导数.docx

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导数

导函数总复习

导数定义及应用

导数的概念

（1）f（x）在x＝x0处的导数就是f（x）在x＝x0处的瞬时变化率，记作：

y′|x＝x0或f′（x0），

即f′（x0）＝

.

（2）当把上式中的x0看做变量x时，f′（x）即为f（x）的导函数，简称导数，即y′＝f

导数的几何意义

函数f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率k＝f′（x0），切线方程为y-y0＝f′（x0）（x-x0）．

基本初等函数的导数公式

（1）C′＝0（C为常数）；　

（2）（xn）′＝nxn-1（n∈Q*）；

（3）（sinx）′＝cosx；　　（4）（cosx）′＝-sinx；

（5）（ax）′＝axlna；　　（6）（ex）′＝ex；

（7）（logax）′＝

；　　（8）（lnx）′＝

．

两个函数的四则运算的导数

若u（x），v（x）的导数都存在，则

（1）（u±v）′＝u′±v′；

（2）（u·v）′＝u′v+uv′；

（3）（

）′＝

（v≠0）；（4）（cu）′＝cu′（c为常数）．

复合函数的导数

设u＝g（x）在点x处可导，则复合函数y＝f[g（x）]在点x处可导，且f′（x）＝f′（u）·u′x．

6．（2016·新课标全国Ⅲ，理）已知f（x）为偶函数，当x<0时，f（x）＝ln（-x）+3x，则曲线y＝f（x）在点（1，-3）处的切线方程是________．

一、导数的概念

1.设f（x）＝x3-8x，则

＝____；

＝____；

＝________．

题型二　导数的基本运算

求下列函数的导数．

（1）f（x）＝（x3+1）（2x2+8x-5）；

（2）f（x）＝

+

；

（3）f（x）＝

；

（4）f（x）＝

；

（5）f（x）＝cos（3x2-

）．

导数的计算方法

（1）连乘积形式：

先展开化为多项式的形式，再求导．

（2）分式形式：

观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．

（3）根式形式：

先化为分数指数幂的形式，再求导．

（4）三角形式：

先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．

（5）复合函数：

确定复合关系，由外向内逐层求导．

题型三　导数的几何意义（微专题）

求曲线的切线方程

由已知曲线y＝

x3+

.

（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；

（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；

（3）求满足斜率为1的曲线的切线方程．

求曲线的切线方程的两种类型

（1）在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：

求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．

求曲线的切点坐标或参数值

（2）（2016·新课标全国Ⅱ，理）若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝________．

（2）（2015·新课标全国Ⅱ）已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝________．

函数的单调性

（1）设函数y＝f（x）在某个区间内可导，若f′（x）>0，则f（x）为增函数；若f′（x）<0，则f（x）为减函数．

（2）求可导函数f（x）单调区间的步骤：

①确定f（x）的定义域；

②求导数f′（x）；

③令f′（x）>0（或f′（x）<0），解出相应的x的范围；

④当f′（x）>0时，f（x）在相应区间上是增函数，当f′（x）<0时，f（x）在相应区间上是减函数．

2．若函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函数，则函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像可能是（　　）

3．函数f（x）＝1+x-sinx在（0，2π）上是（　　）

A．增函数

B．减函数

C．在（0，π）上增，在（π，2π）上减

D．在（0，π）上减，在（π，2π）上增

4．若y＝x+

（a＞0）在[2，+∞）上是增函数，则a∈________．

题型一　求函数的单调区间

（3）f（x）＝4ex（x+1）-x2-4x；

（4）f（x）＝

.

题型二　讨论函数的单调性

已知函数f（x）＝x-

+a（2-lnx），a>0.讨论f（x）的单调性．

题型三　求参数的取值范围

已知函数f（x）＝x3+ax2+1，a∈R.

（1）讨论函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在区间（-

，0）内是减函数，求a的取值范围；

（3）若函数f（x）的单调减区间是（-

，0），求a的值.

函数在某区间上的单调性的讨论

（1）在区间内f′（x）>0（或f′（x）<0）是函数f（x）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件．

（2）可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是：

∀x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任何子区间内都不恒为零．

（3）由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，方程化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立问题．要注意“＝”能否取到

题型四函数在某区间上的单调性的讨论

（1）已知函数g（x）＝

x3-

x2+2x+1，若g（x）在区间（-2，-1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

（2）（2016·课标全国Ⅰ，文）若函数f（x）＝x-

sin2x+asinx在（-∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）

A．[-1，1]　　　　B．[-1，

]C．[-

，

]D．[-1，-

]

注意：

若函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递增，则f′（x）≥0，且在（a，b）的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递减，则f′（x）≤0，且在（a，b）的任意子区间，等号不恒成立．

