小学奥数--相遇与追及问题-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点).doc
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相遇与追及问题
教学目标
1、根据学习的“路程和＝速度和×时间”继续学习简单的直线上的相遇与追及问题
2、研究行程中复杂的相遇与追及问题
3、通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的
4、培养学生的解决问题的能力
知识精讲
一、相遇
甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么
相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间
＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间
＝速度和×相遇时间.
一般地，相遇问题的关系式为：
速度和×相遇时间=路程和，即
二、追及
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：
追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间
＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间
＝速度差×追及时间.
一般地，追击问题有这样的数量关系：
追及路程=速度差×追及时间，即
例如：
假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点（0米）处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为和，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米
三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：
（1）在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同
（2）在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。
例题精讲
模块一、直线上的相遇问题
【例1】一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。
3.5小时两车相遇。
甲、乙两个城市的路程是多少千米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：
（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．
【答案】329千米
【巩固】两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。
甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】根据相遇公式知道相遇时间是：
255÷（45+40）=255÷85=3（小时），所以甲走的路程为：
45×3=135（千米），乙走的路程为：
40×3=120（千米）.
【答案】甲走的路程为135千米，乙走的路程为120千米
【巩固】聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42米，经过20分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】方法一：
由题意知聪聪的速度是：
（米/分），两家的距离明明走过的路程聪聪走
过的路程（米），请教师画图帮助学生理解分析．
注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：
．对于刚刚学习奥数的孩子，注意引导他们认识、理解及应用公式．
方法二：
直接利用公式：
（米）．
【答案】米
【例2】大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】大头儿子和小头爸爸的速度和：
（米/分钟），小头爸爸的速度：
（米/分钟），大头儿子的速度：
（米/分钟）．
【答案】大头儿子的速度为米/分钟
【例3】、两地相距米，包子从地到地需要秒，菠萝从地到地需要秒，现在包子和菠萝从、两地同时相对而行，相遇时包子与地的距离是多少米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】包子的速度：
（米／秒），菠萝的速度：
（米／秒），相遇的时间：
（秒），包子距地的距离：
（米）．
【答案】包子距地的距离是米
【巩固】甲、乙两车分别从相距千米的、两城同时出发，相对而行，已知甲车到达城需小时，乙车到达城需小时，问：
两车出发后多长时间相遇？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度，甲车的速度是（千米／时），乙车的速度是（千米／时），则相遇时间是（小时）．
【答案】相遇时间是小时
【例4】甲、乙两辆汽车分别从、两地出发相对而行，甲车先行小时，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米，小时相遇，求、两地间的距离．
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】这题不同的是两车不“同时”．
（法）求、两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和．这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来．（千米），（千米），（千米）．
（法）还可以先求出甲、乙两车小时所行的路程和，再加上甲车小时所行的路程．
（千米），（千米）．
【答案】千米
【巩固】甲、乙两列火车从相距千米的两地相向而行，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米，乙车先出发小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：
（千米），甲、乙两车同时相对而行路程：
（千米），甲、乙两车速度和：
（千米／时），甲车行的时间：
（小时）．
【答案】小时
【巩固】甲、乙两列火车从相距千米的两地相向而行，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米，乙车先出发小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：
（千米），甲、乙两车同时相对而行路：
（千米），甲、乙两车速度和：
（千米），与乙车相遇时甲车行的时间为：
（小时）．
【答案】小时
【巩固】妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走米．妈妈走了分钟后，小红从学校出发，小红每分钟走米．再经过分钟妈妈和小红相遇．从小红家到学校有多少米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】妈妈先走了分钟，就是先走了（米）．分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和小红共同走了分钟，这一段的路程为：
（米），这样妈妈先走的那一段路程，加上后来妈妈和小红走的这一段路程，就是小红家到学校的距离．即（米）．
【答案】米
