中国新石器仰韶文化的数学文档格式.docx
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一、中国古代数学伴随着天文历法产生发展
数学的产生和发展，离不开物质资料生产和文化生活的实践。
世界上早期的数学都是源于生产、生活的实际需要而产生的，是一种应用数学。
中国新石器时期的数学则更多的与天文历法联系在一起。
中国是世界上最早进入农业文明的国家。
众多的考古发现表明，早在八九千前就已经形成了南稻北粟水旱经济区。
农牧业产生与季节气候的密切关系，使先民们通过观察日月星辰运行和鸟兽活动等自然现象认识季节变化的规律，并以此安排农牧业产生和农事活动，做到“不违农时”。
这在生产力水平低下的农业社会初期尤其重要。
从古代文献中可以看出先民对天时极端重视。
《荀子·
王制》曰：
“春耕、夏耘、秋收、冬藏，四时不失”，“五谷不绝”。
《吕氏春秋》在《任地》、《审时》篇说：
“时至而作，竭时而止”。
“夫稼，为之者人也；
生之者地也；
养之者天也。
是故得时之稼兴，失时之稼约。
”《韩非子》则说：
“非天时，虽十尧不能冬生一穗。
”所谓“天时”，就是春夏秋冬气候的变化。
由于先民对天时的重视，天文历法成为中国最早产生和发展起来，并取代辉煌成就的古代科学。
中国数学也随其需要而发展。
也正因为如此，作为天算之书的《周髀算经》一书，才得以保留了中国上古时期的数学精华。
他说：
“复原工作的成功使我们可以大胆提出，西水坡45号墓除去方形大地的设计之外，上部图形就是原始的盖图！
尤其令人惊讶的是，依照墓穴的实际尺寸，这张盖图所表示的分至日的昼夜关系非常合理，特别是春秋分日道，其昼夜关系的准确程度简直不差毫厘。
显然，这比根据《周髀算经》所复原的盖图更符合实际天象。
”“将三环石坛所表现的三衡直径的关系与《周髀算经》七衡图之内、中、外三衡直径的关系进行比较，可以发现，二者内衡与外衡的关系完全一致。
”“牛河梁三环石坛的考定，证明中国古老的盖天理论在公元前第三千纪已经发展到一定的水平。
作为早期的盖天图解，牛河梁的盖图完全具有实用性。
它不见描述了一整套宇宙理论，同时准确地分至日的昼夜关系。
这种完整的理论体系的确立，必然经历了一段漫长的形成过程，因此，盖天理论的发端必之原始盖图的出现无疑有着更悠久的历史。
而牛河梁盖图所表现的五千年前先人们对宇宙的认识水平，已足以令人惊叹！
”“毋庸置疑，如果说盖天理论与勾股法的结合就是‘周髀’的话，那么我们岂不是通过牛河梁三衡图找到了最早的‘周髀’！
”9。
冯时的研究成果，使我们可以得出这样的结论：
即中国在距今五六千年前勾股数学的方法已经经存，并在天文观测和墓穴、祭坛的设计和建造中应用。
七衡盖天图，是由三衡、五衡盖图发展而来。
人们已经从河姆渡文化遗址（距今7000－6500年）陶象模型上，看到了三衡图；
残损的一件工艺品上有太阳鸟五衡图10；
“双凤朝阳纹”的牙雕上同样可以看到五衡图11形象。
后来，在春秋战国的铜镜上，还有二、三衡图的存在。
至于七衡图，我们从1976年出土于殷商妇好墓的铜镜上看到3100前的带有光芒纹的七衡图12。
1979年考古人员在新疆罗布泊地区孔雀河古河道北岸发现了数十座3800年前的“太阳墓”。
在木桩围成墓穴外围，有用木桩围成的7个同心圆，木桩同时又呈太阳光芒放射状13。
“太阳墓”的七衡盖图墓葬形式与西水坡45号墓的三衡盖图形制，有着异曲同工之妙，都体现了盖图观念和所处时代的天文历法成就。
