矩形的性质教案 2.docx
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矩形的性质教案2
18.2.1 矩 形
1.探索并证明矩形的性质定理和判定定理,并能运用它们进行证明和计算.
2.理解并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
经历矩形及其性质定理和判定定理的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和语言表达能力.
1.让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.
2.体会矩形与平行四边形的区别与联系,理解一般与特殊的关系.
【重点】 矩形的性质定理和判定定理的运用.
【难点】 利用矩形的性质定理和判定定理进行证明和计算.
第
课时
1.认识矩形,理解并运用矩形的性质定理计算或证明.
2.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,会用它解决求线段长或线段倍分关系的问题.
让学生经历探索矩形的性质定理和判定定理、直角三角形性质的过程,进一步获得对图形的探索、猜测和证明的经验,发展推理能力.
1.通过探究矩形与平行四边形的区别与联系,使学生体会一般与特殊的关系.
2.通过课堂活动培养学生观察、归纳、猜想、证明的探索精神和实践能力,发展学生的合情推理能力,进一步培养学生的逻辑思维能力、推理论证能力及表达能力.
【重点】 矩形性质定理的运用.
【难点】 利用矩形的性质定理进行证明和计算.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习平行四边形的定义及其性质.
导入一:
教师拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,不管怎么拉,它还是一个平行四边形吗?
为什么?
（演示拉动过程如图所示）
再次演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止,让学生观察这是什么图形（小学学过的长方形）,引出本课题.
那么什么样的图形是矩形?
[设计意图] 通过教具演示,复习平行四边形的知识,运用设问激发学生的好奇心,为下面的学习做好铺垫.
导入二:
师:
前面我们学习了平行四边形,请同学们回答平行四边形有哪些性质（提示:
从边、角、对角线的方面考虑）.
学生思考回答.
平行四边形的对边平行且相等;对角相等;对角线互相平分.
[过渡语] 对于一类几何图形的研究,我们往往按照从一般到特殊的思路进行,比如研究三角形时,我们先研究一般三角形,再将三角形的有关要素特殊化,我们研究了把边特殊化得到的等腰三角形、把角特殊化得到的直角三角形,对于平行四边形的研究,我们也可以按照这个思路进行.
把平行四边形的一个角特殊化成直角,我们得到一个什么样的图形呢?
[设计意图] 温故知新.矩形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质,因此,引导学生复习平行四边形的性质,为本节矩形的学习奠定了扎实的基础.
1.矩形的定义
思路一
教师拿教具边做边讲解.改变∠B的大小,平行四边形ABCD的形状随之发生改变.当平行四边形ABCD的一个角为直角时,这时的图形是矩形.
提问:
矩形是平行四边形吗?
学生一致认为是平行四边形.
追问:
矩形是特殊的平行四边形,哪儿特殊?
生回答有一个角是直角.
师生给出矩形定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.
提问:
矩形是我们生活中最常见的图形之一,你能举出一些例子吗?
生说出大量例子.如:
教室的黑板,门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等.
教师画图讲解,如图所示,这个图形叫做矩形ABCD.
根据定义可以判定一个四边形是矩形,具体推理形式为:
∵▱ABCD中,∠B=90°,
∴▱ABCD是矩形.
[设计意图] 学生在小学学过长方形,这里让学生从动态的角度出发认识矩形,体会矩形与平行四边形的联系,感受特殊与一般的关系.
思路二
[过渡语] （出示教材图18.2-2）下面我们先来看一些图片,考虑什么样的图形是矩形.
请同学们观察上面的图片,思考下面的问题:
（1）这些图形有哪些共同特点?
（2）什么样的图形是矩形?
你能给矩形下个定义吗?
学生观察、思考、交流.
生1:
这些图形的对边平行;对边相等;四个角都是直角.
生2:
这些图形是平行四边形.
生3:
这些图形是矩形.因为它们的四个角都是直角.
师:
你能给矩形下个定义吗?
在学生尝试归纳的基础上,教师明确矩形的定义.
（板书）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.
[设计意图] 让学生从观察图片入手,经历观察、发现、猜想、归纳的过程,从直观上加深对矩形的理解.这个图形我们小学学过吗?
你能从这个图形与平行四边形的关系方面给出它的定义吗?