【巩固】甲乙两座城市相距千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行．货车每小时行千米，客车每小时行千米．客车在行驶中因故耽误小时，然后继续向前行驶与货车相遇．问相遇时客车、货车各行驶多少千米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】因为客车在行驶中耽误小时，而货车没有停止继续前行，也就是说，货车比客车多走小时．如果从总路程中把货车单独行驶小时的路程减去，然后根据余下的就是客车和货车共同走过的．再求出货车和客车每小时所走的速度和，就可以求出相遇时间．然后根据路程＝速度×时间，可以分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程．相遇时间：
（小时）相遇时客车行驶的路程:
（千米）相遇时货车行驶的路程：
（千米）．
【答案】千米
【巩固】甲、乙两列火车从相距千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行千米，乙列火车每小时行千米，甲列火车先开出小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】（小时）．
【答案】小时
【例5】甲、乙两辆汽车分别从、两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从地出发，乙车出发小时后两车还相距千米．甲车每小时行千米，乙车每小时行千米．求、两地间相距多少千米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】题目中写的“还”相距千米指的就是最简单的情况。
画线段图如下：
由图中可以看出，甲行驶了（小时），行驶距离为：
（千米）；乙行驶了小时，行驶距离为：
（千米），此时两车还相距千米，所以、两地间相距：
（千米）
也可以这样做：
两车小时一共行驶：
（千米），、两地间相距：
（千米），所以，、两地间相距千米．
【答案】、两地间相距千米
【巩固】甲、乙两辆汽车从A、B两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距141公里；出发后5小时，两车相遇。
A、B两地相距______公里。
【考点】行程问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】5-2=3小时，两车合走141千米，速度和=141÷3=47千米/小时，故AB相距47×5=235千米。
【答案】、两地间相距235千米
【例6】甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行．出发小时后，两人相距千米；出发小时后，两人还相距千米．问出发多少小时后两人相遇？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】根据小时后相距千米，小时后相距千米，可以求出甲、乙二人小时行的路程和为千米，即可求出两人的速度和：
（千米），根据相遇问题的解题规律；相隔距离÷速度和=相遇时间，可以求出行千米需要：
（小时）．
【答案】小时
【例7】两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走千米，另一列城铁每小时走千米，在途中每列车先后各停车次，每次停车分钟，经过小时两车相遇，求两城的距离？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】每列车停车时间：
（分）=（小时），两列车停车时间共小时，共同行驶时间：
小时，速度和：
（千米），两城距离：
（千米）．
【答案】千米
【例8】南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?
．
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）．
【答案】550千米
【巩固】南辕与北辙两位先生对于自己的目的地城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为千米/时，千米/时，那么北辙先生出发小时他们相距多少千米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（千米）．
【答案】千米
【巩固】两列火车从相距千米的两城背向而行，甲列车每小时行千米，乙列车每小时行千米，小时后，甲、乙两车相距多少千米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】因为是背向而行，所以每过1小时,两车就多相距（千米）,则小时后两车相距是：
（千米）．
【答案】千米
【巩固】两列火车从相距千米的两城背向而行，甲列车每小时行千米，乙列车每小时行千米，小时后，甲、乙两车相距多少千米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】因为是背向而行，所以两车小时后的距离是：
（千米）。
【答案】千米
【例9】两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】根据题意列综合算式得到：
（分钟），所以两个人还需要5分钟相遇。
【答案】5分钟
【巩固】两地相距400千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时比甲车多行5千米，4小时后两车相遇了吗？
为什么？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】（千米），（千米），340千米<400千米，因为两车4小时共行340千米，所以4小时后两车没有相遇．
【答案】没有相遇
【巩固】孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】注意：
“还相距”与“相距”的区别．建议教师画线段图．可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路程：
（千米），又因为还差500米，所以花果山和高老庄之间的距离：
（千米）．
【答案】千米
【巩固】两列货车从相距450千米的两个城市相向开出，甲货车每小时行38千米，乙货车每小时行40千米，同时行驶4小时后，还相差多少千米没有相遇？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】所求问题＝全程－小时行驶的路程和．路程和：
（千米），
（千米）．
【答案】千米
【巩固】甲乙两人分别以每小时6千米，每小时4千米的速度从相距30千米的两地向对方的出发地前进．当两人之间的距离是10千米时，他们走了___________小时．
【考点】行程问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，一试
【解析】有两种情况，一种是甲乙两人一共走了（千米），一种是甲乙两人一共走了（千米），所以有两种答案：
（小时）或（小时）
【答案】
【巩固】一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向而行，公共汽车每小时行千米，小轿车每小时行千米，问几小时后两车相距千米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】两车在相距千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距千米，这时两车共行的路程应为（）千米．即（小时）．需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距千米．这时两车共行的路程为千米，即（小时）．
【答案】小时
【巩固】两列火车从相距千米的两城相向而行，甲列车每小时行千米，乙列车每小时行千米，小时后，甲、乙两车还相距多少千米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】两车的相距路程减去小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程：