《周髀算经》中除了日道，还有光道的计算：
太阳“冬至所北照，过北衡十六万七千里，为径八十一万里。
”“故日光外所照径八十一万里，周二百四十三万里。
”说明这些带有光芒的七衡图更符合古意。
七衡图是与二十四节气相关的日道。
其从产生到被人们接受而应用到生活实际中，必然是经历了相当长的一段时间，这在上古时期更是如此。
因此，七衡盖图产生的时间应该追溯到更为久远的年代。
衡图的产生，是建立在对日道进行观测和数学计算基础的。
因此，衡图是古代先民数学应用的成果，这说明新石器时期的数学在应用中延续发展着。
五、仰韶文化时期的数学
1、仰韶文化锥刺三角形的数学意义
数学是关于客观空间形式和数量关系的科学14。
有图无数是很难说明数量关系的。
二十世纪五十年代末期，在仰韶文化西安半坡遗址和西华县元君庙遗址，出土的陶片或陶器上，发现了36、45、55数点组成的锥孔三角形。
这些类似幂形排列的数点三角形，对于我们解开新石器时期数学之谜，有着决定的意义。
元君庙出土的陶钵上有锥刺的三角形图案。
图案呈“△▽△▽”相间，刺在上下两道平行的规线之间，连续环上腹部一周。
留存的十个三角形中，有九个是由55个锥刺孔组成，一个是由45个锥孔组成。
考古报告说，55数的三角形从一至十分十层。
45数三角形从一至九有九层15。
在西安半坡遗址出土的陶器残片上也发现了锥刺三角形图案16。
由于陶片残缺，很难看出图案的全貌，但其中由一至八数组成的八层36数点三角形，基本完整，而且它与图案的其他部分有明显的间隔，显示其有相对的独立性。
考古发现的这三种由36、45、55个数点组成的三角形图案，因为它们是用具体的数组成的三角形，这对于我们认识当时的数学和科技是一件很有意义的事情。
宋、清代的一些学者从河图、洛书的55、45数，演绎数理，希图用河图洛书数去涵盖55、45
的所有数理。
因此出现了河图为“加减之源”，洛书为“乘除之源”的说法，反而增加了河图洛书的神秘感。
但有些推演，对我们仍有借鉴作用。
清代李光地的“点数应河图十位”中，用55数点组成三角，并形分成内外三重的做法，对我们是有启发的。
他说：
“周围三角，分三重，中一重九，次内一重二九一十八，外一重三九二十七，除中心，凡数五十四17。
”换句话说，五十四数，加中心的一数，为五十五数。
这种三重的分法，可以帮助我们分析仰韶文化遗址的36、45、55数点组成的三角形。
36数点组成的一至八数八层三角形，分为三重数点三角形，其数点为：
内重3，次重12，外重21。
三重数点之和为36，即3＋12＋21＝36。
同理，45数点组成的一至九数九层三角形，可分为：
内重6，次重15，外重24。
三重数点之和为45，即6＋15＋24＝45。
55数点组成的一至十数的十层三角形，三重的数点分别为：
内重9，次重18，外重27。
即9＋18＋27＝54。
因中心正居其正中一点，为1数，合为55数。
我们把以上三种三角形分为内外三重，重与重之间的圆周数差，都为9数，谓之“九重差”。
刘徽在《九章算术》注序中说：
“徽寻九数有重差之名，……凡望极高测绝深，而兼知其远者，必用重差。
勾股则必以重差为率，故曰重差也。
”《周髀算经》书中有勾三股四弦五、勾六股八弦十的勾股弦法。
但何为重差？
为什么“九数有重差之名”？
古代的文献并没有明确记载。
从刘徽“寻”的语气中，看出“九数重差”已久不为人知。
从刘徽的说法至少提示我们两点：
其一，数点三角形可以分成重差为九的三重。
其二，九重差三角形与勾股有关。
“率”，即圆周率。
