版高中数学 第二章 数列 231 等比数列二 学案 新人教B版必修5.docx

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版高中数学第二章数列231等比数列二学案新人教B版必修5

2．3.1　等比数列

（二）

学习目标

　1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．

知识点一　等比数列通项公式的推广

思考1　我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：

an＝a1＋（n－1）d＝am＋（n－m）d.

等比数列也有类似变形吗？

思考2　我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？

梳理　公比为q的等比数列{an}中，an＝a1qn－1＝·qn.{an}的单调性由a1，q，q－1共同确定如下：

当或时，{an}是递增数列；

当或时，{an}是递减数列；

q＜0时，{an}中的项交替为正值或负值；

q＝1时，{an}是常数列．

知识点二　由等比数列衍生的等比数列

思考　等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是

（1）{3an}是等比数列；

（2）{3＋an}是等比数列；

（3）{}是等比数列；（4）{a2n}是等比数列．

梳理　

（1）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：

ak1，ak2，ak3，…，akn，…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比数列．

（2）如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列．

知识点三　等比数列的性质

思考　在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？

a＝a3a7是否成立？

a＝an－2an＋2（n>2，n∈N＋）是否成立？

梳理　一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at（m，n，s，t∈N＋）．

若m＋n＝2k，则am·an＝a（m，n，k∈N＋）．

类型一　等比数列性质的应用

例1　已知数列{an}为等比数列．

（1）若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；

（2）若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．

反思与感悟　在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：

结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．

跟踪训练1　

（1）在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．

（2）已知数列{an}成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

类型二　灵活设项求解等比数列

例2　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

反思与感悟　合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.

跟踪训练2　三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．

类型三　等差数列与等比数列的综合应用

例3　设数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足bn＝（m∈N＋）．

（1）若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；

（2）是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt（t∈N＋，t≥5）成等差数列？

若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由．

反思与感悟　

（1）在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．

（2）方程思想的应用往往是破题的关键．

跟踪训练3　已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．

（1）求通项公式an及Sn；

（2）设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式．

1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为（　　）

A．2B．3

C．4D．8

2．在等比数列{an}中，an>0，且a1·a10＝27，则log3a2＋log3a9等于（　　）

A．9B．6

C．3D．2

3．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．

4．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？

1．解题时，首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．

2．所谓通式通法，指应用通项公式、前n项和公式、等差中项、等比中项等列出方程（组），求出基本量．

3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，所以an＝am·qn－m（n，m∈N＋）．

思考2　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.

则an＝a1qn－1＝·qn，其形式类似于指数型函数，但q可以为负值．由于an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1），所以{an}的单调性由a1，q，q－1的正负共同决定．

知识点二

思考　由定义可判断出

（1），（3），（4）正确．

知识点三

思考　∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，

∴a1a9＝aq8＝（a1q4）2＝a，

∴a＝a1a9成立．

同理a＝a3a7成立，a＝an－2·an＋2也成立．

题型探究

类型一

例1　解　

（1）∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，

∴a＋2a3a5＋a＝36，

∴（a3＋a5）2＝36，

又∵an>0，∴a3＋a5＝6.

（2）把a＝a1a3代入已知，

得a＝8，∴a2＝2.

设前三项为，2,2q，

则有＋2＋2q＝7.

整理，得2q2－5q＋2＝0，

∴q＝2或q＝.

∴或

∴an＝2n－1或an＝23－n.

跟踪训练1　解　

（1）∵在等比数列{an}中，a1·a9＝a3·a7，

∴由已知可得a3·a7＝64

且a3＋a7＝20.

联立得或

∵{an}是递增等比数列，

∴a7>a3.

∴取a3＝4，a7＝16，

∴16＝4q4，

∴q4＝4.

∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.

（2）由a3a5＝a，得a3a4a5＝a＝8.

解得a4＝2.

又∵a2a6＝a3a5＝a，

∴a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.

类型二

例2　解　方法一　设四个数依次为a－d，a，a＋d，，

由条件得

解得

或

所以当a＝4，d＝4时，

所求四个数为0,4,8,16；

当a＝9，d＝－6时，

所求四个数为15,9,3,1.

故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

方法二　设四个数依次为－a，，a，aq（a≠0），

由条件得

解得或

当a＝8，q＝2时，

所求四个数为0,4,8,16；

当a＝3，q＝时，

所求四个数为15,9,3,1.

故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

跟踪训练2　4,8,16或16,8,4

类型三

例3　解　当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1，

当n＝1时，a1＝S1＝1，符合上式．

∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1

（n∈N＋）．

（1）由bn＝（m∈N＋）知，

b1＝，b2＝，b8＝，

∵b1，b2，b8成等比数列，

∴（）2＝×.

解得m＝9或m＝0（舍去），故m＝9.

（2）若存在m，使b1，b4，bt成等差数列，

则2b4＝b1＋bt，

∴×2＝＋，

∴t＝＝＝7＋.

由于m、t∈N＋且t≥5，

令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1，

即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数．

∴存在符合题意的m值，且共有8个数．

跟踪训练3　解　

（1）因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，

所以an＝19－2（n－1）＝－2n＋21，

Sn＝19n＋×（－2）＝－n2＋20n，

即an＝－2n＋21（n∈N＋），

Sn＝－n2＋20n（n∈N＋）．

（2）因为{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，

所以bn－an＝3n－1，

即bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21

（n∈N＋）．

当堂训练

1．A　2.C　3.8　4.不是等比数列

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