习题参考解答.doc
《习题参考解答.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《习题参考解答.doc（25页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
《数学建模》习题解答
第一章
部分习题
3（5）.决定十字路口黄灯亮的时间长度.
4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.
5.模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：
人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.
6.利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：
（1）分段的指数增长模型.将时间分为若干段，分别确定增长率r.
（2）阻滞增长模型.换一种方法确定固有增长率r和最大容量xm.
7.说明1.5节中Logistic模型（9）可以表示为，其中t0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t0与r，xm的关系.
8.假定人口的增长服从这样的规律：
时刻t的人口为x（t），t到t+△t时间内人口的增量与xm-x（t）成正比（其中为xm最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.
9（3）.甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。
甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。
问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
参考答案
3（5）.司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离，设通过十字路口的距离为，汽车行驶速度为，则黄灯的时间长度应使距停车线之内的汽车能通过路口，即
其中s1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.
4.相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为，将椅子旋转，其余作法与1.3节相同.
5.人、猫、鸡、米分别记为，当在此岸时记，否则记，则此岸的状态可用表示。
记的反状态为，允许状态集合为及他们的5个反状态
决策为乘船方案，记作，当在船上时记，否则记，允许决策集合为
记第次渡河前此岸的状态为，第次渡河的决策为，则状态转移律为，设计安全过河方案归结为求决策序列，使状态按状态转移律由初始状态经步达到。
一个可行的方案如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
6
（1）.分段的指数增长模型
根据1.5节表3中的增长率将时间分为三段：
1790年至1880年平均年增长率2.83%；
1890年至1960年平均年增长率1.53%；
1970年至2000年平均年增长率1.12%.
三段模型为（1790年为t=0，1880年为t=1，⋯）
x1（t）=3.9e0.283t，t=0,1,⋯,10
x2（t）=x1（10）e0.153（t-10），t=11,12,⋯,18
x3（t）=x2（18）e0112（t-18），t=19,20,⋯,22
6
（2）.阻滞增长模型
可以用实际增长率数据中前5个的平均值作为固有增长率r，取某些专家的估计400百万为最大容量xm，以1790年的实际人口为x0，模型为1.5节的（9）式。
以上两个模型的计算结果见下表：
年
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
实际人口
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
模型
（1）
3.9
5.2
6.9
9.1
12.1
16.1
21.3
28.3
模型
（2）
3.9
5.2
7.0
9.4
12.6
16.7
22.2
29.3
（续表）
年
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
1940
实际人口
38.6
50.2
62.9
76.0
92.0
106.5
123.2
131.7
模型
（1）
37.5
49.8
66.1
77.0
89.7
104.6
121.9
142.0
模型
（2）
38.4
49.9
64.1
81.2
101.3
124.1
149.0
174.9
（续表）
年
1950
1960
1970
1980
1990
2000
实际人口
150.7
179.3
204.0
226.5
251.4
281.4
模型
（1）
165.5
192.9
224.7
251.4
281.2
314.5
模型
（2）
200.9
225.8
248.6
268.7
285.9
300.1
7.
注意到t=t0时,立即可得
，
且，.
8.
其中r为比例系数。
解上述初值问题得:
，
如下图中实线所示：
xm
t
x
0
x0
xm/2
当t充分大时，它与Logistic模型相近。
9（3）.
不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是：
8:
00,8:
10,8:
20,⋯,
那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是：
8:
09,8:
19,8:
29,⋯.
第二章
部分习题
3.在2.5节中考虑8人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg）和轻量级组（桨手体重不超过73kg）建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%
9.用宽布条缠绕直径的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大（如图）。
若知道长度，需用多长的布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其它形状呢
16.雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：
运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式
17.原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播，据分析在时刻冲击波达到的半径与释放的能量，大气密度，大气压强有关（设时）用量纲分
析方法证明，是未定函数
参考答案
3.由模型假设3，划桨功率与体重成正比，而桨手数不变，所以2.5节
（2）式改为。
记重量级组和轻量级组的体重、艇速、比赛成绩和艇的浸没面积分别为，则。
估计的大小：
重量级组体重大，会使浸没面积增加，单艇身略大，又会使浸没面积减少，因而不会超过1.05。
代入，可得.
9.将管道展开如图，可得，若一定，若管道长度为，不考虑两端的影响时布条长度显然为，若考虑两端的影响，则应加上，对于其他形状管道，只需将改为相应的周长即可
16.设解得
于是，是未定函数.
17.设解得于是.
第三章
部分习题
1.在3.1节存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优定货周期和定货批量。
证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优定货周期和定货批量都比原来结果减小
3.在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。
4.在3.4节`最优价格模型中，如果考虑到成本随着产量的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型。
7.要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高（颈部以下），宽厚，设跑步距离
跑步最大速度，雨速，降雨量，记跑步速度为，按以下步骤进行讨论；
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为，如图1建立总淋雨量与速度及参数之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算时的总淋雨量。
（3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为，如图2建立总淋雨量与速度及参数之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算时的总淋雨量。
（4）以总淋雨量为纵轴，速度为横轴，对（3）作图（考虑的影响），并解释结果的实际意义。
（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。
参考答案
1.设购买单位重量货物的费用为，对于不允许缺货模型，每天平均费用为，的最优结果不变，对于允许缺货模型，每天平均费用为，利用，可求出的最优结果为
，均不考虑费用时的结果减小.
