人教版八年级数学下册第17章《实际问题与反比例函数》教学设计Word文件下载.docx
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[师]有关反比例函数的表达式,图像的特征我们都研究过了,那么,我们学习它们的目的是什么呢?
[生]是为了应用.
[师]很好.学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题.究竟反比例函数能解决一些什么问题呢?
本节课我们就来学一学.
问题:
某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务的情境。
问题思考:
(1)请你解释他们这样做的道理。
(2)当人和木板对湿地的压力一定时,随着木板面积S(
)的变化,人和木板对地面的压强P(Pa)将如何变化?
(3)如果人和木板对湿地的压力合计600N,那么:
①用含S的代数式表示p,p是S的反比例函数吗?
为什么?
②当木板面积为0.2
时,压强是多少?
③如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大?
④在直角坐标系中,作出相应的函数图象。
⑤请利用图象对
(2)和(3)作出直观解释,并与同伴交流。
学生分四个小组进行探讨、交流.领会实际问题的数学意义,体会数与形的统一.教师可以引导、启发学生解决实际问题.
首先要根据题意分析实际问题中的两个变量,然后看这两个变量之间存在的关系,从而去分析它们之间的关系是否为反比例函数关系,若是则可用反比例函数的有关知识去解决问题.
在此活动中,教师应重点关注学生:
①能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题;
②能积极地与小组成员合作交流;
③是否有强烈的求知欲.
从此活动中,我们可以发现,生活中存在着大量的反比例函数的现实.从这节课开始我们就来学习“17.2实际问题与反比例函数”,你会发现有了反比例函数,很多实际问题解决起来会很方便.
(二)讲授新课
例1市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.
(1)储存室的底面积S(单位:
m2)与其深度d(单位:
m)有怎样的函数关系?
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2,施工队施工时应该向下挖进多深?
(3)当施工队按
(2)中的计划挖进到地下15m时,碰上了坚硬的岩石,为了节约建设资金,公司临时改变计划把储存室的深改为15m,相应的,储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数).
先由学生独立思考,然后小组内合作交流,教师和学生最后合作完成此活动。
让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段,让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系.而关键是充分运用反比例函数分析实际情况,建立函数模型,并且利用函数的性质解决实际问题.
(三)巩固提高
练习1:
如下图,某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为l升(1升=1立方分米)的圆锥形漏斗.
(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?
(2)如果漏斗口的面积为100厘米2,则漏斗的深为多少?
由两位学生板演,其余学生在练习本上完成,教师可巡视学生完成情况,对“学困生”要提供一定的帮助。
让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段,让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,更进一步激励学生学习数学的欲望.
练习2:
(1)已知某矩形的面积为20cm2,写出其长y与宽x之间的函数表达式;
(2)当矩形的长为12cm时,求宽为多少?
当矩形的宽为4cm,求其长为多少?
(3)如果要求矩形的长不小于8cm,其宽至多要多少?
由学生独立完成,教师根据学生完成情况及时给予评价.
进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程,即将实际问题置于已有的知识背景之中,然后用数学知识重新理解这是什么?
可以看成什么?
(四)小结
本节课是用函数的观点处理实际问题,并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题,而解决这些问题,关键在于分析实际情境,建立函数模型,并进一步明确数学问题,将实际问题置于已有的知识背景之中,用数学知识重新解释这是什么?
可以是什么?
逐步形成考察实际问题的能力,在解决问题时,应充分利用函数的图象,渗透数形结合的思想.
(五)板书设计
实际问题与反比例函数
(一)
实际问题与反比例函数教学设计
(二)
本节课是继续用函数的观点处理实际问题,进一步分析实际情境,建立函数模型,并进一步明确数学问题,将实际问题置于已有的知识背景之中,用数学知识重新解释是什么?
可以看作什么?
逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时不仅要充分利用函数的图象,渗透数形结合的思想,也要注意函数不等式、方程之间的联系.
2.能综合利用工程中工作量,工作效率,工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题.
1.经历分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数的模型,进而解决问题的过程.
1.积极参与交流,并积极发表意见.
2.体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.
多媒体课件
某商场出售一批进价为2元的贺卡,在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系:
x(元)
3
4
5
6
y(个)
20
15
12
10
(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x,y)的对应点;
(2)猜测并确定y与x之间的函数关系式,并画出图象;
(3)设经营此贺卡的销售利润为W元,试求出w与x之间的函数关系式,若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个,请你求出当日销售单价x定为多少元时,才能获得最大日销售利润?
学生亲自动手操作,并在小组内合作交流.
教师巡视学生小组讨论的结果.
在此活动中,教师应重点关注:
①学生动手操作的能力;
②学生数形结合的意识;
③学生数学建模的意识;
④学生能否大胆说出自己的见解,倾听别人的看法.
例2码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:
吨/天)与卸货时间t(单位:
天)之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物?
