六年级上册奥数试题第13讲 填数字 全国通用含答案.docx

六年级上册奥数试题第13讲 填数字 全国通用含答案.docx

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六年级上册奥数试题第13讲填数字全国通用含答案

第13讲  填数字

知识网络

填数字就是根据已知的条件用适当的数字将算式、表格计算补齐，常通过找规律、猜想、拼凑、排除、枚举等方法解答。

重点·难点

（1）数阵图的填写关键是确定各重复点的数，以及每条边上的数的和“k”。

为确定这些数，采用的解题步骤是：

①找出重复点与“k”的关系；②根据关系式确定k的值；③通过关系式确定出各重复点的值，试填求解。

（2）解除法算式谜时，确定除数和商是关键。

填算式时，两数相乘的积的尾数及运算过程中的进位、退位都是解题的突破口。

求除数有时用“估值法”，看除数必大于某数且小于另一数，采用两边夹的方法求出来。

学法指导

（1）如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换。

另外，做题时要考虑周全。

（2）数字谜的突破口一般在于选择是否进位、退位，算式的首位及个位。

解答时一般要试验多次，注意一定要将所有可能性全部试。

最后请记住一个六位数：

142857，它的神奇之处是：

它与2、3、4、16相乘的积仍是由1、4、2、8、5、7这六个数字组成的六位数。

如142857×2＝285714，有些字谜就是根据这个数来编的。

经典例题

［例1］在下面乘法算式的空格内，各填上一个适当的数字，使算式成立。

思路剖析

在这个乘法算式中，关键是把乘数和被乘数中的空格先填出来，其他的空格根据乘法的计算法则就可以填出来了。

为了分析时叙述方便，我们设被乘数是ab5，乘数是1cd（ab5表示百位数字是a，十位数字是b，个位数字是5的三位数），原式变为如下的算式：

由乘法坚式可以看出，第一部分积2□□5=2□75，由于它的个位数字是5，所以d只能取奇数，但不能是1（是1的话，第一部分积就该是ab5了），即d可能是3、5、7、9，由第二部分乘积13□0的个位数字是0可知c只能取偶数，即C可能是2、4、6、8。

由于乘积的最高位数字是4，所以第三部分积□□□的最高位数字只能是2或3，也就是说，a=2或a=3。

（1）如果a=2，那么第一部分积的算式变为

□75，由这个算式可推得d=9，6=7，即275×9＝2475，这时求第二部分积的算式为275×c=13□0，经试验可知，无论c取任何数值这个等式都不能成立，这说明a不能取2。

（2）如果a＝3，那么求第一部分积的算式变为

×d=2□75，由这个算式可推得d=7，b=2，即325×7=2275，这时求第二部分积中的算式变为325×c=13□0，经试验可知c=4，即325×4=1300。

