北师大版九年级上册数学同步练习第1章特殊平行4边形13正方形的性质与判定第1课时正方形的性质.docx

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北师大版九年级上册数学同步练习第1章特殊平行4边形13正方形的性质与判定第1课时正方形的性质

3　第1课时　正方形的性质

知识点1　利用正方形的性质求解与线段有关的问题

1．如图1－3－1，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为________．

图1－3－1

图1－3－2

2．如图1－3－2，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．

3．2017·广安如图1－3－3，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：

AF＝BE.

　图1－3－3

知识点2　利用正方形的性质求解与角有关的问题

4．如图1－3－4，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（　　）

A．10°B．12.5°C．15°D．20°

图1－3－4

图1－3－5

5．如图1－3－5，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，则∠DCE＝________°.

6．2017·怀化如图1－3－6，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．

（1）求证：

△ABE≌△DCE；

（2）求∠AED的度数．

　图1－3－6

知识点3　利用正方形的性质求解与面积有关的问题

7．若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（　　）

A．8B．4

C．8

D．16

图1－3－7

8．如图1－3－7，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．

9．如图1－3－8，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．

（1）求证：

△ADE≌△ABF；

（2）求△AEF的面积．

图1－3－8

知识点4　正方形对称性的应用

10．如图1－3－9，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C的坐标是（　　）

A．（1，1）B．（－1，－1）

C．（1，－1）D．（－1，1）

图1－3－9

图1－3－10

11.如图1－3－10，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．

12．如图1－3－11，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为（　　）

A．45°B．55°C．60°D．75°

图1－3－11

图1－3－12

13.如图1－3－12，正方形ABCD的边长为

，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．

14．如图1－3－13，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．

图1－3－13　　　

图1－3－14

15．如图1－3－14，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．

16．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.

求证：

AM⊥DF.

　图1－3－15

17．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.

（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1－3－16①），求证：

△AEG≌△AEF；

（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图1－3－16②），求证：

EF2＝ME2＋NF2.

图1－3－16

1．2

2.

－1

3．证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.

∵BF⊥CE，

∴∠BCE＋∠CBG＝90°.

∵∠ABF＋∠CBG＝90°，

∴∠BCE＝∠ABF.

在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，

∴△BCE≌△ABF（ASA），

∴AF＝BE.

4．C

5．22.5　

6．解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，

∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°，

∴∠ABE＝∠ECD＝30°.

在△ABE和△DCE中，AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，

∴△ABE≌△DCE（SAS）．

（2）∵BA＝BE，∠ABE＝30°，

∴∠BAE＝

×（180°－30°）＝75°.

∵∠BAD＝90°，

∴∠EAD＝90°－75°＝15°，

同理可得∠ADE＝15°，

∴∠AED＝180°－15°－15°＝150°.

7．A

8．2

9．解：

（1）证明：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，BC＝DC.

∵E，F分别为DC，BC的中点，

∴DE＝

DC，BF＝

BC，

∴DE＝BF.

在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠D＝∠B，DE＝BF，

∴△ADE≌△ABF（SAS）．

（2）由题知△ABF，△ADE，△CEF均为直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝

×4＝2，CE＝CF＝

×4＝2，

∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝

4×4－

×4×2－

×4×2－

×2×2＝6.

10．C

11．10　12.C

13．4

14．3cm

15．（0，21009）　

16．证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴OD＝OC.

又∵DE＝CF，

∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF.

在△AOE和△DOF中，AO＝DO，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，

∴△AOE≌△DOF（SAS），

∴∠OAE＝∠ODF.

∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，

∴∠ODF＋∠DEM＝90°，

即AM⊥DF.

17．证明：

（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，

∴AG＝AF，∠GAF＝90°.

∵∠EAF＝45°，

∴∠GAE＝∠GAF－∠EAF＝90°－45°＝45°，

即∠GAE＝∠EAF.

在△AEG和△AEF中，

∴△AEG≌△AEF（SAS）．

（2）把△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，如图，连接GM，则△ADF≌△ABG，

∴DF＝BG.

由

（1）知△AEG≌△AEF，

∴EG＝EF.

∵∠CEF＝45°，

∴△BME，△DNF，△CEF均为等腰直角三角形，

∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝

DF，

∴BE＝DF，

∴BE＝BM＝DF＝BG，

∴∠BMG＝45°，

∴∠GME＝45°＋45°＝90°，

∴EG2＝ME2＋MG2.

又∵EG＝EF，MG＝

BM＝

DF＝NF，

∴EF2＝ME2＋NF2.