（千米）．
【答案】千米
【例10】甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？
（火车长度忽略不计）
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】追及路程即为两地距离240千米，速度差（千米），所以追及时间（小时）
【答案】小时
【例11】小强每分钟走米，小季每分钟走米，两人同时从同一地点背向走了分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小季追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差．路程差是两人相背运动的总路程：
（米）追及时间为：
（分钟）小强走的总路程为：
（米）
【答案】米
【例12】甲、乙两辆汽车同时从地出发去地，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米．途中甲车出故障停车修理了小时，结果甲车比乙车迟到小时到达地．、两地间的路程是多少？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】由于甲车在途中停车小时，比乙车迟到小时，说明行这段路程甲车比乙车少用小时．可理解成甲车在途中停车小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行小时，两车同时到达地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答．即：
行这段路程甲车比乙车少用的时间是：
（小时），乙车小时行的路程是：
（千米），甲车每小时比乙车多行的路程是：
（千米），甲车所需的时间是：
（小时），、两地间的路程是：
（千米）．
【答案】千米
【例13】小张和小王早晨8时整从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每小时60千米。
小王步行，速度为每小时4千米。
如果小张到达乙地后停留1小时立即沿原路返回，恰好在10时整遇到正在前往乙地的小王。
那么甲、乙两地之间的距离是_______千米。
【考点】行程问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，初试
【解析】根据分析得：
（千米）.
【答案】千米
【例14】小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米，每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校．已知小明的速度是70米/分钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】小明比小芳提前3分钟出发，则多走（米）．两家之间的所剩路程是（米），两人的速度和是（米），所剩路程需：
（分钟）走完．小明家距离学校（米）．
【答案】米
【巩固】学校和部队驻地相距千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行千米，小宙每小时行千米．当小宇走了千米后，小宙才出发．当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】追及时间为：
（小时），此时距部队驻地还有：
（千米）．
【答案】千米
【例15】甲、乙两列火车同时从地开往地，甲车小时可以到达，乙车每小时比甲车多行千米，比甲车提前小时到达．求、两地间的距离．
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有两小时的路程，因此路程差是甲车两小时的路程．
方法一：
如图：
甲车小时可以到达，乙车比甲车提前小时到达，因此，乙车到达时用了：
（小时），此时路程差为：
（千米），此时路程差就是甲车小时的路程，所以甲车速度为：
（千米/小时），、两地间的距离：
（千米）
方法二：
如图：
假设两车都行了小时，则甲车刚好到达，乙车则超出了：
（千米），这段路程正好是乙车小时走的，因此乙车速度：
（千米/小时），乙车到达时用了：
（小时），、两地间的距离：
（千米）
【答案】千米
【例16】军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？
【解析】“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟），经过20分钟可开炮射击“敌”舰.
【答案】20分钟
【巩固】在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以千米/小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控，向前冲去（车速不变）．在它鸣笛示警后秒钟撞上了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车相距多少米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】走美杯
【解析】这是一道“追及问题”．根据追及问题的公式，追及时间路程差时间差．由题意知，追及时间为秒钟，也就是小时，两车相距距离为路程差，速度差为（千米/时），也就是米/时，所以路程差为：
（米），所以，在这辆车鸣笛时两车相距米．
【答案】米
【例17】甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。
两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。
求A，B两地的距离。
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】相遇后甲行驶了40×3=120千米，即相遇前乙行驶了120千米，说明甲乙二人的相遇时间是120÷60=2小时，则两地相距（40+60）×2=200千米．
【答案】200千米
【巩固】甲、乙二人同时从地去地，甲每分钟行米，乙每分钟行米，乙到达地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行分钟才能到达地，、两地相距多少米？
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】相遇时甲走了距离减去（米），乙走了距离加上米，乙比甲多走了米，这个路程差需要（分钟）才能达到，这分钟两人一共行走了米．所以距离为米．
【答案】米
【例18】甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米．问：
甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到达A地?
【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答
【解析】由4时两车相遇知，4时两车共行A，B间的一个单程．相遇后又行3时，剩下的路程之和10＋80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程．所以A，B两地的距离是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。
因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70（千米），所以甲车每时比乙车多行70÷7＝10（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行50千米，乙车行40千米．行一个单程，乙车比甲车
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