数学北师大版八年级下册正方形判定定理的教案.docx

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数学北师大版八年级下册正方形判定定理的教案

正方形的判定

【学情分析】　　

1、认知起点：

学生已经积累了几何中平行四边形、矩形、菱形的性质及判定等相关知识，在取得一定的学习经验的基础上，认知正方形。

2、学习方式：

采用教师引导，学生自主学习、合作探究的方式

【教学目标】：

1、知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算。

2、经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，观察能力及逻辑思维能力，逐步掌握说理的基本方法。

3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点,同时在教学过程中让学生感受数学中的几何美和符号美。

教学重点：

掌握正方形的判定条件，以及正方形的性质和判定的应用

教学难点：

合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证

关键：

把握正方形即是矩形又是菱形这一特性来学习正方形的判定

教学方法：

情境创设法、动手操作法、演示教具法、活动探究法

教学准备：

PPT课件、小方巾、菱形衣帽架、三角板、菱形纸片一张、矩形纸片两张、剪刀。

【教学过程】

一、课前准备

1、数学家寄语：

“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。

”----毕达哥拉斯

师：

这句话是古希腊著名的数学家毕达哥拉斯为了告诫我们在学习数学的过程中，不仅仅需要掌握数学的一些结论和定理，更要注重这些数学知识的探究过程和逻辑推理顺序，要知其然更要知其所以然。

2、出示学生很熟悉的证明勾股定理的“赵爽弦图”：

这幅图由大小两个正方形及4个全等的直角三角形拼成，非常美观，正方形里面蕴含的知识奥妙无穷，这节课我们继续来探究有关正方形的知识。

（设计意图：

用名人名言提醒学生养成良好的说理习惯，同时让学生回顾上章内容中的勾股弦图的拼图中也有正方形，激起学生的探究欲望,从而引出正方形的话题。

）

二、复习检测

1、根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打“√”

