29 函数与方程学案高考一轮复习.docx
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29函数与方程学案高考一轮复习
2014年高中数学一轮复习教学案
第二章函数、导数及其应用
第9节函数与方程
一．学习目标：
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
二．学习重、难点：
1．学习重点：
会函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；
2．学习难点：
能够用二分法求相应方程的近似解.
三．学习方法：
讲练结合
四．自主复习：
1．函数的零点
（1）定义
对于函数y＝f（x）（x∈D），把使_________成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．
（2）函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：
方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与______有交点⇔函数y＝f（x）有_______．
（3）函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么函数y＝f（x）在区间_______内有零点，即存在c∈（a，b），使得________，这个___也就是方程f（x）＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象与零点的关系
3.二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且_____________的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间_________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
五．复习前测：
1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
2．函数f（x）＝
的零点有（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
3．函数f（x）＝lgx－
的零点所在的区间是（ ）
A．（0,1]B．（1,10]
C．（10,100]D．（100，＋∞）
4．已知函数f（x）＝x2＋x＋a在区间（0,1）上有零点，则实数a的取值范围是__________．
5．用二分法求函数y＝f（x）在区间（2,4）上的近似解，验证f
（2）·f（4）<0，给定精确度ε＝0.01，取区间（2,4）的中点x1＝
＝3，计算得f
（2）·f（x1）<0，则此时零点x0∈__________（填区间）．
要点点拨：
1．函数零点的理解
函数的零点是指方程f（x）＝0的根，也可以认为函数f（x）与x轴交点的横坐标，但不是指交点（x，f（x））．
2．函数零点具有的性质
对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：
（1）当它通过零点（不是偶次零点）时，函数值变号；
（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
3．零点存在定理的零点个数
（1）在（a，b）上存在零点（此处的零点不仅指变号零点），个数不定，若仅有变号零点，则有奇数个．
（2）若函数在（a，b）上有零点，不一定有f（a）·f（b）<0.
六．复习过程：
题型一：
确定函数零点所在的区间
[例1]
（1）函数f（x）＝（
）x－2－x3的零点所在的区间为（ ）
A．（0,1） B．（1,2）
C．（2,3）D．（3,4）
（2）函数f（x）＝ln（x－2）－
的零点所在的大致区间是（ ）
A．（1,2）B．（2,3）
C．（3,4）D．（4,5）
[思路点拨]
（1）根据函数零点的存在性定理，只需验证选项中区间端点值是否异号即可作出判断．
（2）根据所给区间把不在定义域中的区间去掉，然后把所给区间的两个端点的函数值求出，再判断．
[规律总结]
（1）判断函数零点所在的区间，当方程f（x）＝0无法解出或函数y＝f（x）的图象不易作出时，常用函数零点存在的判定定理判断．
（2）判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题．
变式训练1
函数f（x）＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是（ ）
A．（－2，－1）B．（－1,0）
C．（0,1）D．（1,2）
题型二：
函数零点个数的判定
[例2] （2012·天津卷）函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0,1）内的零点个数是（ ）
A．0 B．1
C．2D．3
[思路点拨] 把求函数f（x）的零点个数问题转化为函数y1＝2x－2与y2＝－x3的图象在区间（0,1）内的交点个数问题，作出函数图象结合区间端点值即可判断结果．
[规律总结] 在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运用，如本例直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题第一反应就是转化已知函数为熟悉的函数再进行数形结合求解，实际上也是在考查考生的转化与化归的能力．对于此类问题还要注意灵活运用函数的性质，如函数的单调性、奇偶性等．
变式训练2
（2013·郑州模拟）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0,1]时，f（x）＝x，则函数y＝f（x）－log3|x|的零点个数是（ ）
A．多于4B．4
C．3D．2
题型三：
二分法的应用
[例3] 若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数值如下：
f
（1）＝－2
f（1.5）＝0.625
f（1.25）＝－0.984
f（1.375）＝－0.260
f（1.4375）＝0.162
f（1.40625）＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确度0.1）为__________．
[思路点拨] 本题要求用二分法求函数的零点，题设中给出了六个函数值，所以在解题方法上，可结合根的存在性定理来判断．
[规律总结] 利用二分法求近似解需注意的问题
（1）第一步中：
①区间长度尽量小；②f（a）、f（b）的值比较容易计算且f（a）·f（b）<0；
（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．
变式训练3
下列是函数f（x）在区间[1,2]上一些点的函数值.
