三年级数学思维训练.doc

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三年级数学思维训练

第1讲 找规律填图....................................... 1

第2讲 加减法巧算....................................... 7

第3讲 高斯求和......................................... 15

第4讲 找规律填数....................................... 23

第5讲 简单推理......................................... 29

第6讲 植树中的学问..................................... 35

第7讲 学会倒着想....................................... 41

第8讲 简单周期......................................... 49

第9讲 填运算符号....................................... 57

第10讲 神奇的一笔画..................................... 65

第11讲 有趣的数阵图..................................... 73

第12讲 用平移法求周长................................... 81

第13讲 和倍问题......................................... 89

第14讲 乘除法巧算....................................... 98

第15讲 剪剪拼拼......................................... 107

第16讲 巧数线段......................................... 113

第17讲 差倍问题......................................... 120

第18讲 和差问题......................................... 129

第19讲 年龄问题......................................... 137

第20讲 盈亏问题......................................... 145

第21讲 方阵问题......................................... 153

第22讲 移多补少......................................... 161

第23讲 定义新运算....................................... 169

第24讲 智巧趣题......................................... 177

综合能力测试............................................... 183

三年级数学思维训练第2页

第1讲 找规律填图

我们生活的世界是一个有规律的世界。

比如，一年有四季；十二生肖十二年一个轮回；太阳每天从东方升起，从西方落下……可以说，生活中有很多规律，我们要学会观察、发现规律。

这一节，主要培养同学们从图形中发现规律的能力。

一般来说，如果把一些图形排列在一起，大家可以从以下几个方面来考虑：

1．图形数量的变化；

2．图形形状、大小的变化；

3．图形颜色、位置的变化；

4．图形的繁简变化。

对一些比较复杂的图形，也可以分成几个部分来分别考虑。

【例1】按顺序观察下面图形的变化规律，想想，空格处应画什么样的图形?

分析图中“○”的个数从左到右依次增加，且每一格（第一格除外）都比前面一格多2个“○”。

〖即学即练1〗观察下图中前面几幅图形的变化规律，想一想，接下来应该怎样画?

【例2】下一个应选什么图案?

（）

分析仔细观察前三幅图，第二、三幅图是在第一、二幅图的基础上顺时针旋转90°得到的。

〖即学即练2〗观察下面图形的变化规律，在空格处画上所缺的图形。

（备用图）

【例3】观察下面图形的变化规律，在“__________”处画上合适的图形。

分析仔细观察就会发现，每一横行都有两个基本图形，而第三个图形是由前面两个基本图形变化而来的，即将第一个图形放在第二个图形的正下方得到的。

〖即学即练3〗仔细观察下面的图形，第三组的“?

”处应填什么图形?

在下面图形中画出来。

（备用图）

【例4】观察下面给出的图形变化，按照这种变化规律，在空格中填上应有的图形。

分析观察给出的两组图形，发现每组图形都是从左往右依次按顺时针方向旋转，且每旋转一次就少一对“羽毛”。

〖即学即练4〗下面图形变化的规律，接下来应画什么图形?

（备用图）

【例5】下面图形中哪一个选项与众不同?

（）

分析请观察左边白点数目与黑点数目跟右边的白点数目之间有什么样的运算关系。

〖即学即练5〗下面图形中哪一个选项与众不同?

（）

例6下面图形的排列顺序有着一定的变化规律，请在右图A、B、C对应处画出相应的图形。

【分析】每个图形从内、外两部分来观察，它们分别都是由三角形、正方形、圆形组成，并且每一横行（或每一竖行）中没有重复的，所以A的外部图形是正方形，B的外部图形是正方形，C的外部图形是三角形。

同理可知，A的内部是正方形，B的内部是三角形，C的内部是圆形。

形状确定好以后，内部图形中分别由空白、斜线、网状三种种组成。

确定方法与确定形状的方法相同。

〖即学即练6〗图中六只鸡的排列有规律，请在右图A、B、C对应处画出相应的图形。

能力检测

1．观察下面图形的变化规律，在右边“__________”处再补上一幅图形，使它们成为一个完整的系列。

2．根据下面图形的变化规律，在空格处填上合适的图形。

△

□

□

□

△

△

□

△

△

△

□

△

△

△

△

3．根据下面图形的变化规律，虚线方框内应填入的图形是哪一个?

