高考新课标数学理一轮复习配套.docx
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高考新课标数学理一轮复习配套
第八章 立体几何
1.立体几何初步
（1）空间几何体
①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.
③会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.
④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
（2）点、直线、平面之间的位置关系
①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：
·公理1：
如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内.
·公理2：
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
·公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
·公理4：
平行于同一条直线的两条直线平行.
·定理：
空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.
理解以下判定定理：
·平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
·一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
·一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.
·一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直.
理解以下性质定理，并能够证明：
·如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.
·两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.
·垂直于同一个平面的两条直线平行.
·两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
2.空间直角坐标系
（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.
（2）会简单应用空间两点间的距离公式.
3.空间向量与立体几何
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
（4）理解直线的方向向量及平面的法向量.
（5）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.
（6）能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理（包括三垂线定理）.
（7）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
§8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图
1.棱柱、棱锥、棱台的概念
（1）棱柱：
有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
※注：
棱柱又分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
（2）棱锥：
有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
※注：
如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥.
（3）棱台：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台.
※注：
由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.
※2.棱柱、棱锥、棱台的性质
（1）棱柱的性质
侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________.
（2）正棱锥的性质
侧棱相等，侧面是全等的______________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________.
（3）正棱台的性质
侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________.
3.圆柱、圆锥、圆台
（1）圆柱、圆锥、圆台的概念
分别以______的一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.
（2）圆柱、圆锥、圆台的性质
圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、________、________；平行于底面的截面都是________.
4.球
（1）球面与球的概念
以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的________.
（2）球的截面性质
球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________.
5.平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________.平行投影的投影线互相__________.
6.空间几何体的三视图、直观图
（1）三视图
①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的.三视图包括__________、__________、__________.
②三视图尺寸关系口诀：
“长对正，高平齐，宽相等.”长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧（左）视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧（左）视图的宽度要相等.
（2）直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝________且∠yOz＝________.
②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝____________.x′O′y′所确定的平面表示水平面.
③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成____________x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.
④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的__________.
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
注：
空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：
（1）观察角度：
三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形，直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；
（2）投影效果：
三视图是在平行投影下画出的平面图形，用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形.
自查自纠：
1.
（1）平行 四边形 平行
（2）多边形 三角形
2.
（1）平行四边形 全等 平行四边形 矩形
（2）等腰三角形 直角三角形 直角三角形
直角三角形 直角三角形
（3）等腰梯形 直角梯形 直角梯形 直角梯形
3.
（1）矩形 直角三角形 直角梯形
（2）矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆
4.
（1）直径 球心
（2）垂直于 d＝
5.平行投影 平行
6.
（1）①正（主）视图 侧（左）视图 俯视图
（2）①90° 90° ②45°（或135°） 90° ③平行于
④一半
下列说法中正确的是（ ）
A.棱柱的底面一定是平行四边形
B.棱锥的底面一定是三角形
C.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
解：
根据棱柱、棱锥的性质及截面性质判断，故选D.
以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是（ ）
A.球的三视图总是三个全等的圆
B.正方体的三视图总是三个全等的正方形
C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形
D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆
解：
几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆.故选A.
将正方体（如图a所示）截去两个三棱锥，得到图b所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）
解：
还原正方体知该几何体侧视图为正方形，AD1为实线，B1C的正投影为A1D，且B1C被遮挡为虚线.故选B.
（）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________.
解：
所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故填2π.
已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________.
解：
如图所示是实际图形和直观图.
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图中作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，则C′D′＝O′C′＝a.
∴S△A′B′C′＝A′B′×C′D′＝×a×a＝a2.故填a2.
类型一 空间几何体的结构特征
（）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱
解：
该几何体的三视图由一个三角形，两个矩形组成，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.
点拨：
解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：
①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.
某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
解：
D选项的正视图应为如图所示的图形.故选D.
类型二 空间几何体的三视图
如图所示的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.
解：
由三视图可知，
该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为5cm，6cm，三棱锥的高为hcm，则三棱锥的体积为V＝××5×6×h＝20，解得h＝4cm.故填4.
