水上行走机器人腿部静力学分析Word文档格式.docx

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Staticsanalysisonthelegofwaterstriderrobot

WangShuhui（SchoolofAutomationScienceandElectricalEngineering,BeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Beijing100191,China

WuLicheng

（CollegeofInformationEngineering,CentralUniversityforNationalities,Beijing100081,China

Abstract:

Asabionicrobotofthewaterstrider,waterstriderrobotstaysafloatandstrideonwatersur⁃

facereliesonsurfacetensionprovidedbythelegs.Staticsanalysiscouldbeusedtocalculatetherobot’sloadcapacityandthentodefinethecriterionsfordesigningthesupportingleg.Astaticmodelofthesupportinglegwasbuiltfirstandthesurface⁃breakingcondition,namelytheconditionforgettingmaximumsurfacetension,

wasanalyzed.Thenthemethodsforcalculatingthesupportingforceandthemaximumalloweddepththatthelegpushesthewaterwereproposedrespectively.Utilizingtheproposedmodelandmethods,thecurvesbe⁃tweensurfacetensionandcontactangleofseveralkindsofmaterialswerefiguredbyusingoftheMatlabpro⁃gram.Thesupportingforceandthemaximumalloweddepthofthelegwithseveralkindsofmaterialswerecal⁃culated.Thevalidityoftheproposedmodelsandmethodswereverifiedbycomparingthecalculationwithsomeexperimentalvalues.

Keywords:

waterstriderrobot;

surfacetension;

statics

　　文献[1]最早介绍了WaterStrider机器人有6条腿,均由Φ0.2mm规格的不锈钢丝制成,其结构简陋,运动能力有限,但作为全世界第1个能够在水面站立和移动的机器人备受关注,其相关理论研究和实验结果在‘Nature“上发表并配发了评论文章[2].文献[3]WaterWalker机器人腿部由8条2英寸长涂有防水塑料的钢丝构成.文献

[4]提出新的电机驱动水面漂浮机器人原型,为提高支撑能力,有12条支撑腿.文献[5]WaterDancer和本文的WaterDancerⅡ,腿部均由Φ0.2mm规格的不锈钢丝制成,其中WaterDancerⅡ采用双电机驱动,自带能源和控制器,可通过红外信号实现遥控转向和调速.

水上行走机器人主要依靠表面张力在水面上

站立和行走,详细分析腿部的受力情况对机器人的设计非常必要.建立水上行走机器人腿部的静态模型,分析计算腿部支撑力大小以及支撑力与接触角关系曲线,对于机器人支撑腿设计以及载重能力分析至关重要.文献[6]只给出了支撑力与接触角关系曲线仿真结果,没有计算支撑力大小.文献[7]只给出计算支撑力大小的实验结果,缺乏必要的理论计算,设计所需要的计算方法和数据都没有阐述.本文建立了水上行走机器人支撑腿的数学模型,根据Young⁃Laplace方程建立了接触面的控制方程,分析了表面张力最大值条件即水面打破条件.提出了腿部支撑力及其最大允许入水深度的计算方法,并进行了仿真分析.

1　支撑腿的数学模型

为分析计算机器人支撑腿与水面接触产生的表面张力,计算机器人的支撑力大小,建立了支撑腿及其与水面接触情况的数学模型.

1.1　问题描述

水上行走机器人为仿生水黾,其支撑腿一般为不锈钢或碳纤维材料的圆截面细丝,与水面接触部分呈直线形状.因此假设支撑腿是刚性的细长圆柱体,与水的接触角θc,不失一般性取单位长度进行分析.支撑腿与水面接触,并将水面下压一定深度,圆柱体中心轴保持水平,由于腿的长度远大于腿的截面直径,可假设圆柱体两端没有复杂的边缘效应,则可以简化为二维求解,如图1.

z=0水面;

S1z=0以下,物体与水接触面之上的面积;

S2z=0以下,空气与水接触面之上的面积;

x0三相接触点的横坐标;

z0腿部从水面下降的深度;

r圆柱体半径;

R1接触面某点的曲率半径;

θ接触面某点的倾斜角;

θ0三相接触点的θ值;

ϕ物体下降角度;

γ水的表面张力;

p静态水压.