三三为九，圆周率为三，九为三的圆周数。
故数点三角形与圆周有着一定的联系。
沿着这一思路，我们去寻求仰韶文化时期这些36、45、55数点三角形的数学、数理意义。
按照“圆径一而周三”的计算方法，我们发现，36数点组成的三角形，其内外三重三角形的周长数，也是直径为一、四、七时三个同心圆的圆周数。
即：
1×
3＝3，
4×
3＝12，
7×
3×
21。
3＋12＋21＝36。
45数点组成的三角形的三重三角数，是直径二、五、八，三个同心圆的圆周数：
2×
3＝6，
5×
3＝15，
8×
3＝24。
6＋15＋24＝45。
而由55数点组成的三角形三重三角数，则是直径为三、六、九，三个同心圆的圆周数：
3×
3＝9，
6×
3＝18，
9×
3＝27。
9＋18＋27＝54。
由于直径三、六、九同心圆的圆心正在三角形第七层中间一个数点上，故三圆周数外加中心1数，构成三角形的55数。
这就是说，36、45、55数点三角形，分别是直径为一、四、七，二、五、八，三、六、九时，三重同心圆的圆周数之和组成的图形。
圆属天，方属地，天圆地方。
三重圆或曰三圜，是古代先民表示天圆或圜道重要图象。
既然36、45、55都是三重圆周之和数，它们在象数文化中主要用于表示与天文历法有关的事物。
36数，古人从又称为“天罡”数；
易经八卦、六十四卦中阳爻（—）的策数，皆为36数。
因此与天文历法有关的河图、洛书也用55、45数组成；
天地数之和为55数。
汉马王堆帛书《易传》：
“大衍之数五十有五”。
由此也可以看出，仰韶文化遗址的三种数点三角形的重要意义。
既然仰韶时期的36、45、55数点组成的三角形图案是三环圆周数的表达形式。
就说明当时的先民是用三角形来表达圆周的。
三角形成为“圆径一而周三”的数理的形象表达。
按古代一物多象、多物一象的象数思维的特征，三角图形（▲、△）可以包含多种象数意义。
三角形之一边为圆径；
三角形之“三”象圆周率（π）之三；
三边之和为圆周数。
故三角形又象征圆周、圆、圜、天圆、圜道。
由此也使我们知道古代器物上的各种形式的连山纹，是圆周、圜道、天圆的象征。
三角形又是山形的象，甲骨文的山字就是三个“△”连在一起。
春秋战国的山字铜镜上的“山”，应是源于三角形之象，表示天圆、圆周、圜道。
三角图形与圆形的区别，在于它包含了圆周的数理意义。
仰韶36、45、55数点三角形中三圜圆周含义存在，是勾股方圆数学存在的有力证据。
2、仰韶文化时期的内圆外方图形和勾股数学
仰韶文化的数点三角形的发现，成为揭示仰韶文化时期勾股数学的重要环节。
《周髀算经》中赵爽注曰：
“圆径一而周三，方径一而匝四。
伸圆之周而为勾，展方之周而为股，共结一角，邪适弦五。
政圆方邪径相通之率，故曰数之法出于圆方。
圆方者天地之形阴阳之数。
”勾股法中，勾数来自圆周数，股数来自方周数。
勾股方圆数学的图像，是圆方同径的“内圆外方”形，它是勾股方圆的基本图形。
内圆外方图，《周髀算经》中称“方圆图”。
考古资料表明勾股方圆的的图形有两种表现方法：
一种是内圆外方形。
如新石器时期玉琮平面形（图八∶1）。
安徽阜阳双古堆西汉汝阴侯墓出土式盘，都是内圆外方形式。
内圆外方形的的特点是直观，方形边长与内圆的直径同率相等。
又因为古人用三角形（△）来表示圆周数，所以这另一种图形，就是三角形与方形相结合，方形内有三角形，同样表现“内圆外方”。
这后一种是更为原始的表现形式。
在西安半坡和山西芮城东庄村西王村仰韶文化遗址出土的器物上都有发现18。