点拨：
对于空间几何体的考查，从内容上看，锥的定义和相关性质是基础，以它们为载体考查三视图、体积和棱长是重点.本题给出了几何体的三视图，只要掌握三视图的画法“长对正、高平齐，宽相等”，不难将其还原得到三棱锥.
（）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为__________.
解：
该三棱锥的直观图如图所示，
易知PB⊥平面ABC，PB＝2，AB＝2，AC＝BC＝，则有PA＝＝2，PC＝＝，故最长棱为PA.故填2.
类型三 空间多面体的直观图
如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.
解：
由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥.
画法：
（1）画轴.如图1，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
图1
（2）画底面.利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取O′使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线
O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′.
图2
（3）画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度.
（4）成图.连接PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图2所示.
点拨：
根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法，建立x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，确定几何体在x轴、y轴、z轴方向上的长度，最后连线画出直观图.
已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）
A.B.6C.D.2
解：
因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为，根据斜二测画法的规则，原图底面的底边长为1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即2，则原图底面积为S＝2.因此该四棱锥的体积为V＝Sh＝×2×3＝2.故选D.
类型四 空间旋转体的直观图
用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长.
解：
设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r，4r.
根据相似三角形的性质得，
＝，解得l＝9.
所以，圆台的母线长为9cm.
点拨：
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解.
（）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A.1B.2C.3D.4
解：
该几何体为一直三棱柱，底面是边长为6，8，10的直角三角形，侧棱为12，其最大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径r，由等面积法可得×（6＋8＋10）·r＝×6×8，得r＝2.故选B.
1.在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系.
2.正多面体
（1）正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成.
（2）如图，
在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1B，BC1，A1C1，DC1，DA1，DB，可以得到一个棱长为a的正四面体A1BDC1，其体积为正方体体积的.
（3）正方体与球有以下三种特殊情形：
一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体.它们的相应轴截面如图所示（正方体的棱长为a，球的半径为R）.
3.长方体的外接球
（1）长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即＝2R.
（2）棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a＝2R.
4.棱长为a的正四面体
（1）斜高为a；
（2）高为a；（3）对棱中点连线长为a；
（4）外接球的半径为a，内切球的半径为a；
（5）正四面体的表面积为a2，体积为a3.
5.三视图的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度.由此得到：
主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等.
6.一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化，注意原图与直观图中的“三变、三不变”.
三变：
坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变（减半），图形改变.
三不变：
平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变.
1.由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是（ ）
A.六棱锥
B.六棱台
C.六棱柱
D.非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体
解：
平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体符合棱柱的定义，故选C.
2.下列说法中，正确的是（ ）
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其它侧面也是矩形
C.正方体的所有棱长都相等
D.棱柱的所有棱长都相等
解：
棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其它侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C正确.故选C.
3.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）
A.一个圆台、两个圆锥
B.两个圆台、一个圆柱
C.两个圆台、一个圆锥
D.一个圆柱、两个圆锥
解：
把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥.故选D.
4.（）一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）
解：
由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成，从上往下看，外层轮廓线是一矩形，矩形内部有一条线段连接两个三角形.故选B.
5.（）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台
解：
由俯视图可知该几何体的上、下两底面为半径不等的圆，又∵正视图和侧视图相同，∴可判断其为旋转体.故选D.
6.（）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A.6B.4C.6D.4
解法一：
如图甲，设辅助正方体棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥DABC，最长的棱为AD＝6.
解法二：
将三视图还原为三棱锥DABC，如图乙，易知侧面DBC⊥底面ABC.点D在底面ABC的射影点O是BC的中点，△ABC为直角三角形.∵AB＝4，BO＝2，∴AO＝2，DO⊥底面ABC，∴DO⊥AO，DO＝4，∴最长的棱AD＝＝6.故选C.
7.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________.
解：
由正视图知，三棱柱是底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为2××2×2×＝2，侧面积为3×2×1＝6，所以其表面积为6＋2.故填6＋2.
