一元真值联接词一览表
p
f1
f2
f3
f4
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
[表2]二元真值联接词一览表
p
q
g1
g2
g3
g4
g5
g6
g7
g8
g9
g10
g11
g12
g13
g14
g15
g16
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
真值联接词的可定义性
在表i和表2中，f3即是一，g是，g是，g是一；，g是『。
因为两个等值的真值形式是可以互相定义的，因此，
fi可定义为p—p。
f4可定义为P一卩。
f2可定义为P。
g3表示“只有p，才q”可定义为「pT「q。
gio表示“要么p,要么q”可定义为（p「qWLp/\q）。
我们可以用构造真值表的方法来验证，定义右边的真值形式的真值表，和所要定义的真
P
q
g3
「Pt「q
1
1
1
Ft「1=1
1
0
1
Ft「0=1
0
1
0
-<0tF=0
0
0
1
「Ot「0=1
值函数的真值表是相同的。
这说明二者是等值的，是可以互相定义的。
例如，以下的真值表说明，—p—q和g3
具有相同的真值表，两者是可以互相定义的：
真值联结词的完全性
现在的问题是，常用真值联结词是否能定义所有的一元和二元真值联结词？
或者更一般
地，常用真值联结词是否能定义所有的n元真值联结词，
回答是肯定的。
定义4.1一组真值联结词是完全的，当且仅当由它能定义任一n元真值联结词。
定理4.2L,,｛是完全的。
在给出正式的证明以前•先分析一个实例。
不妨讨论如何用一，和来定义表2中的二元真值联结词g4。
g4的真值表显示，g4（p,q）为真，当且仅当：
p真且q真.或者p
真且q假。
因此，它显然可定义为：
pqp-q。
事实上，用这种方式，可以一，
和来定义任一n元真值联结词。
［证明］设fP!
，…，心是任一n元真值联结词。
显然，它可以用一个2n行的真值表来
定义。
现在考虑在该真值表中函数值为真的那些行。
设第i行（1viv2n）的函数值为真，
构造合取式Ci:
p；p；…pn，每一pj（j=1，…，n）是命题变项Pj或其否定—Pj：
如果在第i行pj的值是真，则pj就是pj；如果在第i行Pj的值是假，则pj就是一Pj。
显然，当p；,…，Pn取第i行的值时，G的值是真，与fp；,…，Pn在第i行的值相同。
令D是所有这样构造的合取式G的析取。
如果fP；,…，Pn的值为常真，即在真值表的每一行都真，则D就有2n个析取支；如果fp；，…,Pn的值为真的行数是k,则D就有k个析取支；如果f口，…，pn的值为常假，即在真值表的每一行都假，这时令D为P_P。
对于这样构造的真值形式D，如果它是真的，则由的定义，可知存在某个G（1wi<2n）为
真，又由G的构造定义，可知fP1/,Pn为真；如果fP1,…,Pn为真，则存在某个i（1
Wiw2n）,f（p1,…，Pn）在第i行的值为真，同样由C的构造定义.可知C为真，贝yD为
真。
因此，fP1,…，Pn和D等值。
因为D中只出现—，，，，又因为fP1/,Pn具有任意性，因此，;、—，，［是完全的。
证毕。
自然,\,,一；尸，一1也是完全的。
［例1］用一，和定义以下三元真值函数fp,q,r:
p
q
r
f（P,q,r）
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
上述真值函数可定义为：
pqrp_q_r_pqr_pq_r。
定理4.3r,一堤完全的。
［证明］可通过构造真值表验证：
pq可定义为~p—q;_q可定义为一p、—q。
这说明运用>和二可定义_和_，又因为1一,,［是完全的，所以，匚厂.堤完全的。
证
毕。
定理4.4【-,［是完全的。
［证明］可定义为「（「pe"1硏。
这说明运用一1和a可定义M。
又因为匕“｝是完全的，所以，〈―，［是完全的。
证毕。
定理4.5L,［是完全的。
［证明］|paq可定义为「。
与定理4.4的证明同理，匕门是完全的。
证毕。
定理4.6：
一,1；不完全的。
这里仅叙述证明的思路，严格的证明可运用数学归纳法完成。
考虑一个仅包含和两个不同的命题变项的真值形式。
因为只包含两个
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