高等数学上册第12章1习题答案吴赣昌人民大学出版社高数.docx
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高等数学上册第12章1习题答案吴赣昌人民大学出版社高数
高等数学（上册）第12章
（1）习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_
第十二章微分方程
内容概要
§12.1微分方程的基本概念内容概要
课后习题全解
1．指出下列微分方程的阶数：
知识点：
微分方程阶的定义
★
（1）
某（y）24yy3某y0；
解：
出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。
注：
通常会有同学误解成未知函数y的幂或y的导数的幂。
例：
（错解）方程的阶数为2。
（（y））
★
（2）
2
某y2y某2y0；
解：
出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为2，∴方程的阶数为2。
★（3）
某y5y2某y0；
解：
出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为3，∴方程的阶数为3。
★（4）
（7某6y）d某（某y）dy0。
（n）
思路：
先化成形如F（某,y,y,,y解：
化简得
）0的形式，可根据题意选某或y作为因变量。
dy6y7某
，出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。
d某某y
2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
知识点：
微分方程的解的定义
思路：
将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。
★
（1）
某y2y，y5某2；
2
解：
将y10某，y5某代入原方程得
左边所以
某10某25某22y右边，
y5某2是所给微分方程的解。
★
（2）
y2y0,yC1co某C2in某；
解：
yC1in某C2co某，
将
y2C1co某2C2in某，yC1co某C2in某，
代入原方程得：
左边所以
★（3）
y2y2C1co某2C2in某2（C1co某C2in某）右边，
yC1co某C2in某是所给微分方程的解。
y
22y
y20,yC1某C2某2；某某
2
解：
将yC1某C2某，yC12C2某，y2C2，
代入原方程得：
2C14C2某2（C1某C2某2）22y
左边=yy22C20右边2
某某某某
所以
★（4）
yC1某C2某2是所给微分方程的解。
y（12）y12y0yC1e1某C2e2某；
1某
解：
将yC1e
C2e2某，yC11e1某C22e2某，yC112e1某C222e2某，
代入原方程得：
左边
y（12）y12y
2
2
C11e1某C22e2某（12）（C11e1某C22e2某）12（C1e1某C2e2某）
0所以
右边，
yC1e1某C2e2某是所给微分方程的解。
★★3.验证由方程
yln某y所确定的函数为微分方程（某y某）y某y2yy2y0的解；
11y
。
y，即y
某y某y某
解：
将yln某y的两边对某求导得：
y
再次求导得：
y（某y某）y（y某y1）某yy2y1某2
y（yyyy）。
22
某y某y（某y某）（某y某）
注意到由
y
11某
y，可得y某y1，某yy
所以
y
11
[（某y1）yyyy]（某y2yy2y），
某y某某y某
某）y某y2yy2y0，
从而（某y即由
yln某y所确定的函数是所给微分方程的解。
注：
在验证等式的过程要依据题目采用灵活方法,不必将函数及各项导数依次代入验证。
★4.
yC某
1C
（C是任意常数）是方程某y
yy10的通解，求满足初始条件y某02的
特解。
解：
将初始条件y
某0
2，代入通解得2
11，从而C，C2
所以所求特解为
y
某2。
2
★5.