（）

4．接下来应该怎样画?

（备用图）

5．根据下面图形的变化规律，空格内应填入的图形是哪一个?

（）

6．下面哪个图形与众不同，并说出理由：

________________________________________

7．按照下面图形的变化规律，把空格处补充完整。

8．下列图形中哪一个能接上第一排的三个图形?

（）

9．下面的图形变化很多，请你认真仔细地观察，画出第九幅图形的图样。

10．根据下面前三幅图的规律，推出第四幅图，并画在右边方框内。

11．你能找到下面图形的变化规律吗?

请按照规律在空格处画上适当的图形。

12．下面的前三个图形都是由A、B、C、D（线段或圆）中的两个组合而成，记为A※B、C※D、A※D。

请在“_______”处画出B※C表示的图形。

13．观察下面图形的规律，在空格处填出图形。

14．仔细观察下面图形的规律，想一想“_______”处的图形是怎样的?

15．“_______”处的图形该怎样画?

16．观察下面图形的规律，画出“_______”处的图形。

17．按照已有图形的规律，画出下一个图形。

18．请在横线上填入恰当的图形，使整幅图的构成具有某种规律。

（图形画在上面）（备用图）

第2讲 加减法巧算

“+”、“–”符号出现于中世纪。

据说，当时酒商在售出酒后，用横线标出酒桶里的存酒，而当桶里的酒又增加时，便用竖线把原来画的横线划掉，于是就出现用以表示减少的“–”和用来表示增加的“+”。

后来经过法国数学家韦达的宣传和提倡而开始普及。

直到1630年，才得到大家的公认。

10个数字，几种运算符号，构成了千变万化的数学计算。

计算要做到又快又对，关键在于掌握运算技巧，选用合理、灵活的计算方法。

那么怎样才能迅速达到“速”与“巧”呢?

1．凑整法。

就是优先计算可以得到整十、整百、整千的部分，从而达到巧算的目的。

在凑整求和时，一定要注意，多加了要减去，少加了要加上的方法进行速算；在凑整求差时，一定要注意，多减了要加上，少减了要减去进行速算。

2．利用运算定律简化运算。

除了加法交换律和加法结合律外，还经常用到以下性质：

（1）在连减或加、减法混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。

例如：

a–b–c=a–c–b，a–b+c=a+c–b；18–5+2=18+2–5，符号与数要合在一起进行移动。

（2）在加、减法混合运算中，去括号时：

如果括号前面是“+”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“–”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“+”变为“–”，“–”变为“+”。

例如：

a+（b–c）=a+b–c 7+（5–2）=7+5–2

a–（b+c）=a–b–c 19–（4+10）=19–4–10

a–（b–c）=a–b+c 42–（25–12）=42–25+12

（3）在加、减法混合运算中，添括号时：

如果添加的括号前面是“+”号，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“–”号，那么括号内的数的原运算符号“+”变为“–”，“–”变为“+”。

例如：

a+b–c=a+（b–c） 6+5–3=6+（5–3）

a–b+c=a–（b–c） 17–9+4=17–（9–4）

a–b–c=a–（b+c） 25–17–3=25–（17+3）

【例1】用简便方法计算下面各题：

（1）617–498

（2）512–304 （3）1999+35（4）458+103

分析 观察发现，减数498、304和加数1999、103都接近整百、整千，因此，不妨把它们都看作整百、整干。

（1）把减数498看作500，多减了2，所以结果要加2。

（2）把减数304看作300，少减了4，所以结果还要减4。

（3）把加数1999看作2000，多加了1，所以计算的结果要减1。

（4）把加数103看作100，少加了3，所以计算的结果要加3。

〖即学即练1〗用简便方法计算下面各题：

（1）298+87

（2）541+1003 （3）318–199 （4）1000–403

【例2】计算：

33+54+18+57+82

分析 33和57可以凑成整十，18和82可以凑成整百，因此利用加法交换律，把加在一起为整十、整百的加数先加起来，然后再与其他的数相加。

〖即学即练2〗用简便方法计算下面各题：

（1）724+45+655+226

（2）37+111+23+89+24

【例3】计算：

2000–53–40–60–47

分析 仔细观察后，发现53+47=100，40+60=100．所以利用减法的性质，把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。