它是由方形和方形两条对角线组成的四个三角形组成，或者更简单的在方形中间画一个三角形图案。
因为四个正三角形不可能组成方形，因此只能是一种象征性图形。
由于三角形与方形共边，其主要目的是形象表达“圆径一而周三，方径一而匝四”，圆方同率这一数理关系的。
另外，在山西芮城东庄村西王村仰韶文化遗址出土的器物上，还有表达方周数的图形。
该图是由内外两重方形组成。
内层方形的四角各有一个数点，共四个数点；
外层方形的四角个有两个数点，合为八个数点。
分别表示方径一而匝四、方径二而匝八。
这种用数点表示方周的做法与用数点表示圆周的做法完全一致。
在内圆外方的数理图形中，圆的直径正是方形的边长。
而在用三角形边长之和表现圆周数时，三角形的一个边长也同时是圆径，圆径又与方边相同，因此方匝数也因此而产生。
按照“方径一而匝四”，依据36、45、55数点组成三重三角形各边长（圆直径）的数据，我们可以求出方径（边长）一至九数的的方匝（方周）数：
一、四、七的方周分别为：
4、16、28，即：
4＝4，
4＝16，
4＝28。
二、五、八的方周为：
8、20、32，即：
4＝8，
4＝20，
4＝32。
三、六、九的方周为：
12、24、36，即：
4＝12，
4＝24，
4＝36。
我们以三种数点三角形的边长为圆、方作圆方图，可看出数点三角形与圆方的关系。
综合36、45、55数点三角形的方、圆周数，可列表：
圆方径一至九的圆周方周数表
圆、方径内层圆周内层方周中层圆周中层方周外层圆周外层方周圆、方周长之和
×
3×
4×
4
1、4、73122136
4162848
2、5、86152445
8203260
3、6、99182754＋1
12243672
依《周髀算经》：
“伸圆之周而为勾，展方之周而为股，共结一角”。
可得下列九个勾股弦数：
勾三股四弦五
勾十二股十六弦二十
勾二十一股二十八弦三十五
勾六股八弦十
勾十五股二十弦二十五
勾二十四股三十二弦四十
勾九股十二弦十五
勾十八股二十四弦三十
勾二十七股三十六弦四十五
从上述勾股弦数的纵向变化中，我们可以看出，当圆方径从一至九按自然数列排列时，它们的圆、方周数组成的勾股弦中，勾数以三数级差增加，股数以四数级差增加，而弦数则以五数级差增加。
弦数减去股数的差数，就是该勾股方圆径数。
若以上述勾股弦中的勾为方圆径数，则股数和弦数之和，恰是以勾数为圆径的圆周数，从而可以建立新的圆方勾股弦。
因为当圆径、方径都为一数时，其圆周数为三、方周数为四，所得勾股弦为勾三股四弦五。
所以勾三股四弦五，成为最基本的勾股弦数，故后来成为勾股定律（a2＋b2＝c2）的基本数据。
因此，我们从仰韶文化的36、45、55数三个锥刺三角形中，不仅可以得到一至九数为径的方、圆周数，而且可以得到连续九个勾股弦。
依据这些勾股弦的规律，还可以得到更多的新的勾股弦。
上古先民也许还没有乘方、开方的数学概念，但他们却用简单的加减方法，解决了乘方、开方的数学问题。
可见，这三个数点三角形，对当时人们进行勾股数学计算中具有十分重要的作用。
正是由于36、45、55数点三角形的发现，使我们了解了上古先民表现圆周数理的方式。
直径一至九的圆周数的产生和内圆外方图形的存在，我们可以得出一个结论：
即勾股方圆的数学，在新石器的仰韶文化时期已经产生和存在！
3、仰韶文化的内方外圆图形和“圆出于方，方出于矩”数理
《周髀算经》：
“商高曰：
数之法出于圆方。
圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。