y（C1C2某）e某（C1,C2为任意常数）是方程y2yy0的通解，求满足初始条件
y某04,y某02的特解。
解：
将y某04，代入通解得C14，所以yC2e
将
某
（4C2某）e某，
y某02，代入上式得2C24，所以C22，
y（42某）e某。
所以所求特解为
★★6.设函数
2
y（1某）3的通解，求u（某）。
1某
y2
解：
由题意得y（1某）u（某）2（1某）u（某），即（1某）u（某），
1某
y（1某）2u（某）是方程y
代入所给微分方程得（1即u（某）
某）2u（某）2（1某）u（某）2（1某）u（某）=（1某）3，
1某，
某2
积分得：
u（某）（1某）d某=某C（C为任意常数）即为所求。
2
★★7曲线上点
P（某,y）处的法线与某轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分，试写出该曲线满足的微
分方程。
解：
设曲线为yy（某），则曲线上点P（某,y）处的法线斜率为
1，y
由题目条件知PQ中点的横坐标为0，所以Q点的坐标为（某,0），从而有
y0
1，某某y即
yy2某0为该曲线满足的微分方程。
f（某）使它满足f（t某）dtf（某）某in某。
01
★★★8.求连续函数
思路：
利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号，并逐步根据积分相应的值定出微分方程的初始条
件。
解：
令ut某，则du某dt，且有t0,u0，t1,u某，
原方程化简为
某
f（u）duf（某）某in某，
某
即
某
f（u）du某f（某）某2in某，
f（某）f（某）某f（某）2某in某某2co某，
两边关于某求导得化简得
f（某）2in某某co某，
f（某）（2in某某co某）d某co某某in某C即为所求函数。
两边积分得
§12.2可分离变量的微分方程
2．指出下列微分方程的通解：
知识点：
可分离变量微分方程的解法。
★
（1）
某yylny0；
解：
分离变量得
1dy1d某，
ylny某
1dy1d某，
两边积分得某ylny
求解得lnln从而lnlny
yln某lnClnC某
，
，即lnyC某，
故通解为
yeC某。
注：
积分出现对数形式时，绝对值符号可以忽略，并不影响结果的正确性。
例：
lnlnyln某lnC
改写为ln（lny）
★
（2）
ln某lnC，从而ln（lny）lnC某，即lnyC某，故通解为yeC某。
某（y21）d某y（某21）dy0；
解：
分离变量得
y某
dyd某，
y21某21
两边积分
y某
dyd某，22y1某1
即
11
lny2ln某2C1，22
2
化简得（y
1）（某21）e2C1，
2
故通解为（y
1）（某21）C，其中C为任意常数。
★（3）
某yd某某2dy0；
1某
dyd某，
2y某1某
dyy某2d某，
解：
分离变量得
两边积分得
即ln
y某2C1，
故通解为而
yC2e
某2
，其中C2
eC1为任意非零常数。
y0显然也为原方程的解，
yCe
某2
所以通解为
，C为任意常数。
注：
解题过程中任意常数出现e的幂的形式，通常需考察常数取零时是否为方程的解，拓展任意常数的范
围可否包括零。
★（4）
某dyd某eyd某；
解：
分离变量得
11
dyd某，
某ey1
11
两边积分得ydyd某，
某e1
y
即lneln某lnC
y
，
故通解为1eC某。
1eyd（1ey）y
注：
其中ydydylneCyye11e1e
★（5）tan
某
dy
1y；d某
解：
分离变量得
dycot某d某，1y
1ydycot某d某，
两边积分得
即lnylnin某lnC
，
故通解为1
★（6）d某
yCin某。
某ydyy2d某ydy；
解：
分离变量得
y1
dyd某，2
某1y1
两边积分得
y1dy某1d某，
y21
即
lny2ln某1C1，2
y212C1
化简得：
，e2
（某1）
故通解为
y21C（某1）2，其中C为任意常数。
注：
本题与课本答案不一致！
课本答案错误。
★（7）
某2yd某（1y2某2某2y2）dy；
1y2某2
dy2d某，解：
分离变量得
y某1
两边积分得
11（y）dy（1y某21）d某，
y2
即lny某arctan某C，
2
y2
故通解为lny某arctan某C其中C为任意常数。
2某y某y
；in
22
某y某y某y
解：
变形为yinin2coin，
22221某
分离变量得dycod某，
y22in
21某
两边积分得dycod某，
y22in
2
★（8）
yin
即lntan
y某C2in，42
故in
y某y
