量子场论讲义.doc
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第一章预备知识
§1粒子和场
以现有的实验水平，确认能够以自由状态存在的各种最小物质，统称为粒子。
电子、光子、中子、质子等是最早认识的一批粒子，陆续发现了大量的粒子、介子和共振态，粒子的数目达数百种，它们是物质存在的一种形式。
场是物质存在的另一种形式，这种形式主要特征在于场是弥散于全空间的，全空间充满着各种不同的场，它们互相渗透和相互作用着。
按量子场论观点，每一种粒子对应一种场，场的激发表现为粒子的出现，不同激发态表现为粒子的数目和状态不同，场的退激发，表现为粒子的湮沒。
场的相互作用可以引起激发态的改变，表现为粒子的各种反应过程，也就是说场是物质存在的更基本的形式，粒子只是场处于激发态时的表现。
1.四种相互作用
目前已确定的粒子之间的相互作用有四种，即在经典物理中人们早已认识到了的引力相互作用和电磁相互作用，以及在原子核物理的研究中才逐步了解的强相互作用和弱相互作用。
四种相互作用的比较见表1.1
表1.1四种相互作用的比较
作用
强相互作用
电磁作用
弱作用
引力作用
强度
0.15
0.0073
.
力程
∞
∞
媒介子
介子胶子
光子
粒子
引力子？
典型反应
π＋p
γp
νp
电磁相互作用的强度是以精确结构常数来表征的，可以同时参与四种相互作用的粒子（例如质子p）为代表，通过典型的反应过程的比较研究，确定各种作用强度的大小。
2.粒子的属性
不同粒子有不同的内禀属性，这些属性不因粒子产生的来源和运动状态而改变。
最重要的属性有：
质量m，粒子的质量是指静止质量，以能量为单位，它和能量E和动量的关系为
精品
.
电量Q，粒子的电荷是量子化的，电荷的最小单位是质子的电荷。
自旋S，粒子的自旋为整数或半整数，如π介子的自旋为0，电子的自旋为1/2，矢量介子的自旋为1。
平均寿命，粒子从产生到衰变为其它粒子所经历的时间称为粒子的寿命。
由于粒子的寿命不是完全确定值，具一定的几率分布，如果个相同粒子进行衰变，经过时间后还剩下个，则，式中即为粒子的平均寿命。
磁矩，指粒子的自旋磁矩。
它与粒子的自旋S满足关系：
，式中是粒子电荷，为粒子质量，是数量因子。
宇称P，描述粒子在空间反演下的性质的一个量子数。
若在空间反演下，若粒子的态函数改变符号，此粒子具奇宇称（P＝－1）。
若态函数保持不变，粒子具偶宇称（P=1）。
粒子的性质，可查阅有关资料。
例如：
ParticleDataGroup编的ReviewofParticlePhysics,刊登于Plys.Lett.B592（2004）。
3.粒子的分类
可按多种方式对粒子分类。
按参与相互作用的性质，可分为三类：
（a）强子，既参与强相互作用，也参与弱相互作用。
已发现的粒子大多数是强子，包括重子，介子。
（b）轻子，不参与强相互作用的粒子，有的参与电磁作用和弱作用，如电子和μ子，有的只参与弱作用。
（c）规范玻色子，传递作用力的粒子，如γ，，。
按轻子——夸克层次可分三类：
按强子夸克结构理论，强子不是“基本”粒子，强子是复合粒子，是若干个夸克构成的复合体，夸克是构成强子的组元粒子。
夸克有6种：
上夸克（u），下夸克（d），奇异夸克（s），粲夸克（c），底夸克（b）和顶夸克（t）。
按Gell_Mann&Zweig理论，夸克带有分数电荷，理论上称有“六味”夸克，其所带电荷如下表：
表1.2夸克的电荷
味
上u
下d
奇s
粲c
底b
顶t
电荷（e）
2/3
-1/3
-1/3
2/3
-1/3
2/3
按此理论，强子不是粒子，而由夸克所构成，例如质子由u,u,d组成：
精品
.
，,，为反夸克，强子不看作粒子后，按轻子—夸克将粒子分类为：
（a）规范玻色子，传递相互作用的粒子
（b）费米子，包括轻子和夸克
（c）Higss粒子，按弱电统一理论，应该有存在有自旋为0的Higss粒子，但实际上至今未发现。
按此理论分类，有两个实验上未解决的问题，一是夸克禁闭，还找不到自由夸克，二是Higss粒子还未找到。
按粒子的自旋分类.