2.矩形的性质
思路一
[过渡语] 生活中有大量的矩形存在,是由于矩形不仅具有平行四边形的性质,而且还有一般平行四边形不具有的特殊性质.回忆我们探究平行四边形性质的思路,你认为应从哪些方面探究矩形的性质呢?
提问:
如图,矩形A'B'C'D'的边、角、对角线方面是否有不同于一般平行四边形的特殊性质?
你能得出有关性质的猜想吗?
教师利用几何画板再次演示由平行四边形转化为矩形的过程,学生从边、角、对角线方面进行思考、讨论、交流,得出猜想.教师利用几何画板的测量功能,初步验证学生的猜想.
学生提出自己的猜想.
猜想1:
矩形的四个角都是直角;
猜想2:
矩形的对角线相等.
追问:
你能证明这些猜想吗?
猜想1的证明学生结合定义口头完成.
学生思考回答.
在矩形ABCD中,AB∥CD,
∴∠BCD=180°-∠ABC=90°,
∠ADC=∠ABC=90°,∴∠BAD=∠BCD=90°（平行四边形的对角相等）.
猜想2的证明方法较多,利用勾股定理、三角形全等、构造等腰三角形等都可进行证明.鼓励学生尝试不同的证明方法.
教师选取一种证明过程展示.
已知:
如图所示,AC和BD是矩形ABCD的对角线.
求证:
AC=BD.
证明:
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB（SAS）.
∴AC=BD（全等三角形对应边相等）.
追问:
矩形是轴对称图形吗?
如果是,指出它的对称轴.
教师引导学生回想矩形的被子和床单反复折叠后仍然是矩形,学生用一张矩形纸片做模拟试验.师生共同得出结论:
矩形是轴对称图形,对称轴是对边中点所在直线.
教师再进一步讲解:
矩形性质1 矩形的四个角都是直角.
用符号语言表述为:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
矩形性质2 矩形的对角线相等.
用符号语言表述为:
∵AC和BD是矩形ABCD的对角线,
∴AC=BD.
[设计意图] 让学生进一步体会证明的必要性,完整地体会几何研究的“观察——猜想——证明”过程,进一步培养学生的发散性思维.
思路二
[过渡语] 矩形是特殊的平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质.那么它是否具有一般平行四边形不具有的一些特性呢?
请同学们看下面的思考题.
思考:
如图
（1）所示,矩形ABCD中,∠B=90°.
（1）求∠C,∠D,∠A的度数.
（2）连接AC,BD,如图
（2）所示,AC,BD相等吗?
请说明理由.
学生思考回答.
生1:
在矩形ABCD中,AB∥CD,
∴∠C=180°-∠B=90°.
∴∠D=∠B=90°,∠A=∠C=90°.
生2:
AC=BD.
理由:
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB（SAS）.
∴AC=BD（全等三角形对应边相等）.
[过渡语] 通过对上述问题的思考、讨论,大家对矩形有了进一步的认识,下面请一位同学归纳一下矩形的特性.
矩形性质1 矩形的四个角都是直角.
用符号语言表述为:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
矩形性质2 矩形的对角线相等.
用符号语言表述为:
∵AC和BD是矩形ABCD的对角线,
∴AC=BD.
[设计意图] 让学生通过计算、观察、猜想、证明、归纳等活动深刻理解矩形的特性,为性质的运用奠定基础.
3.直角三角形的一个重要性质
思路一
提问:
（出示图）矩形中有哪些三角形?
它们分别是什么三角形?
它们之间有什么关系?
学生找出其中的直角三角形与等腰三角形,并说出全等的三角形,面积相等的三角形.
[过渡语] 在前面的学习中,我们通过构造平行四边形,把三角形中的问题转化为平行四边形的性质得到三角形的中位线定理;平行四边形特殊化成矩形后,三角形也特殊化成直角三角形,你能结合下图,发现直角三角形ABC的一些特殊性质吗（O是AC的中点）?
学生讨论交流,得到性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
用符号语言表述为:
在Rt△ABC中,BO是斜边AC上的中线,∴BO=AC.
追问:
如图,在直角三角形草地上修两条互相交叉的小路BO,EF,路口端点处E,F,O分别为三角形草地的三边中点,小路BO,EF的长度相等吗?
请说明理由.
