抛物线弧段，如图5.1.17所示.
图5.1.17
（二）求a的最小值.
【动感体验】
51=0是一个圆的方程.可化为25
77（x-a）2-（y-2）2=（）2，它表示一个半径为常数而圆心为（a，2）的圆.随55很明显G:
x-2ax+y-4y+a+222
着a的变化，这是一个可以左右平行移动的圆..
进入文件“09广东理B19.zjz”第二页，如图5.1.18所示，圆T表示方程
51=0对应的曲线.点T可以被拖动，水平移动圆T的25
位置.观察区域D与圆T有公共点的情况下，点T的横坐标a应满足的条件.x2-2ax-y2-4y+a2+
图5.1.18
【思路点拨】
求圆与D有公共点时的a最小值，就是求圆与线段AB相切且位于线段左侧时的a的值.
【动态解析】
如图5.1.19所示，当圆T经过点A时，将A（-1，1）代入
72626（x-a）2-（y-2）2=（）2解得：
a=-1-或a=-1+（舍去）.
555
图5.1.19
当圆T与直线l:
x-y+2=0相切时，由点到直线的距离公式得：
|a-2+2|
2=7727272，解得：
或a=.此时切点坐标为（-，a=-10555
2-7272>-1，所以切点在线段AB内.由此可知a的最小值为），因为-1010
72.5a=-
【简要评注】
本题中的动圆圆心在一条水平直线上移动，半径固定，因而比较容易了解圆与区域、圆与直线的位置关系.而最值是取在线段的端点的状态下还是圆与直线相切的条件下，这时本题重点要考察的内容.直观的演示可以帮助我们探索与发现问题，但只有从数学的角度进行推理和计算才能得到结论.
4.求与圆有关的动态向量的数量积
例4（08山东临沂）直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=4相交于M、N两点，若C=A+B，则⋅（O为坐标原点）等于（）.
A．-2B．-1C．0D．1
【动感体验】
圆x2+y2=4是圆心为坐标原点半径为2的圆，设和之间的夹角为222α，根据向量的数量积的定义
⋅=||⋅||⋅cosα=4cosα，因此关键在于确定向量与之间的夹角α的大小.
由C=A+B222得到：
|C|
A+B22=1，这说明原点O到直线
Ax+By+C=0的距离等于1.因此可以将直线Ax+By+C=0看作是经过单位圆上一点并且与单位圆相切的动直线.打开文件“08山东临沂.zjz”，如图5.1.20所
22示，拖动点P，观察直线Ax+By+C=0与圆x+y=4两个交点M、N的变
化规律.
图5.1.20
【思路点拨】
分析条件C=A+B的几何意义，研究与夹角α有关的几何关系.
【动态解析】
因为直线Ax+By+C=0过点P且与单位圆相切，所以OP垂直且平分MN.在Rt∆OPM中，OP=1，OM=2，所以∠POM=222π
3，∠MON=2π.
3
图5.1.21所以OM⋅=|OM|⋅||⋅cosα=4cosα=4⋅cos2π=-2.3
因此选择A.
【简要评注】
解决本题的关键在于在熟练掌握向量的数量积概念的前提下挖掘条件C2=A2+B2，从而确定直线Ax+By+C=0的特征以求出向量之间的夹角.
5.与直线截距有关的不等关系
例5（08全国I理10）若直线
A．a+b
C．22xy+=1通过点M（cosα，sinα），则（）.ab22≤1B．a+b≥11111+≤1+≥1D．a2b2a2b2
【动感体验】
由M（cosα，sinα）想到单位圆，M是这个单位圆上的动点.条件直线xy+=1通过点M（cosα，sinα）实际上是说直线和单位圆有公共点，其中隐含圆ab
心到直线的距离与单位圆的半径1的关系.打开文件“08全国I理10.zjz”，如图5.1.22所示，经过点M和点N的直线表示方程xy+=1对应的直线，点P和点Q分别ab
是直线与x轴、y轴的交点.拖动点N可以任意改变直线性质特征，研究四个选项所表示的几何意义以及成立的可能性.
图5.1.22
【思路点拨】
在直角三角形POQ中考虑斜边上的高与单位圆半径之间的关系.
【动态解析】
图5.1.23和图5.1.24说明a+b22≤1和a2+b2≥1两种情况都可能成立.
图5.1.23图5.1.24
xy+=1与圆O相切时，如图5.1.25所示，直角三角形POQ斜边上的ab
高线等于圆O的半径1.
当直线
图5.1.25图5.1.26
而其他情况下，如图5.1.25所示，直角三角形POQ斜边上的高线小于圆O的半径1.
通过面积公式可以求得直角三角形POQ斜边上的高等于a⋅b
a+b22，由
a⋅b
a2+b2≤1化简得：
11+≥1.a2b2
因此答案选择D.
进入文件“08全国I理10.zjz”的第二页，如图5.1.27所示，则给出直线与单位圆没有公共点的情况，这时OM=a⋅b
a2+b2>1，由此11+<1，即选项Ca2b2
表明的关系.