学生先独立思考,然后小组交流合作.
教师应鼓励学生运用数形结合,用多种方法来思考问题,充分利用好方程、不等式、函数三者之间的关系,在此活动中,教师应重点关注:
①学生能否自己建构函数模型;
②学生能否将函数、方程、不等式的知识联系起来;
③学生面对困难,有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志.
通过小组讨论得出以下结果
解:
(1)设轮船上的货物总量为k吨,则根据已知条件有k=3×
80=240。
所以v与t的函数式为
(2)三种方法:
①利用不等式;
②借助于图像;
③利用方程。
(三)巩固练习
一辆汽车往返于甲、乙两地之间,如果汽车以50千米/时的平均速度从甲地出发,则经过6小时可到达乙地.
(1)甲、乙两地相距多少千米?
(2)如果汽车把速度提高到v(千米/时)那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化?
(3)写出t与v之间的函数关系式;
(4)因某种原因,这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地,则此时汽车的平均速度至少应是多少?
(5)已知汽车的平均速度最大可达80千米/时,那么它从甲地到乙地最快需要多长时间?
先由学生独立完成,后在小组内讨论交流.
本题可以通过计算解决以上问题,也可以根据函数的图象对问题进行解释,通过两种方法的比较,可以加深对这类问题的理解.
本节课是继续用函数的观点处理实际问题,关键在于分析实际情境,建立函数模型,并进一步明确数学问题,将实际问题置于已有的知识背景之中,用数学知识重新解释这是什么?
可以看到什么?
逐步形成考察实际问题的能力,在解决问题时不仅要充分利用函数的图象,渗透数形结合的思想,也要注意函数不等式、方程之间的联系.
实际问题与反比例函数
(二)
实际问题与反比例函数教学设计(三)
物理学中的很多量之间的变化是反比例函数关系,本节借助反比例函数的图像和性质解决一些物理学中的问题,即跨学科综合应用。
2.能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题.
2.体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段,认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.
掌握从物理问题中建构反比例函数模型.
从实际问题中寻找变量之间的关系,关键是充分运用所学知识分析物理问题,建立函数模型,教学时注意分析过程,渗透数形结合的思想.
在物理学中,有很多量之间的变化是反比例函数的关系,因此,我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题,这也称为跨学科应用.下面的例子就是其中之一.
例1在某一电路中,保持电压不变,电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培.
(1)求I与R之间的函数关系式;
(2)当电流I=0.5时,求电阻R的值.
可由学生独立思考,领会反比例函数在物理学中的综合应用.
教师应给“学困生”一点物理学知识的引导.
师:
“给我一个支点,我可以把地球撬动.”这是哪一位科学家的名言?
这里蕴涵着什么样的原理呢?
生:
这是古希腊科学家阿基米德的名言.
是的.公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”;
若两物体与支点的距离反比于其重量,则杠杆平衡,通俗一点可以描述为:
阻力×
阻力臂=动力×
动力臂(如下图)
下面我们就来看一例子.
例3小伟欲用撬棍橇动一块大石头,已知阻力和阻力臂不变,分别为1200牛顿和0.5米.
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?
当动力臂为1.5米时,撬动石头至少需要多大的力?
(2)若想使动力F不超过题
(1)中所用力的一半,则动力臂至少要加长多少?
先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题.
教师可引导学生揭示“杠杆平衡”与“反比例函数”之间的关系.
教师在此活动中应重点关注:
①学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆平衡的条件去理解实际问题,从而建立与反比例函数的关系;
②学生能否面对困难,认真思考,寻找解题的途径;
③学生能否积极主动地参与数学活动,对数学和物理有着浓厚的兴趣。
(1)根据:
“杠杆定律”有
F·
l=1200×
0.5,得
当l=1.5时
因此,撬动石头至少需要400牛顿的力。
(2)可用三种方法来求解
①方程②不等式③函数图像
思考:
在我们使用橇棍时,为什么动力臂越长越省力?
小组讨论,利用反比例函数的知识来解答。
补充:
某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿度,本年度计划将电价调至0.55~0.75元之间,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)元成反比例.又当x=0.65元时,y=0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若每度电的成本价0.3元,电价调至0.6元,请你预算一下本年度电力部门的纯收入多少?
由学生先独立思考,然后小组内讨论完成。
师生共析:
(1)由题目提供的信息知y与(x-0.4)之间是反比例函数关系,把x-0.4看成一个变量,于是可设出表达式,再由题目的条件x=0.65时,y=0.8得出字母系数的值;
(2)纯收入=总收入-总成本.
你对本节内容有哪些认识?
重点掌握利用函数关系解实际问题,首先列出函数关系式,利用待定系数法求出解析式,再根据解析式解得.
实际问题与反比例函数(三)
1.
2.用反比例函数的知识解释:
在我们使用撬棍时,为什么动力臂越长越省力?