故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。
”商高的这段话，简明的概括了上古时期勾股法数学产生的历史和方法。
所谓“数之法”即是勾股数学方法。
“数之法出于圆方”，就是“伸圆之周而为勾，展方之周而为股，共结一角”，而成勾股数学法。
勾股的图形是直角三角形，两直角边呈“曲尺形”，又称矩尺。
勾股的两边通称为矩，故曰“折矩”。
“折矩”，是就勾股弦的图形而言。
古代先民把立竿测影的表竿称为“髀表”，表影称为勾。
“髀，股也”（《说文·
骨部》），髀就是股，“勾股”名称由此生。
表竿亦称为“矩”，所谓正绳以测高厚深远时的“平矩”、“偃矩”、“覆矩”、“卧矩”，都是就表竿而说。
古人从立竿测影开始，掌握了确定东西南北之法，而有地之四方概念；
通过立竿测影知四时日影变化，而知春夏秋冬八节，周而复始；
通过立竿测影，方有“一寸千里”影表率和“八十寸而得一寸”日髀率产生，从而可度二十四节气太阳运行圆径和圆周之数。
随之使原始的盖天观念发展到数理的盖天理论。
同时，“圆出于方，方出于矩”，又是数学方法。
“圆出于方，方出于矩”，其数学图式是内方外圆形，即《周髀算经》中的“圆方图”。
这种数学图形，在仰韶文化遗址出土的器物上也有发现。
说明“圆出于方，方出于矩”数理与勾股方圆数学同时出现在仰韶文化时期。
在郑州大河村遗址陶器上，人们发现距今5000年的的内方外圆的图形。
潘雨廷先生说：
“这一图形，确有中国的民族特色，当时尚无文字而已知规矩方圆及内外相接的形象。
19”图中正方形的外接圆，是方形旋转后而产生的。
“圆出于方”的概念在这里表达很明确。
这一图形与西亚公元前四千年陶器的图形相似。
相比之下，西安半坡遗址6000年前陶盆上的“内方外圆”图要原始的多，对其识读也困难一些。
图形是由纵横十格的网状正方形和其四角上的四个三角形组成。
如文章前面所说，三角形（△）具有圆周、圆、圜等象数意义。
因此，网状方形四角上的三角形，象征圆、圆周。
此图形尽管原始，但由于方形纵横十格和三角形象征的圆周，使该图极具数理特征。
其形式更能表达古人的认识。
《说卦传》和孟氏逸象讲：
离为日、为黄矢、为网、为乾卦。
黄矢即太阳光线。
乾为天，为圜。
图中的网纹象征着天上太阳光照大地。
网纹纵横十格，象征天地十数。
网纹四角的三角形，则表示人们应用勾股数学对日月运行的度量。
因此这一图形，也是表示圆出于方的“内方外圆”图。
郑州大河村遗址出现的“内方外圆”图形，具有形成三方三圆的连续性和可计算特征。
我们把该图形四个内弧的中心点连接起来，就是一个圆外切正方形。
旋转这个外切方形又可产生一个新的外接圆。
同样的方法，我们可以向外得到第三个正方形和圆形。
从而形成连续的三方三圆图形。
此时，我们就会发现，三个同心圆的直径分别是三个正方形的对角线。
据此我们可以求出三个同心圆直径之间的比例关系。
假设：
第一个内接正方形的边长为a；
从内到外三个圆的直径分别为，R1、R2、R3。
可得：
R1＝
a，
R2＝2a，
R3＝2
a
其中外圆直径R3，是内圆直径R1的二倍。
三个圆的直径成等比，
即：
R3／R2＝R2／R1
（
2
a／2a＝2a／
a）
三个同心圆的这种比例关系，即外圆直径是内圆直径的二倍，外圆直径与中圆直径之比等于中圆直径与内圆直径之比。
同辽宁牛河梁红山文化遗址祭天石坛的三环直径之间的比例关系完全一致。