8.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的半径是____________.
解：
由三视图可知该组合体为球内接棱长为2的正方体，∴正方体的体对角线为球的直径，即2r＝＝2，r＝.故填.
9.如图a是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图.
解：
图a中几何体三视图如图b所示：
10.如图1是某几何体的三视图，试说明该几何体的结构特征，并用斜二测画法画出它的直观图.
解：
图1中几何体是由上部为正六棱柱，下部为倒立的正六棱锥堆砌而成的组合体.
斜二测画法：
（1）画轴.如图2，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝∠yOz＝90°.
（2）画底面，利用斜二测画法画出底面ABCDEF，在z轴上截取O′，使OO′等于正六棱柱的高，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′E′F′.
（3）画正六棱锥顶点.在Oz上截取点P，使PO′等于正六棱锥的高.
（4）成图.连接PA′，PB′，PC′，PD′，PE′，PF′，AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图3所示.
注意：
图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
11.某长方体的一条对角线长为，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为，在该长方体的侧视图与俯视图中，这条对角线的投影长分别为a和b，求ab的最大值.
解：
如图，则有
AC1＝，DC1＝，
BC1＝a，AC＝b，
设AB＝x，AD＝y，AA1＝z，有
x2＋y2＋z2＝7，x2＋z2＝6，∴y2＝1.
∵a2＝y2＋z2＝z2＋1，b2＝x2＋y2＝x2＋1，
∴a＝，b＝.
∴ab＝≤＝4，
当且仅当z2＋1＝x2＋1，即x＝z＝时，ab的最大值为4.
水以匀速注入某容器中，容器的三视图如图所示，其中与题中容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象是（ ）
解：
由三视图知其直观图为两个圆台的组合体，水是匀速注入的，所以水面高度随时间变化的变化率先逐渐减小后逐渐增大，又因为容器的对称性，所以函数图象关于一点中心对称.故选C.
§8.2 空间几何体的表面积与体积
1.柱体、锥体、台体的表面积
（1）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S直棱柱侧＝__________，S正棱锥侧＝__________，S正棱台侧＝__________（其中C，C′为底面周长，h为高，h′为斜高）.
（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________，S圆台侧＝________
（其中r，r′为底面半径，l为母线长）.
（3）柱或台的表面积等于________与__________的和，锥体的表面积等于________与__________的和.
2.柱体、锥体、台体的体积
（1）棱柱、棱锥、棱台的体积
V棱柱＝__________，V棱锥＝__________，V棱台＝__________
（其中S，S′为底面积，h为高）.
（2）圆柱、圆锥、圆台的体积
V圆柱＝__________，V圆锥＝__________，V圆台＝__________
（其中r，r′为底面圆的半径，h为高）.
3.球的表面积与体积
（1）半径为R的球的表面积S球＝________.
（2）半径为R的球的体积V球＝________,________）.
自查自纠：
1.
（1）Ch Ch′ h′
（2）2πrl πrl π（r＋r′）l
（3）侧面积 两个底面积 侧面积 一个底面积
2.
（1）Sh Sh h
（2）πr2h πr2h πh
3.
（1）4πR2
（2）πR3
圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为（ ）
A.6π（4π＋3）
B.8π（3π＋1）
C.6π（4π＋3）或8π（3π＋1）
D.6π（4π＋1）或8π（3π＋2）
解：
分两种情况：
①以边长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，r＝2，∴S底＝πr2＝4π，S侧＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π（3π＋1）；②以边长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，r＝3.∴S底＝πr2＝9π，S表＝2S底＋S侧＝18π＋24π2＝6π（4π＋3）.故选C.
正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）
A.B.C.D.
解：
∵正三棱锥的侧面均为直角三角形，故侧面为等腰直角三角形，且直角顶点为棱锥的顶点，∴侧棱长为，V＝××（）2×＝.故选C.
（）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是（ ）
A.B.C.6D.7
解：
如图示，
由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积
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