（a）自旋s=0的粒子，称标量粒子，如，k介子等
（b）自旋的粒子，称旋量粒子，如电子e、质子p等
（c）自旋的粒子，称为矢量粒子，如的粒子，m=0的光子。
（d）高自旋粒子。
这种分类，方便场方程的研究。
§2自然单位制
物理学中确定单位制的通常做法是，依据研究对象，为研究方便，选取几个相互独立的物理量及其单位作为基本单位，其它物理量和单位则根据基本物理量及公式来表示，这些导出的单位称为导出量和导出单位。
在微观高速现象的研究中，涉及的物理量有：
长度、质量、时间、电荷和温度。
为减少独立的基本物理量的数目，利用库仑定律并规定真空的介电常数为无量纲的数1来定义电荷，使电荷不再是基本物理量。
为进一步减少独立的量纲，注意到，在微观高速领域，有三个重要的量：
光速：
量纲
玻尔兹曼常数：
量纲
普朗克常数：
量纲
（数据来自Pyhs.LettB592.91（2004））.
建立一个在微观邻域应用方便的新单位制，规定这三个量的值为无量纲的1，即
这样在这一单位制中，量纲关系为：
dimc=1
精品
.
dimk=1
dimh=1
即，只剩一个独立的量纲。
这一个独立的量纲可以选作能量、时间、长度或其它任何一种有量纲的物理量，这一单位制称为自然单位制。
在量子场论中，应用自然单位制，选能量为基本量纲，基本单位为Mev或Gev.
应用上，物理公式中的三个量、c、k都取为1。
相对论能量动量关系.即为=+。
方程的简化，给计算过程带来方便。
当然在实际应用中，还是要用到实际单位制的。
因为物理方程中的各项，都必须具有相同的量纲，将自然单位制方程中的各项乘上三个量（或两个量）的幂次积，由各项必须具有相同量纲决定幂次数值，即可将自然单位制的方程还原为实用单位制的方程。
例如：
在自然单位制中Klein—Kordon方程为
作
代入的量纲，求得，则方程返回为实用制的方程。
§3狭义相对论
1.相对论的基本原理
相对论的基本原理是：
（a）相对性原理。
所有惯性参考系都是等价的。
物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。
（b）光速不变原理。
真空中的光速对于任何惯性系沿任一方向恒为C，并且与光源运动无关
这两个原理说明时间和空间是运动着的物质存在的形式，时间和空间是不可分割的，打破了绝对的时空观念。
三维空间和一维时间应该构成一个统一体——四维时空。
精品
.
在四维时空中，任意事件定义为：
而事件的间隔定义为：
在坐标系和相对运动速度为的坐标系中，具有间隔不变性，
两坐标系之间作坐标变换
（1.1a）
依间隔不变性，变换矩阵元满足关系
（1.1b）
当两坐标系的X轴和’轴沿相对于∑的运动方向时，Lorentz变换的矩阵是：
（1.2）
式中
，.
引入符号
.
2.四维时空中的协变量
四维时空中，在Lorentz变换下，满足变换规律：
（1.3a）
的物理量，即变换下不变的量S，称为Lorentz标量。
精品
.
满足变换规律
（1.3b）
的物理量，即在坐标系变换下与坐标有相同变换关系的具有四个分量的量，称为四维矢量。
满足变换规律
（1.3c）
的物理量，称为四维二阶张量。
这些在Lorentz变换下有确定变换性质的量称为协变量。
相对论要求，在不同惯性系中，物理规律应该有相同的形式，即在参考系变换下，方程形式不变，这一性质称为协变性。
构建协变量，组建协变方程，验证了Maxwell方程组的协变性，证明Maxwell方程是符合相对论要求的。
构建协变量，组建协变方程，改造了不符合相对论要求的经典力学，发现了符合高速运动规律的运动定律，这是理论工作的重大成就。
四维能量—动量矢量
（1.4）
是协变量。
两个协变矢量的标积是不变量。
因为
式中对相同指标作求和运算，这一运算称为指标的缩并。
作的标积，构成的不变量：
不变量
当，推导的关系式
（1.5a）
即
（1.5b）
这是关于物体的能量、动量和质量的一个重要关系式。
精品
.