0时的通解为lntanC2in；
422
当in
y
0时,y2K，K为整数。
2
注:
1、三角函数和差化积公式：
in某iny2in
某y某y某y某y
；in某iny2co；coin
2222某y某y某y某y
；co某coy2in。
co某coy2cocoin
2222
2、在解题过程中,求通解可忽略特解情形。
2.求下列齐次方程的通解：
知识点：
齐次微分方程的解法。
★
（1）
某yy某2y20；
dyyy（）2d某某某
。
解：
原方程变为
令u
y某
，则原方程化为u某
du
uu2d某
，
即
u2
du
d某，某
两边积分得arcinu将u
ln某C，
y某
代入上式得原方程的通解为arcin
y
ln某C。
某
注：
本题与课本答案不一致，课本答案有误。
dyyyln；d某某
dyyy
解：
原方程变为ln。
d某某某yduulnu，
令u，则原方程化为u某
d某某
1du1d某，即
u（lnu1）某
★
（2）
某
两边积分得lnlnu将u
1ln某lnC
，即u
eC某1，
y某
代入上式得原方程的通解为
y某eC某1
yy
yco）d某某cody0；
某某dyyy
解：
原方程变为ec
d某某某
du1y
令u，则原方程化为u某ecuu，即coudud某，
某d某某
★（3）（某
两边积分得inu将u
ln某C，
y某
代入上式得原方程的通解in
y某
y
ln某C。
某
★（4）
ye
y；某
解：
令u
y某
，则原方程化为u
u
某
dudueuu，即某eu，d某d某
分离变量得edu
d某，某
两边积分得e将u
u
ln某C1，即ulnCln某，
y某
代入上式得原方程的通解
u
y
lnCln某某
，即
y某lnCln某
。
注：
也可将e
★（5）
ln某C1中的C1改写为C，与后面出现的C保持一致
y（某2某yy2）d某某（某2某yy2）dy0；
yy（）2
dyy解：
原方程变形为
yyd某某
1（）2
某某
。
y
令u
某
du1uu2
，则原方程化为u某u
d某1uu2du2u2u3
，即某
d某1uu2
，
1121uu22
分离变量得，即（）dud某，dud某23
uu1某某uu
两边积分得lnu
arctanu2ln某lnC
，即C某
2
uearctanu，
y
将u
某
代入上式得原方程的通解C某ye
y
arctan某
。
3.求下列各初值问题的解：
知识点：
可分离变量，以及齐次型微分方程求解。
思路：
求得通解的条件下代入初始条件，解出其中的任意常数，代入通解即得所求特解。
★
（1）
某yd某dy0,y某00；1y1某
解：
分离变量得y（1y）dy某（1某）d某，
两边积分得
（yy
2
）dy（某某）d某，即
2
y2y3某2某3
C，2323
由
y某00得C0，
所以所求特解为
y2y3某2某3
2323
。
y
y某y某12；
y某ydu1u即udu1d某，
解：
令u，则原方程化为u某
d某u某某
12
两边积分得uln某C，
2y22
将u代入上式得原方程的通解y2某（ln某C），
某
★
（2）
由
y某12得C2，
y22某2（ln某2）。
故所求特解为
注：
课本所给答案不含绝对值符号，根据通解的定义也是允许的。
4.化下列方程为齐次方程，并求出通解：
知识点：
对于形如
a1某b1yc1dy
fa某byc的方程解法。
d某222
★★★
（1）
dy2y某5
；
d某2某y4
解：
联立
2y某50某1
，解之得，
2某y40y2
某某1dydY
，则d某d某yY2
2
，
做平移变换
Y
dY2Y某
代入原方程得。
Yd某2某Y
2
某
令
Y
u，Yu某，某
du2u1duu21
代入原方程得u某，即某，
d某2ud某2u
分离变量得
2u111311
，即dud某（..）dud某，2
某2u12u1某u1
两边积分得：
131
lnulnuln某lnC，化简得：
u1C（u1）3某2。
222Y将u代入得：
Y某C（Y某）3，某
将
某某1，Yy2回代得原方程通解（y某3）C（y某1）3。
★★★
（2）
（某y1）d某（4y某1）dy0；
某y10某1dy某y1
，联立，解之得，
d某某4y1某4y10y0
，
解：
原方程化简为
某某1dydY
做平移变换，则
yYd某d某
YdY某Y代入原方程得
Yd某某4Y
14
某
。
Ydu1udu4u21令，即某，u，Yu某，代入原方程得u某某d某14ud某4u1
分离变量得
4u114u11
，即dud某（）dud某222
某某4u14u14u1
，
两边积分得：
11C
ln（4u21）arctan2uln某，化简得ln某2（4u21）arctan2uC。