3.不妨设，表示火势越大，灭火速度越小，分母中的1是防止时而加的，最优解为
.
4.不妨设，是产量增加一个单位时成本的降低，最优价格为.
7.
1）全身面积，淋雨时间，降雨量，所以总淋雨量升
2）顶部淋雨量；雨速水平分量，方向与相反，合速度，迎面单位时间、单位面积的淋雨量，迎面淋雨量，所以总淋雨量。
时最小，升。
升。
3）与2）不同的是，合速度为，于是总淋雨量
，若即，则时最小。
否则时最小（见下图）当升最小，可与升相比.
4）雨从背面吹来，只要不太大，满足（即可），最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨.
5）再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化.
第四章
部分习题
2.一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：
千人）已经表示在图上，每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所供应的大学生的数量最大？
建立该问题的整数线性规划模型并求解
3.某储蓄所每天的营业时间是上午9:
00到下午5:
00,根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：
时间段（时）
9—10
10—11
11—12
12—1
1—2
2—3
3—4
4—5
服务员数量
4
3
4
6
5
6
8
8
储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员，全时服务员每天报酬100元，从上午9:
00到下午5:
00工作，但中午12:
00到下午2:
00之间必须安排1小时的午餐时间，储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元，问该储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员？
如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？
如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？
6.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A，B），按照生产工艺要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A、B。
已知，原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3，1，2，1（%），进货价格分别为6，16，10，15（千元/吨）；产品A、B的含硫量分别不能超过2.5，1.5（%）,售价分别为9，15（千元/吨），根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量有限制，原料丁的供应量最多为50吨；产品A、B的市场需求分别为100，200吨，问应如何安排生产？
参考答案
2.将大学生数量为34，29，42，21，56，18，71的区分别标号为1，2，3，4，5，6，7区，划出区与区之间的如下相邻关系图：
记为第区的大学生人数，用0-1变量表示区的大学生由一个销售代理点供应图书，否则,建该问题的整数线性规划模型
即
用LINDO求解得到：
最优解为（其他为0）最优值为177千人.
3.设储蓄所每天雇佣的全时服务员中以12：
00～为午餐时间的有名，以1：
00～2：
00为午餐时间的有名；半时服务员中从9：
00，10：
00，11：
00，12：
00，1：
00开始工作的分别为名，列出模型：
（1）求解得到最优解,最小费用为820元。
（2）如果不能雇佣半时服务员，则最优解为，最小费用为1100远，即每天至少增加1100-820=280元。
（3）如果雇佣半小时服务员的数量没有限制，则最优解为，最小费用为560元，既每天可以减少820-560=260元。
6.设分别是产品中是来自混合池和原料丙的吨数，分别是产品中是来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲乙丙所占的比例分别为。
优化目标是总利润最大，即
约束条件为:
1）原料最大供应量限制：
2）产品最大需求量限制：
3）产品最大含硫量限制：
对产品，即
对产品B,
4）其他限制：
用求解得到结果为：
其余为0；目标函数值为450.
第五章
部分习题
1.对于5.1节传染病的SIR模型，证明：
（1）若，则先增加，在处最大，然后减少并趋于零；单调减少至。
（2）若，则单调减少并趋于零，单调减少至。
9.在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率和生育模式是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
*16.建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为，出手高度为出手角度为（与地面夹角），建立投掷距离与的关系式，并在一定的条件下求最佳出手角度。
参考答案
1.模型（14）式可写作由后一方程知单调减少。
1）若，当时，增加；当时，达到最大值；当时，减少且
2）若，单调减少至零
9.一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率；晚婚晚育相当于生育模式中（5。
6节（13）式）使和增大；生育第2胎一些规定可相当于略高于1，且曲线（5。
6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）
*16.在图中坐标下铅球运动方程为
解出，后，可以求得铅球掷远为
这个关系还可表为
由此计算，得最佳出手角度，和最佳成绩设，，则，.
第六章
部分习题
2.与模型不同的另一种描述种群增长规律的是模型；，其中和的意义与模型相同。
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为，讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平
3.在6.3节种群竞争模型中设，求平衡点并分析其稳定性
11.一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物，爬行动物以哺乳动物为食物，哺乳动物又依赖植物生存，在适当假设下建立三者之间关系的模型，求平衡点
12.大陆上物种数目可以看作常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移，岛上物种数量的增加与尚未迁移的物种数目有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少，在适当假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。
参考答案
2.模型为：
，如图所示，有2个平衡点：
和。
可证不稳定，稳定（与的大小无关）最大持续产量为，获得的
3.在条件下，记即。
有3个平衡点：
，，。
不稳定；时，不稳定，稳定；时，反之
11.植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作，若不考虑自然资源对植物生长的限制，则模型为
式中常数可作类似6.5节的解释，平衡点为点中和的结果与6.5节相同。
12.记岛上物种数为，大陆上物种数为。
设的增加率与尚未迁移的物种数成正比，同时的减少率与已迁移的物种数成正比，则
稳定状态时.