图1　支撑腿模型示意图

物体置于液面且未打破液面时,同时受到液体的表面张力和浮力的作用[8].令Fb和Fs分别为浮力和表面张力产生的支撑力,则物体获得的支撑力为

F=Fb+Fs（1　　Fb可以由积分得到,即p在圆柱体和水的接触面上的积分.Fs为γ的垂直分量,可简称为表面张力支撑力.文献[8]证明了Fb和Fs分别等于z=0以下,物体和空气与水的接触面以上部分水的重量,也就是说,Fb和Fs分别与S1和S2成正比,即Fb=∫ϕ0pcosϕ㊃rdϕ=ρgS1=　ρg（-2z0rsinϕ+r2ϕ-r2sinϕcosϕ（2

Fs=2γsinθ0=ρgS2（3式中,ρ为水的密度;

g为重力加速度.

由Young⁃Laplace方程[9],空气和水的接触面上的某一点处p可表示为

p=γ（1/R1+1/R2（4式中,R2为接触面在该点处的曲率半径.由于腿部与水面接触部分的长度远大于腿的截面直径,腿是直的圆柱体,可知R2=∞,则式（4可以简化为

ρgh（x=-γ1R

=-γ

dx2h（x

1+ddxh（x

（

[]232

（5式中,z=h（x为空气和水接触面的曲线方程,由于z<

0,方程中出现-”号,其边界条件为

dxx=x0=tanθ0（6

h（∞=0（7式中,x0为水㊁空气和圆柱体的三相交界点的x坐标值,因此有如下关系:

x0=rsinϕ（8

ϕ=π+θ0-θc（9式中,θc为腿部材料与水的接触角.

若已知ϕ值,则由式（8和式（9求出x0和θ0,可由式（3得到Fs.再由式（5~式（7解出h（x,求出z0=h（x0,由式（2可得Fb.因此给定ϕ值,即可计算出F.下文通过对水面打破条件的分析,讨论ϕ值的计算问题.

1.2　最大表面张力支撑力

由图1可见,当腿部压入水面越来越深,即圆柱体沿z方向不断下降时,固液气三相交界点沿着腿部表面不断上移.当腿部两边的固液气三相交界点相遇在腿部顶端（即ϕ=180°

时,两边液面相遇,腿部被水淹没,即水面被打破.随着腿部压入水面越深,腿部作用于液体表面的压力越大.当这一压力达到极限,即支撑力取得最大值时,即使腿部两边的液面还未相遇,水面也可能被直接刺破,此时ϕ达到某个临界值.水面打破时ϕ的取值与θc有关,可如图2进行分析.

随着支撑腿从平静水面压入深度的增加,θ0

7711

　第10期　　　　　　　　　　　　　王淑慧等:

从零不断增大,ϕ角亦然.对于θc<

90°

的材料如图

2a所示,当θ0=θc时,由式（9知ϕ=180°

物体两边液面相遇,水面处于打破前极限状态.θc=90°

的材料如图2b所示,当θ0=θc=90°

时,由式（9

可知ϕ=180°

物体两边液面相遇,水面处于打破前极限状态.而θc>

的材料,当θ0=90°

时,由式（3可知表面张力支撑力取得最大值,由式（9可知此时ϕ=270°

-θc.由于水上行走机器人的腿部为细丝,自身重量和浮力都很小,支撑力主要就是表面张力支撑力[10].因此认为此时F也取得最大值,水面处于打破前的极限状态.

　a　θc<

　b　θc=90°

c　θc>

图2　水面打破前极限位置示意图

根据上述对水面打破条件的分析,可以定义水面打破时的ϕ值为

ϕmax=

180°

　θc<

270°

-θc

　θc≥{

（10

即ϕ可以在0到ϕmax之间取值.代入式（9可知,对于θc<

的材料,θ0只能在0到θc之间取值.而对于θc≥90°

的材料,可以有θ0=90°

.由式（3可求得支撑腿能获得的最大表面张力支撑力为　Fs,max=

2γsinθc　θc<

θ0=θc

2γ

　θc≥90°

θ0={

　（11

　　根据式（11,若已知腿部材料和长度,即可计算出机器人能获得的Fs,max.因此该式可用于机器人支撑能力的估算,并作为支撑腿材料和长度等参数的设计依据.该式也说明,对于θc≥90°

的材料,单位长度能获得的Fs,max均为2γ,与θc的具体值无关.

水上行走机器人为仿生水黾,减少水面运动阻力,要求驱动腿在划水时也不能打破水面.为设计驱动腿,还需要分析计算驱动腿不打破水面的最大吃水深度.