§4量子力学一维谐振子
1．量子力学的假定
描述微观粒子运动规律的量子力学是基于下列假定的：
（a）微观体系的状态可由一个波函数完全描述。
例如，在时刻t，在坐标x→x+dx，y→y+dy，z→z+dz的无限小区域内找到子的几率为：
C是比例系数。
（b）力学量用厄密算符表示。
经典力学中的力学量（C数）在量子力学中用表示这个力学量的算符（Q数）表示。
如能量E和动量，对应算符是：
，（1.6）
算符满足一定对易关系，如：
（1.7）
对易关系就是量子化规则。
（c）体系状态满足薛定格方程
（1.8）
（d）体系的波函数可以用算符的本征函数作展开：
（1.9）
（e）体系满足泡利原理。
动力系的量子化，就是将体系的力学量变为厄密算符，建立算符的运动方程和对易关系。
在量子力学中可以用薛定格表像或海森伯表像对体系进行量子化。
2.一维谐振子的量子化
在经典力学中，线形谐振子的运动方程是：
精品
.
（1.10）
拉格朗日量是：
（1.11）
哈密顿量为：
（1.12）
式中。
现将线形谐振子量子化，把x，p作为算符，作替代.运动方程
（1.13）
为
（1.14）
引入对易关系：
（1.15）
这就完成了线形谐振子在坐标空间中的量子化。
现引入一个新表象作处理，用算符a和代替p，x，令
（1.16a）
（1.16b）
容易证明：
（1.17）
和（1.18a）
即
（1.18b）
精品
.
式中（1.19）
则谐振子的量子化问题转变成为对算符的本征态求解问题。
本征方程是
（1.20）
是算符的本征态。
方程（1.20）和对易关系（1.17）完成了在新表象中对谐振子的量子化。
这一表象称为占有数表象。
量子力学中已证明：
（a）、厄密正定，
（b）、和分别称为产生算符和湮灭算符。
当m为正整数时，
，（1.21a）
（1.21b）式中:
或表m次作用或。
由（1.21）式知，若是的本征矢。
那么，也是的本征矢，且.，每作用一次a或a，本征矢减少或增加一级.所以,a和a分别称为产生算符和湮灭算符.
（c）、为整数.
（d）、记最低能态为|0>,且<0|0>=1.有:
a|0>=0（1.22）
|n>=a|0>（1.23）
这些是一维谐振子量子化的主要结果。
§5Lorentz变换
1.Lorentz变换
两惯性坐标系之间的时空变换中，使间隔保持不变的变换称为Lorentz变换，即要求
精品
.
由
显然有：
（1.21）
式中为Kronecker符号。
这是Lorentz变换的正交条件。
惯性系的概念本身要求从一个惯性坐标系到另一个惯性坐标系的时空变换必须是线形的，即
式中A为变换矩阵，为A的矩阵元，不考虑平移则变换应是齐次的：
（1.22）
正交变换条件（1.21）变为
（1.23）
令代表变换矩阵的转置，则（1.23）可写为
（1.24）
记A的行列式，依据
有
而，故有，即
（1.25）
利用，有
即
精品
.
，或（1.26）
由（1.25）和（1.26）式，可将变换作如下分类：
表1.3变换的分类
类别
性质
E
连续
R
分立
P
分立
T
分立
DetA=1，的E类变換称为正Lorentz变换，，的E和P变换，称为完全Lorentz变换。
例：
（a）恒等变换
条件是：
变换矩阵为
detA=+1，,属于E类，是连续变换。
（b）空间反演变换
条件是：
，t’=t
变换矩阵为
detA=-1,,属于P类，是分立变换。
（c）时间反演变换
条件是：
，t’=-t
变换矩阵为
精品
.
detA=-1，,属于T类，是分立变换。
（d）时间空间联合反演变换
条件是：
，t’=-t
变换矩阵为
detA=1,,属于R类，是分立变换。
2.无穷小变换
在恒等变换邻域作无穷小变换
（1.27）
式中是无穷小量，将上式代入正交条件（1.23）式知
（1,28）
是反对称的。
因为detA=+1，,属于E类，是连续变换。
变换式（1,27）可写为矩阵形式
（1,29）
由的反对称性，可将改写为
式中
（1.30）
是矩阵，是它的矩阵元的表示，例如，等，有：
精品
.