平行四边形

矩形

菱形

正方形

①对边平行且相等

√

√

√

√

②四边都相等

√

√

③四个角都是直角

√

√

④对角线互相平分

√

√

√

√

⑤对角线互相垂直

√

√

⑥对角线相等

√

√

⑦每条对角线平

分一组对角

√

√

学生采取抢答形式判断，比一比谁反应最快。

师问：

为什么正方形七条性质都具备？

生：

因为正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，所以具备上述三种图形的一切性质。

（设计意图：

学生复习巩固几种四边形的性质，并进行对比，让学生体会到新旧知识的紧密衔接，为新课的学习作铺垫。

）

2、整理正方形的性质：

师：

通过刚才填表后，你能整理一下正方形的特殊性质吗？

应从哪几个方面去整理？

（请班里所有男生和女生分别回答，课件出示）

生：

从“边”、“角”、“对角线”、“对称性”四个方面考虑。

边———四条边都相等；

角———四个角都是直角；

对角线—两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角；

对称性———是轴对称图形,有四条对称轴。

（设计意图：

再次整理正方形的性质，一般情况下判定定理是性质定理的逆定理，让学生在学习正方形的判定时进行逆向思维。

）

3、情境引入：

课件出示：

昨天,我去超市买了一条方巾，现在想请同学们帮助检验一下方巾是否是正方形的。

应怎样检验呢？

生边折边说：

沿方巾的一条对角线对折一组对角可以重合，再沿另一组对角线对折另一组对角也可以重合，就可以证明方巾是正方形。

师：

他说的对吗？

如果我拿一张菱形纸也像刚才一样对折两次也可以重合，那么刚才的方巾一定是正方形吗？

只能证明刚才的方巾是一个什么形状？

（菱形）（师边折菱形纸边说，强调这样折只能证明两条对角线互相垂直且互相平分）

师：

这么说对折两次能重合还无法判定方巾是正方形，那么再怎样验证才可以证明方巾是正方形呢？

这就是我们这节课要探讨的问题，引出课题“正方形的判定”。

相信同学们学完这节课后大家就会找到验证方巾是否是正方形的方法了。

（设计意图：

通过创设问题情境，设置问题悬念引发学生对学习新知产生好奇心和求知欲，同时使学生体会到数学知识在现实生活中的应用价值。

）

三、新课探究

1、回忆正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（板书）

师：

定义可否作为一种判定一个图形是否是正方形的方法呢？

（可以）

师：

定义判定法需要满足几个条件？

（三个）三个条件缺一不可。

“一组邻边相等”的平行四边形可以证明什么？

（四条边都相等）“一个角是直角”的平行四边形又可以证明什么？

（四个角都是直角）？

四条边都相等、四个角都是直角的四边形符合什么图形的特殊性质？

（正方形）我们前面学过，一般情况下，判定定理是性质定理的逆定理，那么我们是否可以说“四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形呢？

”你会用几何符号语言来描述定义判定吗？

（设计意图：

学生要善于利用知识的迁移，找到新旧知识间的联系，从而让学生明确定义判定的正确性，同时锻炼学生用几何符号语言来描述定义判定，让学生明白对几何学习要有正确的态度才能更好的理解和掌握新知。

）

2、活动探究

（1）从长方形木板中怎样截出最大的正方形木板?

学生可用一张长方形纸试着折一折，说一说为什么要这样折？

同桌交流并回答。

生：

将长方形纸的一个角掀起来对折下去，使长方形的宽落在一条长边上，再截去多出的一块小长方形就得到最大的正方形，此时一组邻边相等。

师：

长方形木板上不好折叠又该怎么截出最大的正方形呢？

生：

在长方形的长边上截取一段等于宽的长度（一组邻边相等），再过截取的点作一条平行于宽的线段，即可得到最大的正方形。

（师用动画演示截取的过程）

师：

为什么这样操作就可以得到一个最大的正方形？

你能判定一下吗？

生：

可以用定义判定，这样操作符合“一组邻边相等”、“一个角是直角”和“平行四边形”这三个条件。

师：

从这个活动中你是否又得到一种判定正方形的方法呢？

什么样的矩形是正方形？

矩形判定法：

有一组邻边相等的矩形是正方形。

（板书）

矩形有一组邻边相等正方形

（设计意图：

让学生自己经历折纸的过程，体会正方形与矩形之间的联系和区别，明白了由矩形变成正方形的方法，同时也培养了学生的动手操作能力和归纳能力，经历了知识的形成过程。

）

（2）怎样使菱形的衣帽架变成正方形的衣帽架?