2　界面方程及最大入水深度求解

理论上对式（5积分即可求得方程z=h（x.但为求解方便,本文根据其反函数形式x=f（z来求解,即由式（5有

ρgz=-γ

=-γd2

dz2

f（z1+d

f（z[

]{}

　（12

　　对式（12从0到z积分,可以得到

ρgz

=1-df（zdz

1+df（z

d（

=1-cosθ（13

定义a=2γ/ρg,则有

z=-a1-cosθ（14　　在固液气三相交界点处即为

z0=-a1-cosθ0

（15

　　化简式（13可得df（zdz=z2-a2

z2a2-z2,再积分一

次即可求得空气和水接触面的曲线方程为

arcosh2aæ

-z-2a2-z2+c（16

式中,c为积分常数.利用边界条件式（8和式（15,可解得c为

c=rsinϕ-a2

arcosh2a-zæ

0+2a

1-z2

02a

（17

　　将式（9代入式（15可得腿部压入水面的深度z0和ϕ之间的关系式为

z0=-a1-cos（ϕ+θc-π

（18

　　因此给定z0或已知ϕ,即可由式（16~式（18求得气液界面方程,并可由式（2求得Fb.由式（10可知ϕ的取值范围为[0,ϕmax],因此腿部不打破水面的最大入水深度可由式（18求得为

z0,max=

-a1-cosθcθc<

-a

θc≥{

（19

　　式（19进一步说明:

对于θc≥90°

的材料,z0,max也与θc的具体值无关.

3　仿真计算与分析

本文仿真均取水在常温20℃时的参数:

γ=

0.072N/m,g=9.81m/s2,ρ=9.98×

102kg/m3.设腿部为直径0.2mm的无限长圆截面直线形状.

3.1　气液界面求解仿真

针对不同接触角的材料,计算得到水面即将打破,即ϕ接近ϕmax时的气液界面曲线如图3.由图3可知,对于θc>

的材料,水面打破前空气

8711北京航空航天大学学报　　　　　　　　　

　　　　　2010年　

与水之间的接触面几乎是一样的.仿真验证了本文气液界面方程求解方法及相关分析的有效性

图3　不同材料在即将打破水面时的气液界面曲线

3.2　支撑力与允许入水深度计算

若机器人支撑腿采用直径D为0.2mm的不

锈钢丝,不具有疏水性,θc约为60°

.为增加Fs,可通过喷漆㊁涂蜡等方法使其成为θc超过90°

的防水钢丝.分别对这两种腿部材料计算,各参数值如表1（L为腿长度.

仿真表明采用本文模型和算法,可估算机器人支撑力和腿部最大允许入水深度等参数,作为机器人设计的依据.由表1的计算结果可见,水上行走机器人采用疏水性材料制作腿部,将可以大大提高支撑能力和驱动腿的允许吃水深度.

表1　水上行走机器人钢丝腿部支撑力（L=10mm

腿部材料θc/（°

D/mm

z0,max/mm

Fs/

（m㊃NFb/

（m㊃NF/

（m㊃N不锈钢丝600.2-2.701.180.091.27防水钢丝

≈120

0.2

-3.861.44

0.04

1.48

　　以文献[6]采用的具有良好疏水性的Teflon材料为例,θc为112°

D为0.33mm.Fs越过最大值（θ0>

时,计算结果见表2.由表2可见,若腿部在取得Fs,max之后继续增加入水深度,Fs,Fb和F都不增反降.这意味着腿部将因支撑力小于

载荷而打破水面下沉,验证了1.2节的假设.

表2　Teflon材料支撑腿ϕ>

ϕmax时的支撑力（L=10mm

θc/（°

ϕ/（°

Fs/（m㊃NFb/（m㊃NF/（m㊃Nz0/mm90

158

1.44

0.06

1.5

3.86

90.1158.11.43990.05621.4963.867921601.4390.0531.4923.995　　本文WalkDancerⅡ机器人如图4所示.

图4　WalkDancerⅡ机器人

机器人设计为10条7cm长不锈钢丝支撑腿,由表1数据可计算得F约为70m㊃N,则有效

载荷约为7g.实验中机器人站立和行走状况良好,可见本文计算方法和计算结果的正确性.

4　结　论

本文根据Young⁃Laplace方程对水上行走机器人进行了静力学分析,建立了腿部与水的接触面控制方程,分析了表面张力最大值条件即水面打破条件,提出了腿部支撑力及其最大允许入水深度的计算方法.使用Matlab编程仿真计算了几

种不同材料的表面张力与接触角关系曲线,并对水面打破条件进行了数值验证.计算了几种材料支撑腿的支撑力及其允许入水深度的最大值,并通过与实验数据相比较,验证了本文计算方法和结果的正确性.本文方法和结果可用于指导水上行走机器人腿部设计.

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（编　辑:

刘登敏

711　第10期　　　　　　　　　　　　　王淑慧等:

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