图5.1.27
【简要评注】
本题中a、b为截距，恰好是直线与两坐标轴的交点及原点所构成的直角三角形的直角边长，因此设法在Rt∆POQ中找出a+b及
问题的关键.
2211+的几何意义是解决a2b2
本节小结
研究直线与圆的位置关系，通常转换为圆心与直线的距离问题.此外，充分利用代数式的所表示的几何性质，能够提高我们的解题效率、减少出错率和计算量.
拓展练习
1.（06湖南理10改编）若圆（x-3）+（y+5）=r上有且仅有两点到直线222
4x-3y-2=0的距离为1，则半径r的取值范围是.
2.（08辽宁理3）圆x+y=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是
（）.
A.k∈（
B.k∈（-∞,+∞）
C.k∈（
D.k∈（-∞,+∞）22
0）的直线l与曲线（x-2）+y=1有公共点，3.（08安徽文10）若过点A（4，22
则直线l的斜率的取值范围为（）.
A
．（B
．[
C
．⎛
⎝⎡D
．⎢⎦⎭⎣
4.（08宁夏、海南文20）已知m∈R，直线l：
mx-（m2+1）y=4m和圆C：
x2+y2-8x+4y+16=0．
（Ⅰ）求直线l斜率的取值范围；
（Ⅱ）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为
1的两段圆弧？
为什么？
2
第二节直线系与圆系
1.动直线与动圆的位置关系
例1（06江西理16）已知圆M：
（x+cosθ）2+（y-sinθ）2=1，直线l：
y=kx，下面四个命题：
A．对任意实数k与θ，直线l和圆M相切；
B．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；
C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；
D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与和圆M相切.
其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
【动感体验】
这里给出的是圆M的标准方程，其半径为1，圆心为（-cosθ,sinθ）.可以想象出这些圆的半径都是1，而圆心在单位圆上，所以这些圆都过原点；而直线l：
y=kx则是过原点的直线但不包括y轴.这就不难考虑圆和直线可能有怎样的位置关系了.
打开文件“06江西理16.zjz”，如图5.2.1所示，拖动点A可以改变的圆M的圆心A的位置.点P是圆O上的动点，可以用经过点O和点P的直线表示直线l：
y=kx.拖动点A或者点P，观察和研究圆M和直线l之间的位置关系.
图5.2.1
【思路点拨】
将圆M与直线l之间的位置关系转化为圆M的半径OA与点M到直线l的距离之间的大小关系.
【动态解析】
通过图5.2.1可以观察到，圆M与直线l均经过坐标原点O，因此选项B正确，但选项A错误.
当点P在任意位置时，只要拖动点A使得OP⊥OA，就有直线l和圆M相切，即对任意实数k，都存在实数θ，使得直线l和圆M相切，如图5.2.2所示.因此选项D正确.
图5.2.2
当点A在任意位置时，只要拖动点P使得OP⊥OA，就有直线l和圆M相切.但是当点A在x轴上时，如图5.2.3和图5.2.4，则直线l的斜率k不存在，因此选项C错误.
图5.2.3图5.2.4
正确答案为：
B、D.
【简要评注】
本题是不定项选择题，需要对每个命题进行判断.通过动感体验可以发现动圆与动直线经过的共同点（原点），动中求静是这类问题的一种常见解答思路.
2.动直线及其包络问题
例2（09江西理16、文16）设直线系M：
xcosθ+（y-2）sinθ=1
（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
A．M中的所有直线均经过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）.
【动感体验】
首先是认识直线系M：
xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π）具有怎样的
3π可以分别得到直线x=1，y=3，x=-1和y=1.这四22
条直线与点（0,2）的距离都等于1，可以想象直线系M是否具有这样的特征.事实特征.设θ=0,π,π,上由|0⋅cosθ+（2-2）⋅sinθ-1|
cosθ+sinθ22=1知道，直线系M所表示的是到点（0,2）的距
离为1的直线.或者说直线系是以点（0,2）为圆心、半径为1的圆上的切线.
也可以把（cosθ,sinθ）看成直线的单位法向量，于是由向量（x,y-2）与
（cosθ,sinθ）的数量积等于1知直线系M是到点（0,2）的距离为1的直线.或者说直线系是以点（0,2）为圆心、半径为1的圆上的切线.
打开文件“09江西理16.zjz”，如图5.2.5所示，拖动点P或者单击动画按钮，观察直线系M的特征.
图5.2.5
【思路点拨】
通过直线M的特征及其所围成的区域，对四个命题进行判断.
【动态解析】
M中的直线不经过任何一个定点，因此选项A错误.
圆A内的所有点均不在M中的任何一条直线上，因此选项B正确.
当θ均匀变化，即点P在圆周上匀速运动时，直线之间的交点就是正n边形的顶点，如图5.2.6-5.2.11所示，因此选项C正确.
图5.2.6图5.2.7图5.2.8
图5.2.9图5.2.10图5.2.11
用鼠标双击动画按钮的绿色部分（最右侧部分）可以打开动画按钮的属性对话框，如图5.2.12所示，在动画运动的频率一栏输入大于3的整数后单击“确定”按钮，再次单击动画按钮，即可呈现由M中的直线所组成的对应正多边形.