师拿出一活动菱形衣帽架，请一学生上讲台试一试，怎样拉动可以使菱形变成正方形。

（生尝试后回答：

使菱形的一个角变成直角，其余的三个角也跟着都变成了直角）（师用动画演示菱形变正方形的过程）

师：

菱形四条边相等，现在四个角也都是直角了，可以判定菱形衣帽架变成正方形了吗？

可以用定义判定来证明吗？

从这个活动中你又得到一种判定正方形的方法了吗？

菱形判定法：

有一个角是直角的菱形是正方形。

（板书）

菱形有一个角是直角正方形

（设计意图：

让学生体会正方形与菱形之间的联系和区别，明白了由菱形变成正方形的方法，实物演示和动画演示相结合使学生印象更深刻，更便于记忆和分辨正方形的判定方法。

）

（3）将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？

生同桌之间合作剪纸，每两人拿出一张矩形纸，动手操作，合作交流，主动参与探究。

请剪好的学生汇报，有不足之处找同桌补充。

生：

要剪一个等腰直角三角形（或者说剪刀下刀处应与两次折叠后的折痕成45°角）

师：

请同学们拿着剪下后的图形观察是正方形吗？

从哪个角度去进行判定？

（对角线）应该怎样判定？

生1：

将矩形纸两次对折后两条折痕所成的一个角是直角，证明剪出图形的两条对角线互相垂直；

生2：

剪下图形后打开，再两次沿对角线对折后折痕重合，说明两条对角线互相平分；

生3：

剪成一个等腰直角三角形，两条折痕相等，证明展开后两条对角线也相等。

师生交流后得出结论：

对角线判定法：

对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。

（这条判定定理刚好是正方形一条性质定理的逆定理）（板书）

师：

为什么可以这样判定？

生：

对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形又是菱形，对角线相等的平行四边形又是矩形，而菱形满足四条边相等，矩形满足四个角相等，因此这样的四边形是正方形。

（设计意图：

此环节让学生亲自动手实践，并结合所剪图形观察、判断、发现对角线的特征，从而正确得出结论。

培养学生的推理归纳及观察动手能力。

）

3、合作探究

课件出示：

已知:

平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，从下列条件中取出哪些条件后，可使平行四边形ABCD成为正方形。

（１）　ＡＢ＝ＡＤ；（一组邻边相等）（２）　ＡＣ＝ＢＤ；（对角线相等）

（３）　∠ＢＡＤ＝９０；（一个角是90°）（４）　ＡＣ⊥ＢＤ。

（对角线互相垂直）

师：

刚才我们学习了用文字表述的正方形的几种判定方法，现在我们改用几何符号语言来描述。

此问题的前提条件是什么？

（ABCD）从四个条件中任选一个条件可得到什么图形？

再选一个条件又可得到什么图形？

你想用刚才学过的哪一条判定定理来证明呢？

学生可讨论，也可独立思考，分组汇报结果。

师罗列后再整理归纳。

平行四边形

矩形菱形

（2）

（1）

（3）

（4）

正方形

如生1：

选条件

（2）可先得到矩形，再选条件

（1）可得到菱形，从而得到正方形。

生2：

选条件（4）可先得到菱形，再选条件（3）可得到矩形，从而得到正方形。

师：

出示课件归纳图，从图中可以发现，平行四边形加一个条件

（2）或（3）可变成矩形，再加一个条件

（1）或（4）可变成菱形，由矩形变菱形有四种方法，反之由菱形变矩形也有四种方法。

所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形。

（设计意图：

让学生自己参与观察、分析的过程亲自感受，总结出结论，实现学生主动参与、探究新知的目的。

）

4、归纳判定正方形的方法：

师结合板书矩形判定法和菱形判定法引导学生发现“矩形+菱形=正方形”。

可先证明四边形是矩形，再证是菱形；也可先证四边形是菱形，再证是矩形，从而证明既是矩形又是菱形的四边形是正方形。

（课件出示矩形和菱形演变成正方形的过程图）

矩形

正方形

菱形

（设计意图：

进一步理清学生思路，培养学生知识归纳和语言叙述能力，找到判定正方形的关键，使学生繁杂的思路归为一条主线。

）

师提问：

通过刚才的学习，你现在知道小方巾还需怎样才能验证是否是正方形了吗？

（用三角板的一个直角检验小方巾的某一个角是直角或者用直尺量一下两条对角线是否相等。

）（设计意图：

和课前引入的情境相呼应，同时解决了学生的疑惑。

）

5、请画出矩形、菱形、正方形和平行四边形的包含关系图。

（集合图）

师：

既然矩形、菱形、正方形三种特殊的平行四边形可以进行转化，现在我们来理顺他们之间的关系：

出示四者关系的集合图，学生口头回答将图形填入到合适的位置。

师：

既是矩形又是菱形的平行四边形才是正方形，所以正方形是两者的公共部分，也可以表示正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形。

