同角三角函数的基本关系 知识点与题型归纳讲解Word下载.docx

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记忆口诀:

奇变偶不变，符号看象限!

《名师一号》P50问题探究问题2

诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，

符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？

无关，只是把α从形式上看作锐角，

从而2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α，－α，＋α

分别是第一、三、四，二、一、二象限角．

二、例题分析：

（一）求值

例1．

（1）《名师一号》P50对点自测4

（09全国卷Ⅰ文）

的值为

（A）

（B）

（C）

（D）

答案：

A

例1．（补充）

（2）

的值为

例1．（补充）（3）

（补充）

求任意角的三角函数值：

负化正

正化主

主化锐

例1.（4）《名师一号》P51高频考点例2

（1）

（2014·

安徽卷）设函数f（x）（x∈R）满足f（x＋π）＝f（x）＋sinx.当0≤x<

π时，f（x）＝0，则f＝（　　）

A.　　　B.　　　C．0　　　D．－

解:

（1）由题意得f＝f＋sin

＝f＋sin＋sin＝f＋sin＋sin

＋sin＝0＋－＋＝.

练习:

（补充）（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

由于正弦函数

在区间

上为递增函数，因此

，即

。

练习：

如图所示的程序框图，运行后输出结果为（　　）

A．1B．2680C．2010D．1340

　C

例2.

（1）《名师一号》P51高频考点例1

（1）

已知α∈，tanα＝2，则cosα＝________.

依题意得

由此解得cos2α＝；

又α∈，因此cosα＝－.

法二:

?

利用直角三角形求解

（补充）

三角函数求值中直角三角形的运用

先根据所给三角函数值，把角看成锐角构造相应的直角三角形，求出该锐角的各三角函数值，再添上符号即可．

变式1:

已知α是第三象限角，tanα＝2，则cosα＝_____.

变式2:

已知tanα＝2，则cosα＝_____.

利用同角关系由正弦、余弦、正切三个中知一求二

关注角终边所在位置对三角函数值符号的影响

已知

，求

和

【答案】当

是第一象限时，

当

是第四象限时，

例2.

（2）《名师一号》P51高频考点例3

（1）

（1）记cos（－80°

）＝k，那么tan100°

等于（　　）

A.B．－C.D．－

解析　因为cos（－80°

）＝cos80°

＝k，

所以sin80°

＝＝，

所以tan100°

＝－tan80°

＝－＝－.

例3．

（1）《名师一号》P51高频考点例2

（2）

已知tan＝，则tan＝________.

例3．

（2）（补充）已知cos＝，则sin2α＝（　　）

A．－B.C．－D.

（补充）关注已知角

与待求角

是否满足

或是倍半关系。

练习1:

已知

，

则

练习2:

已知cos（＋α）＝，且－π<

α<

－，

则cos（－α）＝________.

练习3:

已知sin＝，则sin＝______.

[答案]　

[解析]　sin＝cos

＝cos＝1－2sin2＝.

练习4:

对任意的a∈（－∞，0），总存在x0使得acosx＋a≥0成立，则sin（2x0－）的值为________．

例4．《名师一号》P52特色专题

【典例】　

（1）已知sinαcosα＝，且<

则cosα－sinα的值为（　　）

A．－B.C．－D.

【规范解答】　

（1）∵<

；

∴cosα<

0，sinα<

0且|cosα|<

|sinα|.

∴cosα－sinα>

0.

又（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×

＝，

∴cosα－sinα＝.

（2）已知sin（π－α）－cos（π＋α）＝（<

π），

则sinα－cosα＝________.

【规范解答】　

（2）由sin（π－α）－cos（π＋α）＝.

得sinα＋cosα＝，①

将①两边平方得1＋2sinαcosα＝，

故2sinαcosα＝－.

∴（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα

＝1－＝.

又∵<

π，∴sinα>

0，cosα<

∴sinα－cosα＝.

【名师点评】　

解决此类问题的关键是等式（sinα±

cosα）2＝1±

2sinαcosα.但要特别注意对sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα符号的关注．

数学思想系列之（三）

sinα±

cosα及sinαcosα间的方程思想

对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，已知其中的一个式子的值，可利用公式（sinα±

2sinαcosα，求其余两式的值，体现了方程思想的应用．

6月19日15班讲解至此

例5．（补充）

（2）已知

则

（补充）

（1）

（2）利用

，进行切化弦

涉及

的问题

常采用平方法求解

例4．（3）《名师一号》P51高频考点例3

（2）

已知sin＝a（a≠±

1，a≠0）．

求cos·

tan＋的值．

解　cos·

tan＋

＝－cos·

＝－sin－＝－a－＝.

①求

的值；

②求

的值

①

②

是方程

的两个根，

，求角

．

或

（舍去）

法二：

例5．

（1）《名师一号》P50对点自测2

若tanα＝2，则的值为（　　）

A．－B．－C.D.

解析　＝＝＝.

例5．

（1）《名师一号》P51高频考点例1

（2）

已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是（　　）

A.B．－C．－2D．2

由＝5，得＝5，即tanα＝2.

所以sin2α－sinαcosα＝

＝＝.

知

的值，求关于

齐次式的值

（1）利用

将关于

齐次整式化为

关于

齐次分式，如

等。

，进行弦化切，

即将关于

齐次分式的分子、分母

同除以

等转化为关于

的表达式求解。

周练15-16

（2）

16、（本小题满分12分）已知

求

的值．

（二）化简

例1.（补充）化简：

·

分析：

“脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下能成为完全平方式，注意到同角三角函数的平方关系式，利用分式的性质可以达到目标．

解析：

原式＝·

＝

＝·

《名师一号》P48高频考点例2规律方法

《名师一号》P51问题探究问题3

三角函数值求值与化简有哪些常用方法？

（1）弦切互化法：

主要利用公式tanα＝化成正、余弦．

（2）和积转换法：

利用（sinθ±

cosθ）2＝1±

2sinθcosθ的关系进行变形、转化．

（3）巧用“1”的变换：

1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ（1＋tan2θ）＝tan＝….

课后作业

计时双基练P243基础1-11、培优1-4

课本P51变式思考1、2、3；

对应训练1、2

预习第三章第三节

两角和与差的正弦、余弦、正切公式