设阻力为F1,阻力臂长为l1,所以F1×
l1=k(k为常数且k>
0).动力和动力臂分别为F,l.则根据杠杆定理:
l=k即
(k>
0且k为常数).
由此可知F是l的反比例函数,并且当k>
0时,F随l的增大而减小.
实际问题与反比例函数教学设计(四)
本节课进一步学习了用函数的观点处理实际问题,特别是利用函数的性质,由自变量x的取值范围,决定函数y的值的范围,提高用函数观点解决实际问题的能力,在解决问题时,又一次利用函数图象渗透了数形结合的思想.
2.能综合利用物理电学知识,反比例函数的知识解决一些实际问题.
1.继续经历分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数的模型,进而解决问题.
2.体会数学与物理的密切联系,增强应用意识,提高运用代数方法解决问题的能力.
掌握从物理电学问题中建构反比例函数的模型.
从实际问题中寻找变量之间的关系,关键还是充分运用所学的知识分析物理中的电学问题,建立函数模型,教学时注意分析过程,渗透数形结合的思想.
蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流I(A)与电阻R(
)之间的函数关系如下图所示.
探究:
(1)蓄电池的电压为多少?
你能写出这一函数表达式吗?
(2)完成下表,并回答问题:
如果蓄电池为电源的用电器限制电流不得超10A,那么用电器的可变电阻可控制在什么范围内?
R/
7
8
9
I/A
让学生充分利用图象、表格、函数关系式这三种函数的表示形式研究两个变量之间的关系.特别是三种形式的相互转化.同时,进一步体会物理与反比例函数之间的关系.
共同分析得出:
图形所提供的信息包括:
①直观上看,I与R之间的关系可能是反比例函数关系,利用相关知识IR=U(U为定值)得到确认;
②由图象上点A的坐标可知,当用电器的电阻为9
时,电流为4A。
(1)根据图象可得当用电器的电阻为9
时,电流为4A,因为IR=U(U为定值).
所以蓄电池的电压为U=9×
4=36(V).
所以电流I与电阻R之间的函数关系为
即I与R两个物理量成反比例函数关系.
(2)利用I与R两个物理量之间的关系可填写下表:
从左往右依次为:
12,9,
,
如果以此蓄电池为电源的用电器,限制电流不得超过10A,即I≤10A,所以
,R≥3.6(
).
因此,用电器的可变电阻应控制在大于等于3.6
的范围内.
我们还可以综合运用表格、图象来考察此问题,这样我们就可以形成对反比例函数较完整的认识.
无论从图象还是从表格,我们都能观察出反比例函数
在第一象限I随R的增大而减小.当I=10A时,R=3.6
.因此当限制电流不超过10A时,用电器的可变电阻应是不小于3.6
的。
下面,我们再来看一个物理方面的问题.
电学知识告诉我们,用电器的输出功率P(瓦)、两端的电压U(伏)及用电器的电阻R(欧姆)有如下关系:
PR=U2.这个关系也可写为P=_______,或R=_______.
例4一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110~220欧姆,已知电压为220伏,这个用电器的电路图如下图所示。
(1)输出功率P与电阻R有怎样的函数关系?
(2)用电器输出功率的范围多大?
可先由学生独立思考,领会反比例函数在物理学中的综合应用,教师应不断地引导学生完成.
由PR=U2,得
(1)根据电学知识,当U=220时,有
①
即输出功率P是电阻R的反比例函数,函数式为
。
(2)从①式可以看出,电阻越大,功率越小.
把电阻的最小值R=110代入①式,得到输出功率的最大值:
把电阻的最大值R=220代入①式,则得到输出功率的最小值:
因此用电器的输出功率在220瓦到440瓦之间.
我认为可以作反比例函数
的图象,从图象中也可以看出,如下图中(反比例函数
的图象过(110,440),(220,220).
观察图象可知,用电器输出的功率在220~440瓦之间。
结合例4,想一想为什么收音机的音量,台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节?
音量、亮度及转速随_______的减小而增大,随________的增大而减小.
音量、亮度、转速反应的都是输出功率的大小,在电压一定的情况下,电阻的改变,会引起输出功率的变化.从例4我们知道,在电学中,输出功率P与电阻R成反比例函数关系,所以音量、亮度及转速会随电阻的减小而增大,随电阻的增大而减小.
利用反比例函数可以解决实际生活中的很多问题,大大地方便我们的生活.
某学校冬季储煤120吨,若每天用煤x吨,经过y天可以用完.
(1)请写出y与x之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象;
(3)当每天的用煤量为1.2~1.5吨时这些煤可以用的天数在什么范围?
注意自变量的取值范围。
由学生独立完成,教师巡视完成的情况.
利用函数观点处理实际问题,理解数形结合的数学思想方法.
实际问题与反比例函数(四)