导数及偏导数计算.docx
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导数及偏导数计算
第四讲导数及偏导数计算
实验目的
1•进一步理解导数概念及其几何意义.
2.学习matlab的求导命令与求导法.
实验内容
1.学习matlab命令.
建立符号变量命令sym和syms调用格式：
x=sym（'x'）,建立符号变量x；
symsxyz,建立多个符号变量x,y,z；
matlab求导命令diff调用格式：
diff（函数'）,求,1的一阶导数'」；
diff（函数「，m,求f:
的n阶导数1（n是具体整数）;
3f
diff（函数m，变量名）,求.u：
对二的偏导数二：
;
竺
diff（函数,
变量名-,n）,求“「对•:
的n阶偏导数T；
matlab求雅可比矩阵命令jacobian,调用格式：
jacobian（［函数；；函数函数「］,［=］）给出矩阵:
耐&说苍辭瓦a/-创曲一勿册一创附&勿-滋尿&
2•导数概念.
导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率.
（1）点导数是一个极限值.
例3.1.设'，用定义计算丿；.
解:
「二｛在某一点.的导数定义为极限：
..Ax0+Ax）-/（xo）
lim
山尤」dAI
我们记：
丄工，输入命令:
symshlimit（（exp（0+h）-exp（0））/h,h,0）
得结果:
ans=1.可知」—
（2）导数的几何意义是曲线的切线斜率.
例3.2.画出白；匚在―门处广-I）的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势.
解:
在曲线，「上另取一点"TJ'p，'，贝打口的方程是：
y-1/-1
工■'”.即
丿一1
y=―:
—工十1
h
取：
…二丄1/.<,分别作出几条割线.
h=[3,2,1,0.1,0.01];a=（exp（h）-1）./h;x=-1:
0.1:
3;
plot（x,exp（x）,'r.'）;holdon
fori=1:
5;
plot（h（i）,exp（h（i））,'r.'）
plot（x,a（i）*x+1）
end
axissquare
作出【=在二一处的切线丁―-1
plot（x,x+1,'r.'）
从图上看，随着工与厂越来越接近，割线□I越来越接近曲线的割线.3•求一元函数的导数.
（1）」「〔的一阶导数.
y=
例3.3.求.亠的导数.解:
打开matlab指令窗，输入指令：
>>symsx;dy_dx=diff（sin（x）/x）
得结果：
dy_dx=cos（x）/x-sin（x）/xA2.
matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符,在这里我们用dy_dx表示@
例3.4.求fl工厂二的导数.
解：
输入命令：
dy_dx=diff（log（sin（x）））
得结果：
dy_dx=cos（x）/sin（x）.
在matlab中，函数「二用log（x）表示，而log10（x）表示■尹
例3.5.求-If二”的导数.
解：
输入命令:
dy_dx=diff（（xA2+2*x）A20）.
得结果：
dy_dx=20*（xA2+2*x）A19*（2*x+2）.
注意二-输入时应为2*x.例3.6.求匚=厂的导数.解：
输入命令:
dy_dx=diff（xAx）.
得结果：
dy_dx=xAx*（log（x）+1）.
利用matlab命令diff一次可以求出若干个函数的导数.例3.7.求下列函数的导数：
2
2直=加銘+2coj2x
4血=Mnx
解：
输入命令：
a=diff（[sqrt（xA2-2*x+5）,cos（x^2）+2*cos（2*x）,4八（sin（x））,log（log（x））]）・
得结果：
a=
[1/2/（xA2-2*x+5）A（1/2）*（2*x-2）,-2*sin（xA2）*x-4*sin（2*x）,
4Asin（x）*cos（x）*log（4）,1/x/log（x）].
dy1_dx=a
（1）
dy1_dx=1/2/（xA2-2*x+5）A（1/2）*（2*x-2）.
dy2_dx=a
（2）
dy2_dx=-2*sin（xA2）*x-4*sin（2*x）.
dy3_dx=a（3）
dy3_dx=4Asin（x）*cos（x）*log（4）.
dy4_dx=a（4）
dy4_dx=1/x/log（x）.
a（i）表示向量a的
由本例可以看出，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的，第i个分量.
（2）参数方程所确定的函数的导数.
{
X=x（t）（
尸叹）确定函数Kh）,则B的导数£例3.8.设i〉—小’…；，求’
解：
输入命令：
dx_dt=diff（a*（t-sin（t）））;dy_dt=diff（a*（1-cos（t）））;dy_dx=dy_dt/dx_dt.
得结果：
dy_dx=sin（t）/（1-cos（t））.
其中分号的作用是不显示结果.4.求多元函数的偏导数.例3.9.设：
厂求u的一阶偏导数.解：
输入命令:
diff（（xA2+yA2+zA2）A（1/2）,x）.