（1.31）
也可表为
式中是除矩阵元为1之外，其余为0的矩阵．可见，是三度空间角动量矩阵的四度时空推广．满足对易关系：
若令，
式中
则有对易关系：
3．有限变换
对于无穷小变换
若作连续的有限多次N的无穷小变换，即
称有限变换。
令：
精品
.
由于
依公式：
有
即有限变换的生成元与无穷小变换的生成元相同，只是结构常数不同。
因而有限变换的性质可用无穷小变换作研究，这给处理问题带来方便。
4.场量的变换
设场物理量由描述，当时空作Lorentz变换时，
场函数也可能改变，设场量的变换矩阵为.
即
（1.36）
依赖于变换矩阵A。
对于无穷小变换
可将按展开
略去高阶无穷小，可表示为
场量的改变是
场量的改变也可表为
（1.37）
式中
（1.38a）
精品
.
（1.38b）
脚标表示坐标不变，场函数改变（在某点场函数的变化），脚标表示场函数不变，坐标改变。
将定义为场的主动变换，它着重于场量的泛函变化。
从（1.37）及（1.38b）知，主动变换可表为
（1.39）
由于或有
则
即
结合（1.38）式，主动变换可表为：
（1.40）
它与场的变换算子有关，不同的场的主动变换因场变换算子不同而异。
精品
.
笫二章相对论性的自由场
§1克莱因-戈登（Klein-Gordon）方程
1.克莱因-戈登方程
薛定谔方程中，粒子的动量和能量满足的是经典力学的关系，因而薛定谔方程是非相对论性的，为了建立满足相对论要求的粒子运动方程，显然应从相对论性的能量动量关系出发。
在自然单位制中，相对论性的能量动量关系是
（2.1）
将力学量过渡到量子算符
则（2.1）式化为
－（2.2）
将此式作用于波函数，得
精品
.
（2.3）
注意到
则（2.3）式化为
（2.4a）
或
（2.4b）
（2.4）式称为克莱因-戈登方程。
因仅有一个波函数，适用于自旋为零的标量粒子。
克莱因-戈登方程有平面波形式的解：
～
E满足（2.1）式，即能量为
E=±（2.5）
对有确定动量的粒子，能量有正、负能两个解。
对于自由粒子，可定义物理态处于正能态，负能态可以不考虑，但存在相互作用时，能量有跃迁，没有理由不考虑负能解，这给问题带来困难。
由常规方法易知，由（2.4）式可得连续性方程;
（2.6）
式中
（2.7）
若将表示为
的空间分量和时间分量ρ可表示为
（2.8a）
（2.8b）
精品
.
注意到，即，能量的本征态满足及，因而有
如果把ρ解释为粒子出现的几率。
当能量是负值时，ρ为负，出现负几率，这是无法解释的。
显然，不能将克莱因-戈登方程看作是描述一个微观粒子运动的方程。
当将克莱因-戈登方程作为标量场方程并进行量子化以后，和ρ解释为电流密度和电荷，负几率的问题不再存在。
2.Lorentz不变性
为满足相对性原理要求，表示物理规律的运动方程应该是Lorentz协变的，即在参考系变換下，运动方程的形式应该保持不变。
在Lorentz变换
ν（2.9）
下，设波函数变换为
（2.10）
在（2.9）变换下，易知
则克莱因-戈登方程变换为
（2.11）
如果，则（2.11）式写为
与变換前的克莱因-戈登方程形式一致，说明克莱因-戈登方程具有Lorentz协变性，且
（2.12）
即变换后不变，波函数是Lorentz标量。
现在计算的主动变换，由主动变换表式（1.40）式
精品
.
因为，有
对无穷小变换
因为
式中
所以
（2.13）
主动变换与軌道角动量有关。
§2狄拉克（Dirac）方程
克莱因-戈登方程利用相对论的能量动量关系，建立的相对论性粒子运动方程，出现了负能和负几率的困难。
困难的根源在于（2.1）式作算符替代后，方程含有对时间的二阶微商。
能否既利用相对论的能动量关系式，而又保
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