石坛内环、中环、外环的直径分别为：
11米、15.6米、22米。
其外环直径也是内环直径的二倍。
外环与中环、中环与内环之比，同样成等比关系，
即
：
22／15.6
＝15.6
／11
。
我们只要按照大河村古陶器上“内方外圆”图形给出的方法，在确定方形边长的基础上，所得到的连续三个同心圆，其直径都存在这样的等比关系。
半坡遗址网纹正方形的边长是十数。
若以此为基础，所得三个同心圆的直径比例也是如此。
这种等比关系组成的三个同心圆，就是一幅能表现二至二分日道比例的三衡图。
半坡遗址和大河村遗址发现的“内方外圆”图形，及牛河梁红山文化遗址三环石坛存在，不仅进一步证明勾股方圆数学存在，而且早已被先民运用在对日月运行观测、历法制定、和祭祀、墓穴形制等实际当中。
在《周髀算经》中，商高说：
“圆出于方，方出于矩”，“圜矩以为圆，合矩以为方。
方属地，圆属天，天圆地方。
方数为典，以方出圆，笠以写天”。
商高所说，无疑是对产生于新石器时期的勾股方圆数学方法，及其应用和发展的总结。
4、新石器时期的圆周率“径一而周三”
圆周率是一个重要的数学常数。
“径一而周三”，就是中国古人对圆周率的表述。
这个在今天看来很不精确的数据，却是世界上最早的圆周率近似值。
它的使用一直延续到汉代初期。
从张家山出土的汉简《算数书》中，仍可以看到人们对它使用。
到了魏晋南北朝时才由刘徽、祖冲之先后计算出更为精确的圆周率数，从而代替了这一存在了数千年的圆周率（3）数。
我们用圆周率3这一数据，从仰韶文化时期36、45、55数点组成的三个三重三角形中，计算出圆径一至九数的圆周数，并了解了其中存在的“九重差”。
这说明当时的先民们已经知道圆周率3，并在实际应用中使用了这一重要数据。
也许人们仍然会怀疑的问，六、七千年前它果真存在吗？
它又是以何种形式表现呢？
显然，我们要说明新石器仰韶文化时期已经产生和存在勾股方圆数学，这是一个不可回避的问题。
中国古代圆周率的产生最初与月相变化有关。
《管子·
宙合》：
“岁有春夏秋冬，月有上下中旬”。
沈括《梦溪笔谈》：
“殊不知一月之中自有消长，望前月行盈度为阳，望后月行缩度阴两弦行平度，至如春木夏火秋金冬水，一月中亦然。
”江国栋引上述两段话，从“形数”结合上说明月相周期变化与圆周率的关系。
认为圆周率“径一而周三”来源于月相的“一弦三周”20。
此说并非无据。
而与仰韶文化时期先民对月相和圆周率3数的表达方式基本符合。
从仰韶文化半坡类型的人面鱼纹中，我们可以解读出“一弦三周”的含义。
圆形人面纹明暗变化，象征月相的朔望弦月变换。
人面纹两侧的鱼形纹，表示上下弦月。
《说卦传》：
“坎为水，为月”。
先民用水中半月形的鱼象征弦月，是再形象不过了。
圆形人面纹正上方的三角形纹，象征月相变化的（圆）周期三旬。
一月三十日，一旬十日，一月三旬。
把人面纹和网纹方形组合在一起的图案中，网纹的纵横十格，也是表示十日一旬的内容。
《释名·
释天》说：
“弦，半月之名也。
”月相上弦、下弦，通称弦月。
两弦月合为一月，故有“一弦三周”之说。
人面鱼纹成为“一弦三周”的象数表达方式。
半坡在先民们又把许多鱼头画成近似于正三角形，把鱼身画成直角三角形。
半月形的鱼、三角形的鱼头、直角三角形的鱼身，把“一弦三周”、“圆径一而周三”、勾股弦数学法有机联系在一起。
由月相“一弦三周”的变化，而联想到圆径与圆周的“径一而周三”关系
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