因此得被乘数ab5=325，乘数1cd=147，这样其余的空格根据竖式乘法法则就很容易填出来了。

解答

［例2］欢、度、国、庆各代表什么不同数时，下面四个算式同时成立。

欢+度×国+庆=11（l）

度×国+庆+欢=11

（2）

国×庆+欢-度=11（3）

庆+欢+度×国=11（4）

思路剖析

首先注意观察这些等式，看看它们有什么关系？

不难看出，第

（1）、

（2）、（4）这三个等式实质是一样的，只是相加的顺序不同而已。

因此要使四个等式同时成立，只要使

（2）、（3）两个等式同时成立就可以了，因此我们只讨论当各个汉字是什么数字时，

（2）、（3）两个等式同时成立（当然也可以讨论

（1）、（3）或（4）、（3）两式），为了讨论方便起见，我们把

（2）、（3）两个等式化简，由于

（2）、（3）这两个等式都等于11，所以有：

度×国=庆+欢=国×庆+次-度

把上面等式的两边同减去“欢”，可得

度+国+庆=国×庆-度

根据加减法逆运算关系，可得

度×国+度=国×庆-庆

据运算性质可得

度×（国+l）=庆×（国-1）（5）

试验求解：

由（5）式可以看出“国”字是个关键，所以我们先把“国”字的取值范围估算出来，然后在此基础上再来试验确定各个汉字所代表的数字。

由（5）式明显看出：

国≠0。

由

（2）、（3）式可看出国＜5，这是因为，当国≥5时其他几个汉字将无值可取。

例如，如果国=5，那么度、庆只能一个是1，一个是2。

当度=l时，庆只有取2，由

（2）式可得1×5+2+欢=11，则欢=4，代入（3）式有5×2+4-l=13≠11。

不合题意，故国≠5。

下面试验，各个汉字应该是什么数字：

如果国=1，那么由（5）式可知：

度=0，由

（2）式可得，庆+欢=11，所以有庆=2，欢=9；庆=9，欢=2；庆=3，欢=8；庆=8，欢=3；…共有8个解。

如果国=2，那么由（5）式可得：

度×3=庆，且度＜4

当度=1时，由上式可推得庆=3，代人

（2）式得l×2+3+欢=11，则有欢=6，找到一个解。

当度=2时，与国=2重复，不行。

当度=3时，由度×3=庆，可知庆=9，代入

（2）式得3×2+9+欢=11，欢无值可取，无解。

如果国=3，那么由（5）式可得：

度×2=庆，且度＜3

当度=l时，由度×2=庆，可得庆=2，代入

（2）式得欢=6，找到一个解。

当度=2时，由度×2=庆可得庆=4，代入

（2）式得欢=l，又得一个解。

如果国=4，那么由（5）式可得：

度×5=庆×3

这个等式只有当度=3、庆=5时才成立，代入

（2）式得3×4+5+欢=11，“欢”无值可取，无解。

综上可知这道题有11个解。

解答

国=l，度=0，庆=2，欢=9；

国=1，度=0，庆=9，欢=2；

国=l，度=0，庆=3，欢=8；

国=1，度=0，庆=8，欢=3；

国=l，度=0，庆=4，欢=7；

国=1，度=0，庆=7，欢=4；

国=l，度=0，庆=5，欢=6；

国=1，度=0，庆=6，欢=5；

国=2，度=l，庆=3，欢=6；

国=3，度=1，庆=2，欢=6；

国=3，度=2，庆=4，欢=1。

［例3］下列各题中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，当它们各表示什么数字时，以下各算式都成立？

解答

（1）得数1993，十位是9。

而“加”+“加”的和一定是偶数，所以个位数可能向十位进1或进3。

若个位向十位进3，“加”可能是3或8，当“加”为8时，“加”+鞭×3应为33，而（33-8）÷3除不尽，所以“加”不可能是8，又，若“加”是3，则3+鞭×3最大只可能等于30，小于33，所以“加”也不可能是3，由此可见，个位不可能向十位进3，而一定向十位进1，则：

“加”可能是（9-1）÷2=4，或（19-l）÷2=9，若“加”是4，则马=9，快=l，鞭=（13-4）÷3=3，经检验，符合题意，若“加”是9。

“鞭”应等于（13-9）÷3，结果除不尽，所以“加”不可能是9，所以要求本题惟一的解是：

（2）由3个“旦”相加的和的个数是4，可知旦=8。

又由8×3=24，向十位进了2，现在十位数字是9，可知元+元+元和的个位是9-2=7，元×3＝27，则元=9；

9×3+2=29，十位又向百位进2，现百位数字是9，可知庆+祝=7；

又因为百位不可能向千位进了数

所以庆=l，祝=6

本题的解是：

［例4］10月1日是国庆节，图1是“10、l”两个数，请把l~18这十八个数填入图中十八个空格内，要使每一横划与竖划上所填的数的和相等。

图1

思路剖析

这个数阵图共有6划，中间“0”的四个顶点上的数，与每个笔划上所填数的和是关键。

我们设四个顶点上的数分别是a、b、c、d（如图2所示），每个笔划上所填数的和都是k。

图2

可以得出：

6k=（l+2+3++…+18）+（a+b+c+d）

6k=171+a+b+c+d

得k＝（171+a+b+c+d）÷6（l）

a+b+c+d=6k-171

（2）

当a+b+c+d取得最小值10时，由（l）式可得k=（171+10）÷6≈30．16，所以k的最小值大于30；当a+b+c+d取得最大值66时，k=（171+66）÷6=39．5，所以k的最大值等于39，因此k=31，32，33，…，39。