〖即学即练3〗用简便方法计算下面各题：

（1）213–86–114

（2）2014–563–484–516–437

【例4】想一想，怎样计算更加简便。

（1）847+238–347

（2）651–385+149

分析

（1）847和减数347的尾数相同，因此，把347连同它前面的“–”号一起搬“家”。

（2）651和149可以凑整，因此把149和它前面的“+”号一起搬“家”。

〖即学即练4〗用简便方法计算下面各题：

（1）456+376–256

（2）724–243+176

【例5】先观察，再动手计算。

（1）643+（257–186）

（2）3482–（955+482）（3）474–（353–76）

分析

（1）括号前面是“+”号，去掉括号后不变号。

（2）减去几个数的和，等于分别减去这几个数；3482和482的尾数相同。

（3）括号前面是“–”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“–”变为“+”。

〖即学即练5〗用简便方法计算下面各题：

（1）456+376–456

（2）327–99+73

【例6】怎样简便就怎样计算：

（1）9+99+999+9999

（2）398+48+503+3999+93

分析

（1）把9、99、999、9999分别看作10、100、1000、10000，这样就多加了4，所以计算结果还要减去4。

（2）这些数比较接近整十、整百、整千，根据这一特征，我们就将它们按整十、整百、整千来加。

最后考虑多加、少加的问题，来进行调整。

〖即学即练6〗怎样简便就怎样计算：

（1）19+199+1999+19999

（2）895+68+3001+397+59

【例7】计算：

67+66+74+72+68+70+69+75+71

分析 仔细观察后，发现这些加数都接近于70。

因此不妨把70作为基准数，全部按70来算，然后再加上或减去每个数与70的相差数。

〖即学即练7〗怎样简便就怎样计算：

（1）99+101+98+97+100+102+103+103

【例8】计算：

（1）2467+285

（2）1242–396

分析

（1）先加上300，与原式比较多加了15，然后再减去15。

（2）先减去400，与原式比较多减了4，然后再加上4。

〖即学即练8〗

（1）1543+778

（2）958–597

能力检测

1．计算：

（1）487+98

（2）748+1003

2．计算：

（1）6211–202

（2）4796–1998

3．计算：

（1）42+71+24+29+58

（2）89+782+158+11

4．用简便方法计算：

（1）2014–534–266–208

（2）568–127–73

5．先观察，再计算：

（1）4356+1287–356

（2）389–497+211

（3）7342–3593+658–407 （4）262+345+638+455+517

6．先找规律，再汁算：

（1）701+702+705+699+704+705+698

（2）998+997+1001+1003+1

7．怎样简便就怎样计算：

（1）4253–（253–158）

（2）1457–（185+457）

8．下面的题直接计算比较麻烦，你能想出好办法吗?

（1）8795–4998+2994–3002–2008

（2）748+163+137–148+382+18

（3）647–139–347–61

9．计算出下面两题吗?

请试一试!

（1）（1350+49+68）+（51+32+1650）

（2）43+（38+45）+（55+62+57）

10．给左边的算式找到好朋友，用线连起来。

129+88 ● ○ 350–200+2

276+103 ● ○ 276+100+3

350–198 ● ○ 130+88–1

430–207 ● ○ 430–200–7

130–87 ● ○ 130–90+3

11．如图，用数字3从上到下叠罗汉，叠了10层，这10层的所有数字之和是多少?

3

3 3 3

3 3 3 3 3

……

12．计算：

（1）5000–71–29–72–28–73–27–74–26–75–25

（2）1000–20–40–60–80–100–120–140–160–180

13．计算：

（1）465–38+257–265+139–237

（2）2468–182+532+382–224+1234

14．计算：

（1）173–（60–28）–（153–78）+（122–28）

（2）537–（300–83）+（63–53）

15．计算：

（1）380–34–66–65–35

（2）479–113–58–87–42

16．计算：

12+23–34+45–56+67–78+89–78+67–56+45–34+23+12

第3讲 高斯求和

德国著名数学家高斯上小学的时候，一天，数学老师在黑板上写下一个算式：

1+2+3+…+98+99+100=?