构造函数

f（x）为定义在R上的可导函数，且f′（x）>f（x），对任意正实数a，则下列式子成立的是（　　）

A.f（a）eaf（0）C．f（a）<

D．f（a）>

若函数f（x）的定义域为R，且满足f

（2）＝2，f′（x）>1，则不等式f（x）-x>0的解集为________．

设a>0，b>0，e是自然对数的底数．则（　　）

A．若ea+2a＝eb+3b，则a>b

B．若ea+2a＝eb+3b，则a

C．若ea-2a＝eb-3b，则a>b

D．若ea-2a＝eb-3b，则a

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足

xf′（x）+f（x）≤0.对任意正数a，b，若a

A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b）D．bf（b）≤f（a）

函数的极值

（1）设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）__<__f（x0），那么f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0）；如果对x0附近的所有的点，都有f（x）__>__f（x0），那么f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0）．极大值与极小值统称为极值．

（2）当函数f（x）在x0处连续时，判别f（x0）是极大（小）值的方法：

如果x__0，x>x0有f′（x）__<__0，那么f（x0）是极大值；

如果xx0有f′（x）__>__0，那么f（x0）是极小值．

求可导函数f（x）极值的步骤

（1）求导数f′（x）；

（2）求方程f′（x）＝0的根；

（3）检验f′（x）在方程f′（x）＝0的根左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f（x）在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f（x）在这个根处取得极小值

函数的最值的概念

设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，函数f（x）在[a，b]上一切函数值中的最大（最小）值，叫做函数y＝f（x）的最大（最小）值．

求函数最值的步骤

设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最值，可分两步进行：

（1）求f（x）在（a，b）内的极值；

（2）将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

4.若函数f（x）的导函数f′（x）的图像，如图所示，则（　　）

A．x＝1是最小值点B．x＝0是极小值点

C．x＝2是极小值点D．函数f（x）在（1，2）上单调递增

（2017·皖南八校联考）函数f（x）＝（x-1）（x-2）2在[0，3]上的最小值为（　　）

A．-8B．-4C.0D.

题型一　利用导数求函数的极值

已知函数f（x）＝x-alnx（a∈R），求函数f（x）的极值．

可导函数求极值的步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）求方程f′（x）＝0的根；

（3）用方程f′（x）＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；

（4）由f′（x）＝0的根左右的符号以及f′（x）在不可导点左右的符号来判断f′（x）在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少，f′（x）＝0是函数有极值的必要条件．

题型二　利用极值求参数值

若函数f（x）＝ax3-bx+4，当x＝2时，函数f（x）有极值-

.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若函数f（x）＝k有3个解，求实数k的取值范围．

（2）若函数f（x）＝x3-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-2，2）　　　　　　B．[-2，2]

C．（-∞，-1）D．（1，+∞）

题型三　利用导数求函数的最值

已知函数f（x）＝xlnx.

（1）求函数f（x）的极值点；

（2）设函数g（x）＝f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）．

题型四　利用最值求参数值

已知函数f（x）＝ax3-6ax2+b，是否存在参数a，b，使f（x）在[-1，2]上取得最大值3，最小值-29？

若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

（1）当x∈[-2，1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立．则实数a取值范围是（　　）

A．[-5，-3]　　　　　B．[-6，-

]C．[-6，-2]D．[-4，-3]

（2）已知f（x）＝lnx+a（1-x）．

①讨论f（x）的单调性；

②当f（x）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．

定积分

（1）（2014·山东，理）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）

A．2

　　　　　　　　B．4

C．2D．4

题型一　导数与函数图像

（2016·新课标全国Ⅰ）函数y＝2x2-e|x|在[-2，2]的图像大致为（　　）

导数与不等式

（1）（2017·沧州七校联考）设a为实数，函数f（x）＝ex-2x+2a，x∈R.

①求f（x）的单调区间与极值；

②求证：

当a>ln2-1且x>0时，ex>x2-2ax+1.

题型三　导数与方程

已知函数f（x）＝ex，x∈R.

（1）求f（x）的图像在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）证明：

曲线y＝f（x）与直线y＝ex有唯一公共点．

（1）若a>

，则方程lnx-ax＝0的实根的个数为（　　）

A．0个　　　　　　B．1个C．2个D．无穷多个

（2）已知函数g（x）＝

x2-

x+lnx-b在[1，4]上有两个不同的零点，求实数b的取值范围．

题型四　导数与最优化问题

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：

千克）与销售价格x（单位：

元/千克）满足关系式y＝

+10（x-6）2.其中3

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

高考中的函数与导数大题的答题策略

典例　（12分）（2016·课标全国Ⅰ）已知函数f（x）＝（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点．

（1）求a的取值范围；

（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明x1+x2<2.

解题思路——研读信息·快速破题

本题可拆解成以下几个小问题：

（1）①判断a＝0时，f（x）的零点个数；

②判断a>0时，f（x）的零点个数；

③判断a<0时，f（x）的零点个数．