解答

由上面分析可知此题的解很多，我们只举其中的两解如下：

（1）当k=34时，由

（2）式可得a+b+c+d=6×34-171=33。

因为，6+8+9+10=33，经试验可知，当a=6、b=8、c=9、d=10时，可得一个基本解。

（2）当k=35时，由

（2）式可得a+b+c+d=6×35-171=39。

因为5+6+12+16=39。

经试验可知当a=5，b=6，c=12，d=16时，可得一个基本解。

此题两个基本解如图3和图4所示。

［例5］请找出6个不同的自然数，分别填入下面的方框中，使下面的等式成立。

思路剖析

本题的解答方法很多，要写出所有解答不是一件容易的事，但只求一组解并不困难，下面仅列三种解答方法。

解答

☆解法一：

因为

=

=

=

=

=

所以

☆解法二：

我们注意到

，在这个等式两边同除以3就得

，因为

即

所以

☆解法三：

我们在计算分数加减法时，运用到了一个拆分公式：

，

，可以很容易地把任一个单位分数写成另两个单位分数的和。

所以

=

=

=

=

即；

［例6］在下面的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母使加法坚式成立。

思路剖析

先看竖式的个位。

由Y+N+N＝Y得Y+0或Y+10推知N要么是0，要么是5。

如果N＝5，那么要向上进位，由坚式的十位加法有T＋E＋E＋1=T或T＋10，则E=4．5不行，所以N≠5，N=0。

此时，由竖式的十位加法T+E+E＝T或T+10，E不是0就是5，但是N=0，所以E=5。

和的千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。

因为N＝0，所以I≠0，推知I＝1，O＝9，说明百位加法向千位进2。

再看竖式的百位加法。

因为十位加法向百位进1，百位加法向千位进2，且X≠0或1，所以B+T+T+1≥22再由R、T都不等于9知，T只能是7或8。

若T=7，则R=8，X=3，这时只剩下数字2、4、6没有用过，而S只比F大1，S、F不可能是2、4、6中的数，矛盾。

所以T=8，则R只能取6或7。

R=6时，X=3，这时只剩下2、4、7，同上理由，出现矛盾；R=7时，X=4，剩下数字2、3、6可取F=2，S=3，Y=6。

解答

由上述分析可知所求竖式为：

点津

解这类题目，要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。

这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题，坚式中从上到下的四个词分别是40、10、10、60，而40+10+10正好是60，真是巧极了！

[例7]不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。

下列算式中的汉字各代表什么数字时，算式成立。

思路剖析

从积的位数上看，积仍是五位数，说明“我=l”，那么“学”可能是5、6、7、8、9。

如果“学”=5，从积的个位看，“数”也是5，与题意不符。

如果“学”=6，从个位开始分析：

“数”=0，“爱”=3，“热”=5，“们”=6，与“学”重复。

如果“学”=7，从个位开始分析：

“数”=5，“爱”=8，“热”=2，“们”=4，符合题意。

如果“学”=8，从个位开始分析：

“数”=0，“爱”=4，“热”=0，与“数”重复。

如果“学”=9，“数”=5，“爱”=9，与“学”重复。

解答

由上述分析可得

即：

我=1们=4热=2

爱=8数=5学=7

发散思维训练

1．在图5的7个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数，现在已经填好两个数，那么x是多少？

2．在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。

请你用适当的数字代替字母，使坚式成立。

3．下面等式中每一个汉字代表一个数字，相同汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请你写出各汉字代表的数字。

参考答案

发散思维训练

1．解：

将题中余下的四个圆圈分别标上A、B、C、D，如答图l。

依题意可知：

D=（l3+17）÷2＝15

C是A和D的平均数，也是B和17的平均数，所以：

A+D＝B+17，即A+15=B+17，也就是说，A比B大2，而B是A和13的平均数，所以，B=13+2=15，A=17，D=15，C=（A+D）÷2=16，x=19。

2．解：

（1）由百位加法知，A=B+l；再由十位加法A+C=B+10，推知C=9，进而得到A=5，B=4（见式①）。

（2）由千位加法知B=A-l，再由个位减法知C=9。

因为十位减法向百位借1，百位减法向千位借1，所以百位减法是

（l0+B-l）-A=A

化简为9+B=2A，将B=A-1代入，得A=8，B=7（见式②）。

3．解：

（1）兵=5、炮=2、马=4、卒=0、车=l

（2）祖=l、冲=2、之=3、杯=4、数=6、学=7、竞=8、赛=9

（3）扬=l、子=7、晚=6、报=2

（4）喜=l、欢=3、惊=9