图5.2.12
M中的直线所能围成的区域是圆A内部，而其内部可以有无数多个面积不同的正三角形，因此选项D错误.
所以答案为：
B、C.
【简要评注】
抓住直线系的特征才能更好地研究其特点.除了通常的过定点的直线系以及平行直线系外，本题中的直线系也是一种典型类型.
3.动圆及其性质特征
例3（07江西理16）设有一组圆Ck:
（x-k+1）2+（y-3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切
Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交
Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交．
Ｄ．所有的圆均不经过原点．
其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）
【动感体验】
打开文件“07江西理16.zjz”，单击动画按钮，结果如图5.2.13所示，表示一组圆Ck:
（x-k+1）2+（y-3k）2=2k4（k∈N*），观察这组圆的特点，对四个命题进行判断.
图5.2.13
【思路点拨】
通过圆心C（k-1,3k）与半径2k研究系列圆的性质特征.
【动态解析】
可以从最容易判断的选项Ｄ入手，只需看原点的坐标（0，0）是否适合圆的方程就行了.事实上通过（-k+1）2+9k2≠2k4，因此所有的圆均不经过原点，所以选．
项Ｄ为真命题.
令k=1和k=2分别得到：
2
C1:
x2+（y-3）2=2
和
C2:
（x-1）2+（y-6）2=32.圆心距为，半径的差等于32，因为<32,所以两圆内含.由此看来不可能存在一条直线与所有的圆均相切，所以选项Ａ为假命题.
由于这些圆的圆心为Ck（k-1,3k），所以这些圆的圆心在直线y=3x+3上.这条直线就与所有的圆均相交，所以选项Ｂ为真命题.由于这些圆的半径为2k随着k的增大而无限增大，因此不可能存在一条定直线与所有的圆均不相交.所以选项Ｃ是假命题.．
因此答案为：
B、D.
【简要评注】
在研究直线系和圆系的有关问题时，要抓住他们的共性及其相互关系，才能准确地把握运动中的图形的性质特征.直线与圆的位置关系的判断还是要充分利用圆心与直线的距离.
2
本节小结
直线系是一簇有共同特征的直线的总称.虽然在课本中没有详细介绍，但在练习中却经常出现.一般地方程中含有函数时就表现为直线系.圆系的问题也类似，高考中有关直线系和圆系的问题时常出现，解答过程中方法的选择非常重要.
直线系与圆系的问题都可以分别理解为直线运动与圆运动的问题，在运动的过程探索规律是这一类型题目的典型特征.抓住共性，例如过直线或圆定点、圆心或者圆的半径固定等等，才能抓住问题的本质和解决问题的关键.
拓展练习
1.（07江西理16改编）在例题3中，若将题设中的k∈N*改为k∈R，则上述四个命题中哪几个是真命题？
2.（09广东文A-19）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率
两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck：
x2+y2+2ky-4y-21=0（k∈R）的圆心为点Ak.
（I）求椭圆G的方程；
（II）求∆AkF1F2面积；
（III）问是否存在圆Ck包围椭圆G？
请说明理由.
第三节求最值问题
1.求边长成比例的三角形面积最值
例1（08江苏13）若AB=2，AC=2BC，S∆ABC的最大值．
【动感体验】
因为AB=2，AC=2BC，可以认为三角形ABC的A、B两点是确定的而C点尚未确定.可以考虑在满足条件AC=2BC下的点C的轨迹图形，然后通过数形结合的方法求三角形面积的最大值.
打开文件“08江苏13.zjz”，如图5.3.1所示，拖动点C，观察线段AC与BC之间的关系，并研究点C对三角形ABC的形状和面积的影响.
图5.3.1
【思路点拨】
以AB的中点为坐标原点，以有向线段AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系，则点A、B的坐标可表示为A（-1,0）、B（1,0）.设点C的坐标为C（x,y），22则有：
（x+1）+y=2⋅（x-1）2+y2，化简得：
（x-3）2+y2=8，它表示
一个坐标圆心在（3,0）、半径为22的圆.显然当点C与AB的距离最大时三角形ABC面积取最大值.
【动态解析】
点C的轨迹表示一个坐标圆心在（3,0）、半径为22的圆.进入文件“08江苏
13.zjz”的第二页，如图5.3.2所示.
图5.3.2
容易知道，当点C在圆心正上方或正下方时，三角形ABC的高最大（等于圆的半径），面积也最大.因此三角形ABC的最大面积等于1⋅2⋅22=22.2
【简要评注】
建立坐标系求动点轨迹是代数方法在几何中的应用，引进坐标系即可简化计算，也可使问题变得直观，容易理解.在本题中，利用点C的轨迹所在的圆直观地表示代数式AC=2BC是解决问题的突破口.
2.求两动点之间距离的最值
例2（05广东20）在平面直角坐标系中，
已知矩形ABCD的长为２，宽为１，AB、AD
边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原
点重合（如图5.3.3所示）．将矩形折叠，使A点
落在线段DC上．
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出
折痕所在直线的方程；图5.3.3
（Ⅱ）求折痕的长的最大值．
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