x
1
1.25
1.375
1.4065
1.438
f（x）
－2
－0.984
0.260
－0.052
0.165
x
1.5
1.625
1.75
1.875
2
f（x）
0.625
1.982
2.645
4.35
6
由此可判断：
方程f（x）＝0的一个近似解为__________．（精确度0.1，且近似解保留两位有效数字）
题型四：
函数零点的应用
[例4] 设函数f（x）＝log2（2x＋1），g（x）＝log2（2x－1），若关于x的函数F（x）＝g（x）－f（x）－m在[1,2]上有零点，求m的取值范围．
[规律总结] 已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路：
（1）直接法：
直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合：
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．
变式训练4
定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），当x∈[0,2]时，f（x）＝（
）|x－m|.
（1）求m的值；
（2）设g（x）＝log2x，证明：
方程f（x）＝g（x）只有一个实数解．
创新探究——数形结合思想在求函数零点中的应用
[例题] （2011·山东高考）已知函数f（x）＝logax＋x－b（a>0，且a≠1）．当2
链接高考：
1．（2012·湖北）函数f（x）＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2011·山东）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．（2011·陕西）函数f（x）＝
－cosx在[0，＋∞）内（ ）
A．没有零点B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点
七．反馈练习：
1．已知函数f（x）＝
则函数f（x）的零点个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
2．为了求函数f（x）＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f（x）的部分对应值（精确度0.01），如下表所示：
x
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
f（x）
1.16
1.00
0.68
0.24
－0.24
－0.70
－1.00
则函数f（x）的一个零点所在的区间是（ ）
A．（0.6,1.0）B．（1.4,1.8）
C．（1.8,2.2）D．（2.6,3.0）
3．已知a是函数f（x）＝2x－log
x的零点，若0A．f（x0）＝0B．f（x0）>0
C．f（x0）<0D．f（x0）的符号不确定
4．（2013·西安模拟）函数f（x）＝|x－2|－lnx在定义域内的零点个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
5．函数f（x）＝3cos
－log
x的零点的个数是（ ）
A．2B．3
C．4D．5
6．方程x2＋
x－1＝0的解可视为函数y＝x＋
的图象与函数y＝
的图象交点的横坐标，若x4＋ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）所对应的点（xi，
）（i＝1,2，…，k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是（ ）
A．RB．∅
C．（－6,6）D．（－∞，－6）∪（6，＋∞）
7．“a＝
”是“函数f（x）＝ax2－x＋1只有一个零点”的__________条件．
8．（2013·西安五校联考）函数f（x）＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是__________．
9．设函数f（x）＝x|x|＋bx＋c，给出下列命题：
①b＝0，c>0时，方程f（x）＝0只有一个实数根；
②c＝0时，y＝f（x）是奇函数；
③方程f（x）＝0至多有两个实根．
上述三个命题中所有正确命题的序号为__________．
10．
（1）求f（x）＝x3－2x2－x＋2的零点；
（2）判定f（x）＝
－x，在（0,1）内是否有零点；
（3）判定f（x）＝lnx＋2x－6的零点个数．
11．设函数f（x）＝（
）|x－1|，g（x）＝log2x（x>0），试判定函数φ（x）＝f（x）－g（x）在（0,2]内零点的个数．
12．已知集合P＝[
，2]，函数y＝log2（ax2－2x＋2）的定义域为Q.
（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；
（2）若方程log2（ax2－2x＋2）＝2在[
，2]内有解，求实数a的取值范围．
八．思维总结：
九．自我评价：
1．你对本章的复习的自我评价如何？
A．很好B．一般C．不太好
2．你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞？
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