（设计意图：

进一步明确矩形、菱形、正方形和平行四边形之间的从属关系，便于判定时进行判断。

）

6、巩固练习：

练习一：

判断题

（1）四个角都相等的四边形是正方形。

（×）

（2）四条边都相等的四边形是正方形。

（×）

（3）对角线相等的菱形是正方形。

（√）

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形。

（√）

（5）对角线垂直且相等的四边形是正方形。

（×）

（6）四边相等、有一个角是直角的四边形是正方形。

（√）

（7）正方形一定是矩形，矩形一定是正方形。

（×）

（8）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。

（√）

学生单独回答并说明判断的理由。

（设计意图：

检验学生对正方形判定的准确掌握的情况。

）

练习2：

在△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:

四边形CFDE是正方形。

学生结合课件上图分析已知和求证，并独立思考证明方法，在练习本上写一写推理过程，指名学生单独说出推理过程，要求有理有据、步骤完整。

如有说错，其他学生补充说明。

（练习2图）（练习3图）

（设计意图：

增强学生用数学语言叙述的水平，同时运用刚才所学判定正方形的方法解决问题，学以致用，使学生体会文字证明题的步骤和方法。

）

练习3、已知:

正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?

为什么?

（此题是机动题，根据课堂时间进行调控）

四、全课总结：

课件出示：

师：

（1）什么样的四边形能变成正方形？

（从边、角、对角线三个角度考虑）（想好的学生自己站起来回答）

（2）什么样的平行四边形能变成正方形？

（需添加两个条件）

生：

先证矩形，再证菱形正方形

或者先证菱形，再证矩形正方形

（3）什么样的矩形可变成正方形？

什么样的菱形可变成正方形？

（设计意图：

将所学知识形成知识网络，增强学生系统学习的能力。

）

五、拓展练习：

矩形ABCD中，四个内角的平分线组成四边形EMFN，判断四边形EMFN的形状,并说明原因。

（先口述推理依据，再写证明步骤）

（设计意图：

让学生体会数学的

应用价值，结合本课总目标中的

具体目标，增强应用，提高实践

能力。

）

六、结束寄语：

（学生齐读）B

1、严格性之于数学家，犹如道德之于人。

2、证明的规范性在于：

条理清晰，因果相应，言必有据，是初学证明者谨记和遵循的原则。

（设计意图：

此名言再次寄予学生以厚望，希望学生学会几何证明的方法，养成良好的论证推理习惯，增强逻辑思维能力。

）

七、板书设计：

正方形的判定

1、定义判定法：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形

（四条边相等）（四个角是直角）

叫做正方形。

2、矩形判定法：

有一组邻边相等的矩形是正方形。

定义演变

3、菱形判定法：

有一个角是直角的菱形是正方形。

简记：

矩形+菱形=正方形

4、对角线判定法：

两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

八、课后反思：

本节课是我在教人教版八年级下册学生时所上的一节校级示范课，整节课紧随新课堂教学理念，将课堂交给学生，让学生始终都在体验、观察、操作、感受、讨论、探究、论证、归纳总结的过程中磨练和成长。

让学生从和实际生活紧密结合的情境中进入课堂，感受数学知识和现实生活的紧密联系，带着问题去学习新知，充分激发了学生的好奇心和求知欲。

在整个教学设计过程中，学生将经历知识产生、形成的过程，体会类比、事物之间互相联系和学以致用的思想，实现学生自己动手、主动探究、合作交流的学习方式的转变；提升学生自主观察问题、分析问题、解决问题的能力。

本节课的设计体现了“学会学习、为终身学习做准备”的教育理念，突出学生在活动过程中的参与意识、探究方式、表达能力及合作交流意识，最大限度的实现学生的主体地位，使数学教学成为一种“过程”教学，让学生在数学活动中获得数学的思想方法、能力素质，同时体验数学的美感，和获得对数学的情感。

教师在整节课的活动中，一直扮演的是引导者、合作者、支持者和赞赏者的角色。

由于备课内容比较充分，总感觉有些环节没有时间去操作，本班学生的底子也比较差，所以每个环节都分析得比较仔细到位，学生学起来才不会感觉很吃力。