“这么多数怎么算呀?

”孩子们都傻了眼。

不一会儿，小高斯拿着写有答案的小石板走上讲台。

老师一看，顿时惊讶得说不出话来一小高斯的答案竟然完全正确!

你知道上面这道题小高斯是采用什么巧妙的方法计算出来的吗?

原来，除第一个数外，每一个数与它前面的那个数的差始终等于一个不变的值，因此，两两搭配（1和100，2和99，3和98，…），可以搭配100÷2=50对，并且它们的和都等于101。

也就是说1+2+3+…+98+99+100相当于50个101，即5050。

用一个算式表示就是：

（1+100）×（100÷2）=5050。

事实上，像1+2+3+…+98+99+100这样除第一个数外，每一个数与它前面的那个数的差始终相等的一列数叫等差数列，这个不变的差叫公差，等差数列中的每一个数都叫作这个等差数列的项，其中第一个数叫首项，最后一个数叫末项。

利用配对求和的方法，可以总结出等差数列的以下公式：

等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2

等差数列的项数=（末项–首项）÷公差+1

首项=末项–公差×（项数–1）

末项=首项+公差×（项数–1）

有了这些公式，很多数学问题解答起来就很方便了。

【例1】计算：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

分析在这个算式中，共有10个数，将和为11的两个数两两配对，可配成5对（如图）。

因此，求这10个数的和可以看成是求5个（1+10）的和。

〖即学即练1〗

（1）计算：

1+3+5+…+17+19

（2）求50以内所有偶数（包括50）的和。

【例2】建筑工地上堆着一些钢管（如左下图），这些钢管一共有多少根?

分析要求这些钢管有多少根，我们可以这样想：

假设另外有同样多的钢管，像右上图那样与原来的钢管互相颠倒放置在一个槽内。

这个槽内的钢管共有8层，每层都有3+10=13（根），这样槽内的钢管总数就能求出。

取它的一半，可知原来钢管的总数。

〖即学即练2〗

（1）下图是一垛电线杆的侧面示意图，试计算一下，图中共有多少根电线杆?

（2）有一堆按规律摆放的砖，从上往下数，第一层有1块砖，第2层有5块砖，第3层

有9块砖，……一共有9层。

这堆砖一共有多少块?

【例3】求首项为5，末项为155，公差是3的等差数列的和。

分析已知首项、末项和公差，要求等差数列的和，我们还需要知道项数才行。

项数=（末项–首项）÷公差+1。

〖即学即练3〗一个有17项的等差数列，末项为117，公差为7。

这个等差数列的和是多少?

【例4】下面一列数是按照一定规律排列的：

3，7，11，15，…，95，99。

请问：

（1）这列数中的第20个是多少?

（2）39是这列数中的第几项?

分析

（1）细心观察，这个数列是一个等差数列，第二个数比第一个数大4，第三个数比第一个数大2个4，第四个数比第一个数大3个4，……以此类推，第20个数比第一个数大（20–1）个4。

（2）同样的道理，39比3大多少个4，用这个数加1，就可以得到39是第几个数。

〖即学即练4〗

（1）自1开始，每隔三个数数一次，得到数列1，4，7，10，……第100个数是多少?

（2）某饭店的餐桌都是能坐4人的正方形，如图①所示。

当团体客人在10人以上时，饭店允许客人将餐桌拼成一长条，如图②所示，但每张桌子不能有空位。

如果团体客人是22人，那么需要几张桌子?

【例5】计算：

11+21+31+41+51+61+71+81+91

分析任意几个自然数的和都等于平均数乘个数，而本题是一个等差数列，并且等差数列的项数为奇数，因此它们的平均数就是中间数51。

〖即学即练5〗计算：

11+13+15+17+19+21+23

【例6】如图所示，用3根火柴摆成一个等边三角形，用这样的方法，按图中所示铺满一个大的等边三角形。

如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么一共放多少根火柴?

分析观察可知：

第一层为1个三角形，共用3根火柴；第二层摆了2个独立的三角形，共用6根火柴。

第三层摆了3个独立的三角形，共用9根火柴；……以此类推，当底边为10根火柴时，说明第10层共摆了10个独立的三角形，共用30根火柴。