得结果：
ans=1/（xA2+yA2+zA2）A（1/2）*x.
在命令中将末尾的x换成y将给出y的偏导数：
ans=1/（xA2+yA2+zA2）A（1/2）*y.
也可以输入命令:
jacobian（（xA2+yA2+zA2）A（1/2）,[xy]）.
得结果：
ans=[1/（xA2+yA2+zA2）A（l/2）*x,1/化八2+丫八2+北八2）八（1/2）*丫]
fduSu\
给出矩阵-丄—例3.10.求下列函数的偏导数：
zi=arctff
1.
2d’
解：
输入命令：
diff（atan（y/x）.
得结果：
ans=-y/xA2/（1+yA2/xA2）.
输入命令:
diff（atan（y/x）,y）.
得结果：
ans=1/x/（1+yA2/xA2）.
输入命令:
diff（xAy,x）.
得结果：
ans=xAy*y/x.
输入命令:
diff（xAy,y）.
得结果：
ans=xAy*log（x）.
使用jacobian命令求偏导数更为方便.输入命令:
jacobian（[atan（y/x）,xAy],[x,y]）.
得结果:
ans=[-y/xA2/（1+yA2/xA2）,1/x/（1+yA2/xA2）]
[xAy*y/x,xAy*log（x）].
5•求高阶导数或高阶偏导数.例3.11设：
"八，求.•'-f.解:
输入指令：
diff（xA2*exp（2*x）,x,20）.
得结果：
ans=
99614720*exp（2*x）+20971520*x*exp（2*x）+1048576*xA2*exp（2*x）
d2z宛
例3.12■设牡=兀&一3屮十2工習,求ftc上阿尹阿解:
输入命令:
diff（xA6-3*yA4+2*xA2*yA2,x,2）
d2z
可得到二一：
ans=30*xA4+4*yA2.
将命令中最后一个x换为y得
ans=-36*yA2+4*xA2.
输入命令:
diff（diff（xA6-3*yA4+2*xA2*yA2，x），y）
d2z
可得圧芒＜:
ans=8*x*y
同学们可自己计算九比较它们的结果.
注意命令:
diff（xA6-3*yA4+2*xA2*yA2,x,y），是对y求偏导数，不是求
6•求隐函数所确定函数的导数或偏导数
du
岂—
例3.13.设「亠「一一•一，求八「解“；计-'匸，先求二，再求壮输入命令:
df_dx=diff（log（x）+exp（-y/x）-exp
（1）,x）
得到上:
:
df_dx=1/x+y/xA2*exp（-y/x）.
输入命令:
df_dy=diff（log（x）+exp（-y/x）-exp
（1）,y）
得到i；：
df_dy=-1/x*exp（-y/x）
输入命令:
dy_dx=-df_dx/df_dy
可得所求结果：
dy_dx=-（-1/x-y/xA2*exp（-y/x））*x/exp（-y/x）.
dz色
例3.14■设川：
=IV-，求二，'「
解：
.'■■：
..■..■■；=：
T：
JIn-•=:
-f■
输入命令：
a=jacobian（sin（x*y）+cos（y*z）+tan（z*x）,[x,y,z]）
可得矩阵I皿「
a=
[cos（x*y）*y+（1+tan（z*x）A2）*z,cos（x*y）*x-sin（y*z）*z,-sin（y*z）*y+（1+tan（z*x）A2）*x].
输入命令:
dz_dx=-a
（1）/a（3）
得：
dz_dx=
（-cos（x*y）*y-（1+tan（z*x）A2）*z）/（-sin（y*z）*y+（1+tan（z*x）A2）*x）输入命令:
dz_dy=-a
（2）/a（3）
得：
dz_dy=
（-cos（x*y）*x+sin（y*z）*z）/（-sin（y*z）*y+（1+tan（z*x）A2）*x）
练习
1.求下列函数的导数.
⑵y=xsinxInx
y*xt）（1-1）
（1）x
y=ln（x•.x2a2）
x=In（1+t2）
y=t-arctgt
y=2sin24^
⑶X2⑷
2.求下列参数方程所确定的函数的导数
3.
（1）"=4t⑵
3.求下列隐函数的导数•
‘X=t4
4.设y=excosx，求y（4）
5.验证y=eXsinx满足关系式
y_2y2y=0
6.求下列函数的偏导数.
（1）
z=x2sin（xy）
7.设u=x|n（xy），求；x2，
:
：
2uf2ucy2c^cy
L、
czcz
8.求下列多元隐函数的偏导数：
：
x'：
：
y.
（1）
cos2xcos2ycos2z=1⑵
ez二xyz
9.证明函数u
二In...（X-a）2（y-b）2（a,b为常数）满足拉普拉斯方程：
-：
2u
ex2
（提示：
对结果用simplify
"U"
-y
化简）
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