第七章
部分习题
1
（1）.对于7.1节的蛛网模型讨论：
因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第可时段的价格由第和第时段的数量和决定。
如果仍设仍只取决于，给出稳定平衡的条件，并于7.1节的结果进行比较
6.在7.4节按年龄分组的种群增长模型中，证明当时间充分长以后若总和繁殖率，则种群增长，若则种群减少。
参考答案
1
（1）.简单地假设由和的平均值决定，模型为
得，与7.1节（B）的结果相同，平衡点稳定的条件仍为.
6.由7.4节定理1及（11）式可知，是的充分条件。
又因（11）式可写作：
，所以当时，必有；当时，。
反之，亦有时；时。
再由（15）式即得时，种群增长；时种群减少.
第八章
部分习题
2.对于n阶成比例阵,设a=,,其中是对应与最大特征根的特征向量，表示a在一致性附近的扰动，若为方差的随机变量，证明一致性指标
5.为减少层次分析法中的主观成分，可请若干专家每人构造成对比较阵，试给出一种由若干个成对比较阵确定权向量的方法
7.右图是5位网球选手循赛的结果。
作为竞赛图，它是双和向连通的吗？
找出几条完全路径，
用适当排出5位选手的名次。
16.奇数个席位的理事会由三派组成，议会表决实行过半数通过方案，证明在任一派都不能操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权重都是一样的。
参考答案
2.记的特征根为，由和可得。
注意到，一致性指标为
5.设有个专家的成对比较矩阵，要给出综合的权向量，方法很多，如
方法一：
由求出权向量。
再求几何平均值，
是第个专家的加权因子，满足
最后归一化为.
方法二：
先取的几何平均，得到综合的成对比较阵，同上，再由计算权向量.
7.竞赛图是双向连通的，等都是完全路径，图的邻接矩阵为：
各级得分向量为。
由此可知，名次为（选手1和4名次相同）。
这个结果也可由计算的最大特征根和对应特征向量得到
.
16.设三派的席位分别为，记（奇数），任一派不能操纵表决，即，于是，即任两派的席位过半数。
显然三派的权重都是一样的各占.
第九章
部分习题
4.商店要订购一批商品零售，设购进价c1，售出价c2，订购费c0（与数量无关），随机需求量r的概率密度为p（r）,每件商品的贮存费为c3（与时间无关），问如何确定订购量才能使商品的平均利润最大，这个平均利润是多少。
为使这个平均利润为正值，需要对订购费c0加什么限制.
7.在9。
4节给出的例子中，若l=2.0m不变，现均方差减为=10.cm，问均值m应为多大，每得到一根成品材的浪费量多大（与原来的数值相比较）
参考答案
4.设订购量为，则平均利润为
的最优值满足
最大利润为为使这个利润为正值，应有
7.解（13）得。
再由（11），（18）式，此即最佳均值
又可算出，每一根成品材的浪费量为，比原来的减少甚多.
第十章
部分习题
7.下表给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（元）的数据，从散点图可以明显地发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降，希望你构造一个合适的回归模型全面地描述生产批量与单位成本的关系.
生产批量
650
340
400
800
300
600
720
480
440
540
750
单位成本
2.48
4.45
4.52
1.38
4.65
2.96
2.18
4.04
4.20
3.10
1.50
参考答案
7.生产批量与单位成本分别记作和，为表示在500以上和以下时，与的不同关系，引入一个虚拟变量，令，建立线性回归模型，得到的结果为
参数
参数估计值
置信区间
生产批量小于500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047元；生产批量超过500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047+0.0036=0.0083元
从散点图看，似乎也可以拟合的二次回归模型，不妨一试.
第十一章
部分习题
1.在11.2节中将钢琴销售的存贮策略修改为：
当周末库存量为0或1时订购，使下周的库存量达到3架；否则不订购。
建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量.
7.设等级结构的转移矩阵仍由11.4节（16）式给出，理想的结构为，证明（稳定域），若初始结构为用11.4节介绍的问题的解法求调入比例，使尽量接近.
参考答案
1.仍以第周初的库存量为状态，需求概率不变，容易算出状态转移概率矩阵为。
稳态概率分布为，稳态下失去销售机会的概率，每周的平均销售量
7.由11.4节（17）式可立即验证。
在所给的数据下，可以算出，故令，再由，确定。
因，故令，由重新确定，故。
即调入比例，可使尽量接近，不难算出.
第十二章
部分习题
1.在12.2节生产计划制订模型中，当时求最优解。
图5中的确定可视为曲线始端在直线上变动的泛函极值问题.
参考答案
1.当，即时，原边界条件应改成。
横截条件为，由此可得。
求解得如图示:
第十三章
部分习题
4.证明红绿灯模型中左右间断线和当足够大后以相同速度向前移动
参考答案
4.对于右间断线，由13.2节
（2），（12）可得（与（21）式相同）定解条件为。
解为，其中，于是当足够大时，与（25）式表示的相同.
升级会员 