学生思考、回答,教师适时点拨.
[设计意图] 进一步体会利用特殊平行四边形研究特殊三角形的策略,得到直角三角形斜边上中线的性质,再把利用平行四边形研究出的三角形的两个性质放在一起应用,及时巩固新知,同时体会这两个性质的应用价值.
思路二
[过渡语] 上节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线,下面我们用矩形的性质研究直角三角形的一个性质.
议一议:
如图所示,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.观察Rt△ABC,分析BO与AC有什么关系,请说明理由.
小组讨论,选派代表发言.
生:
BO=AC.
理由:
∵矩形的对角线互相平分,∴BO=BD.∵AC=BD,∴BO=AC.
师:
下面请一位同学尝试用文字语言归纳一下直角三角形这一重要性质.
生:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
追问:
用符号语言怎么表述呢?
学生边说边记.
在Rt△ABC中,BO是斜边AC上的中线,∴BO=AC.
教师解析:
直角三角形的这一性质是矩形性质定理的一个推论,具有广泛的应用.在求线段长或线段倍分关系时常被用到.
[设计意图] 让学生了解矩形与直角三角形联系非常紧密,我们可以利用矩形研究直角三角形中的有关问题.
[知识拓展]
（1）直角三角形中,斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形,这两个等腰三角形的面积相等.
（2）在直角三角形中,如果遇到斜边的中点,可以考虑利用这一性质.（3）直角三角形斜边上的中线的性质一般可以用来证明线段相等或线段的倍分问题.
4.例题讲解
[过渡语] 上面我们研究了矩形的定义和性质,学以致用,下面我们举例说明它们的运用.
（教材例1）如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4.求矩形对角线的长.
师生分析:
此题求的是对角线AC或BD的长.由矩形的性质可得AC,BD相等且互相平分,进而得OA=OB.根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形,进而得OA=AB=4,所以AC=2OA=8.
学生规范板书解题过程.
解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC与BD相等且互相平分,
∴OA=OB.
又∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形.
∴OA=AB=4.
∴AC=BD=2OA=8.
（补充）如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=CF,连接OE,OF.求证OE=OF.
师生分析:
先根据矩形的性质得到OD=OC,∠EDO=∠FCO,然后根据SAS证明两个三角形全等,进而证明OE=OF.
证明:
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠ADC=∠BCD=90°,AC=BD,
OD=BD,OC=AC.
∴OD=OC.
∴∠ODC=∠OCD.
∴∠ADC-∠ODC=∠BCD-∠OCD,
即∠EDO=∠FCO.
又∵DE=CF,
∴△ODE≌△OCF.
∴OE=OF.
[设计意图] 运用矩形性质解决有关的证明问题,示范证明过程.
师生归纳小结:
图形
定义
性质
边
角
对角线
平行四边形
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
对边平行且相等
对角相等、邻角互补
对角线互相平分
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
1.用矩形纸片折出直角的平分线,下图中的折法正确的是 （ ）
解析:
根据矩形的性质和图形折叠的性质,知选项A,B,C中折痕没有平分直角,只有选项D符合.故选D.
2.如图,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是 （ ）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
解析:
由题意得剩下的三角形是直角三角形,所以∠1+∠2=90°.故选C.
3.如图,把矩形纸片沿对角线BD折叠,重叠部分为△EBD,则下列说法错误的是 （ ）
A.AB=CD
B.∠BAE=∠DCE
C.EB=ED
D.∠ABE一定等于30°
解析:
设点C在折叠前的位置为点C',如图所示.由题意易知AB与C'D是矩形的对边,所以AB=C'D,又C'D=CD,所以AB=CD,故选项A正确.∠BAE与∠DCE都等于90°,所以∠BAE=∠DCE,选项B正确.由折叠知∠CBD=∠C'BD,又AD∥BC',所以∠ADB=∠C'BD,所以∠CBD=∠ADB,所以EB=ED,选项C正确.若∠ABE=30°,则一定有∠ABE=∠DBC=∠C'BD=30°,显然这是不一定成立的.故选D.
4.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为 .
解析:
由勾股定理,得AC=13,因为BO为直角三角形斜边上的中线,所以BO=6.5,由题意易知MO是△ADC的中位线,由中位线的性质定理得MO=2.5,所以四边形ABOM的周长为6.5+2.5+6+5=20.故填20.