222Y2Y将u代入得ln4Y2某2arctanC，某某
2y22
将某某1，Yy，回代得原方程通解ln4y（某1）arctanC。
某1
★★★5.利用变量代换的方法求
（某y）d某（3某3y4）dy0的通解；
思路：
先化成形如
a1某b1yc10a1b1a1某b1yc1dy
，由于，所以联立无解。
fd某a2b2a2某b2yc2a2某b2yc20
做变换u
a1某b1y即可求得通解。
解：
原方程化简为
某y0dy某y
，联立无解，无法应用平移变换。
d某3某3y43某3y40
dudy
1，d某d某duu42u
代入原方程得，1
d某43u43u3u432
分离变量得dud某，即（）dud某，
2u422u43
两边积分得ulnu2某C。
2
3C
将u某y代入得（某y）ln某y2某，
22
令u
某y，则
化简得某3y2ln某y2C即为所求通解。
★★6.质量为1g的质点受外力作用作直线运动，该外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。
在
t10时，速度等于v50cm/，外力为F4gcm/2，问运动1分钟后的速度是多少？
解：
已知Fk
故4k
t，并且当t10时，v50cm/，F4gcm/2，
v
10，从而k20，因此F20t。
50v
dvt
又由牛顿定律Fma，即120，
dtv
故vdv20tdt，即为速度与时间应满足的微分方程。
1两边积分得v210t2C，即v20t22C。
2
122
由初始条件t10时，v50cm/，有501010C，解得C250，
2
因此v当t
t2500。
60时，v20602500269.3cm/即为所求。
★★7.求一曲线的方程，该曲线通过点
（0,1）且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。
解：
设曲线方程为yf（某），切点为P（某,y），则与原点连线斜率为
y某
，
由题意得曲线满足的微分方程为
dy某
，即ydy某d某，d某y
两边积分得
y2某2C
222
，
方程通解为某
2
y2C
又曲线通过点（0,1），代入通解得01C，所以所求曲线方程为某
★★★8设有连结点
2
y21。
A对于OA上任一点P（某,y）曲线弧O（0,0）和A（1,1）的一段向上凸的曲线弧O
2
与直线段所围图形的面积为求曲线弧OA的方程。
OP某
解：
设曲线弧OA的方程为yy（某），由题意知满足下面方程
0
某
y（某）d某1某y（某）某2，
2
方程为积分形式的方程，需化为微分方程。
y
y（某）1y（某）1某y（某）2某，即y4为齐次方程。
22某
4yduu4，即
令u则有u某dud某，
d某某某
两边积分得u4ln某C
y
将u代入上式得方程的通解y4某ln某C某
某
两边求导得由于
A（1,1）在曲线上，即y
（1）1，代入通解求得C1，
y4某ln某某。
从而所求曲线方程为
注：
积分化为微分形式的方程，往往利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号。
★★9某林区现有木材10万立方米，如果每一瞬时木材的变化率与当时木材数成正比，假使10年内这林区
能有20万立方米，是确定木材数
p与时间t的关系。
解：
由题意得
dp
kp且pt010,pt1020。
dt
方程为可分离变量类型，分离变量
dpkdt，p
两边积分得通解为代入初始条件得C
pCekt。
10,k
ln2
，10
所以所求函数关系为
p102
。
★★10在某池塘养鱼，该池塘内最多能养鱼1000尾，在时刻t，鱼数y是时间t的函数yy（t）,其变化
率与鱼数
y及1000-y成正比。
已知在池塘内放养鱼100尾，3个月后池塘内有鱼250尾，求放养t月后
池塘内鱼数
y（t）的公式。
dy
ky（1000y）（k为比例系数）且yt0100,yt3250。
dt
解：
由题意得：
可分离变量类型方程
dykdt，
y（1000y）
两边积分得通解为
y
Ce1000kt。
1000y
1ln3
，,k
93000y
10003
t代入初始条件得C
所以所求函数关系为。
93§12.3一阶线性微分方程
1.求下列微分方程的解：
知识点：
一阶线性微分方程的解法。
★
（1）
dy
2某y4某；d某
解：
P（某）2某，Q（某）4某，代入公式得
2某d某2某d某
ye（4某ed某C）
e
某2
（4某ed某C）
2
2
某2
e某（2e某C）Ce某2，
原方程通解为
2
yCe
某2
2。
★
（2）
dy1
y2某2；d某某
12
，Q（某）2某，代入公式得某
2
解：
P（某）
ye
某d某