5.矩形ABCD的周长为40cm,O是它的对角线交点,若△AOB的周长比△AOD的周长多4cm,则矩形ABCD的最长边的长为 .
解析:
由矩形ABCD的周长为40cm可得AB+AD=20cm,由△AOB的周长比△AOD的周长多4cm,可得AB-AD=4cm,由此可得AB=12cm.故填12cm.
6.如图,已知矩形ABCD,点E为矩形外一点,且AE=DE.求证BE=CE.
证明:
∵AE=DE,∴∠EAD=∠EDA,由四边形ABCD是矩形得AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°,∴∠EAD+∠BAD=∠EDA+∠CDA,即∠BAE=∠CDE,在△ABE和△DCE中,∴△ABE≌△DCE,∴BE=CE.
第1课时
1.矩形的定义
2.矩形的性质
3.直角三角形的一个重要性质
4.例题讲解
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第53页练习第1,2,3题;教材第60页习题18.2第4题.
【选做题】
教材第61页习题18.2第9题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.（2015·益阳中考）如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是 （ ）
A.∠ABC=90°
B.AC=BD
C.OA=OB
D.OA=AD
2.矩形的对角线把矩形分成的三角形中,全等三角形一共有 （ ）
A.2对 B.4对 C.6对 D.8对
3.（2015·海南中考）如图所示,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,则图中五个小矩形的周长之和为 .
4.已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120°,则矩形的邻边长分别为 cm, cm.
【能力提升】
5.在直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=2AC,求∠A,∠B的度数.
6.如图,矩形ABCD中,BC=2AB,E是BC的中点,求证EA⊥ED.
7.如图,矩形ABCD中,AB=2BC,且AB=AE,求∠CBE的度数.
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠ACD=3∠BCD,点E是斜边AB的中点,则∠ECD是多少度?
9.如图,O是矩形ABCD对角线的交点,AE平分∠BAD,∠AOD=120°,求∠AEO的度数.
【拓展探究】
10.如图,矩形ABCD中,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离（即AE的长）.
11.如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC,∠1,∠2在图中已标注.求证CE=EF.
本节课内容是矩形的性质,本课按矩形的定义——矩形的性质（一般性质和特殊性质）——矩形性质与平行四边形性质的比较的流程进行讲解.整节课目标明确,让学生清楚地意识到这节课需要掌握的知识;内容比较流畅,知识点很自然地串联在一起;课堂目标完成良好,学生的反应力和做题的正确率都比较好.
知识的掌握需要有一个内化的过程,不可能一蹴而就,由于课堂时间有限,加上学生个体的差异,有部分学生不能灵活运用所学来解决相关的问题.
在教学方案的实施上,要想方设法调动学生学习的积极性,尽量发挥学生的主体作用,团队作用.
课时重难点分析
矩形是在学生学习了三角形,平行四边形等知识的基础上提出的,本节课的要务是如何借鉴三角形及平行四边形的知识与经验来研究矩形及矩形的性质,解决与矩形相关的问题.
根据本节课的教学内容,结合本班学生的实际情况,我选择的教学方法是启发式教学法.首先引导学生复习平行四边形的性质,为本节课矩形的学习奠定了扎实的知识基础;接着通过几何画板的演示,让学生从动态的角度出发认识矩形,体会矩形与平行四边形的联系,感受特殊与一般的关系;接下来重点讨论矩形的特性,深化对矩形特性的理解,为知识的运用奠定基础;之后引导学生借助矩形探索直角三角形的一个重要性质——直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,让学生了解矩形与三角形的密切联系;最后通过典例示范说明知识的运用.
本节重点是矩形性质定理的运用,难点是利用矩形的性质进行证明和计算.突出重点,突破难点,本教案精心设计了系列数学活动,为学生的自主探究提供了机会;在活动中,鼓励学生积极参与,大胆尝试,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验.
如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=4,求这个矩形对角线的长.
解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,且OA=OC=AC,
OB=OD=BD（矩形的对角线相等且互相平分）,
∴OA=OB.
∵∠AOD=120°,
∴∠AOB=60°.
∴OA=OB=AB（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.
∵AB=4,
∴AC=2OA=2AB=2×4=8.
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