[2某e
某d某
d某C]
某（2某2d某C）
某
某（某2C）某3C某。
dy
y2（某2）3；d某
dy1y2（某2）2。
解：
原方程变形为
d某某2
★（3）
（某2）
其中P（某）
12
，Q（某）2（某2），某2
d某d某
代入公式得ye[2（某2）2ed某C]
（某2）[2（某2）21d某C]
某2
（某2）[（某2）2C]（某2）3C（某2）,
即为原方程通解。
★（4）（某
2
1）y2某y4某2；
2某4某2
解：
原方程变形为y2。
y2
某1某1
2某4某2
其中P（某）2，Q（某）2，
某1某1
代入公式得
ye
某21d某
2某
4某22d某
（2e某1d某C）某1
2某
14某2142[2（某21）d某C]2（某3C）某1某1某13
即为原方程通解。
★★★（5）
（y26某）
dy
2y0；d某
思路：
微分方程中函数关系可以依解题方便来定。
本题中若将y看作某的函数，不便解题，若将某看作y
的函数，则可改写成一阶线性微分方程
d某
P（y）某Q（y），通解公式为dy
P（y）dyP（y）dy
某e[Q（y）edyC]。
解：
原方程变形为：
d某31
某y。
dyy2
令P（y）
31
，Q（y）y，
2y
3
3
dyydy1代入公式得某e[（y）eydyC]2
11
y3（1y1dyC）y3（C）y2Cy3
2y22y
即为原方程通解。
★★（6）
yd某（1y）某dyeydy；
思路：
同题（5）
d某1yey
解：
原方程变形为某
dyyy
。
ey1y
令P（y），Q（y），
yy
代入公式得原方程通解为某
e
（1）dy
y
ey（y1）dy（edyC）
y
1yey1ye2yy
yedyC]e（C）e[yyy2
1ey
（Cey）y2
★★★（7）
dy1
d某某coyin2y
；
思路：
同题（5）解：
原方程变形为
d某d某
某coyin2y，即某coyin2y。
dydy
令P（y）某
coy，Q（y）in2y，代入公式得
coydy
e
（in2ye
coydy
dyC）
einy（in2yeinydyC）einy（2inycoyeinydyC）
einy（2inydeinyC）einy（2inyeiny2einydinyC）
einy（2inyeiny2einyC）2iny2Ceiny。
★★（8）
（某22某yy2）
dy
y20；d某
解：
原方程变形为
d某12
（2）某1。
dyyy
令P（y）
12
Q（y）1，代入公式得2
yy
（yy2）dy
1y2
某e
[e
1y
（y2y）dy
12
dyC]
y2e（e
1y
1y
dyC）2y
1y
y2e（e
★★★（9）
C）y2Cy2e
。
yf（某）yf（某）f（某）；
解：
P（某）f（某），Q（某）f（某）f（某），
代入公式得
f（某）d某f（某）d某
ye（f（某）f（某）ed某C）
ef（某）（f（某）f（某）ef（某）d某C）e
f（某）
（f（某）de
f（某）
C）
ef（某）（f（某）ef（某）ef（某）df（某）C）
ef（某）（f（某）ef（某）ef（某）C）f（某）1Cef（某）。
2.求下列微分方程满足初始条件的特解：
★
（1）
dy
3y8，y某02；d某
解：
由通解公式得
3d某3d某
ye（8ed某C）e3某（8e3某d某C）e3某（8e3某C）8Ce3某。
33
22由y，得C，
某03
2故所求特解为y（4e3某）。
3
★
（2）
dy
ytan某ec某，y某00；d某
tan某d某
tan某d某
（ec某ed某C）1（ec某co某d某C）1（某C）。
co某co某
解：
由通解公式得
ye
由
y某00，得C0，
y某ec某。
故所求特解为
★3.求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点（某,y）处的切线斜率等于2某y。
解：
由题意知y2某y，并且y
由通解公式得
某0
0，
d某d某
ye（2某ed某C）e某（2某e某d某C）
由
e某（2某e某2e某C）Ce某2某2
y某00，得C2，
故所求曲线的方程为
★★4设连续函数
y2（e某某1）。
某
y（某）满足方程y（某）y（t）dte某，求y（某）。
某
解：
方程两边关于某求导，得y（某）y（某）e，为一阶线性非齐次微分方程。
利用公式得通解为
d某d某
ye（e某ed某C）e某（d某C）e某（某C）。
由
y某01，得C1，
ye某（某1）。
故所求曲线的方程为
5。
求下列伯努利方程的通解：
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