特殊的平行四边形复习.docx
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特殊的平行四边形复习
特殊的平行四边形复习
知识回顾：
一、菱形：
1.有一组__________相等的________________叫做菱形。
2.菱形的四条边__________，对角线________________。
3.菱形的对称性：
4.__________________的四边形是菱形。
5.对角线_____________的_____________是菱形。
6.菱形的面积等于：
（1）__________________，
（2）____________________。
二、矩形：
1.有一个角是________的________________叫做矩形。
2.矩形的四个角都是________，对角线__________。
3.直角三角形斜边上的中线等于_____________。
4.__________________的四边形是矩形。
5.对角线________的_______________是矩形。
6.矩形的对称性：
三、正方形：
1.有一组_________相等，并且有一个角是_________的__________________叫做正方形。
2.正方形的四个角都是________，四条边都________，对角线__________，并且互相_________________，每条对角线平分_______________。
3.正方形的对称性：
4.对角线相等的_________是正方形。
5.对角线_______________的矩形是正方形。
6.有一个角是直角的_________是正方形。
7.有一组邻边相等的_________是正方形。
四、含有60°角的菱形与矩形
1．有一个角为60°的菱形是由两个等边三角形构成的，它的短对角线等于边长，它的长对角线是短对角线的
倍。
2.对角线相交所成锐角为60°角的矩形中，对角线长是短边的2倍，它的长边是短边的
倍。
五、顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是________________。
1.原四边形对角线相等时，则所得中点四边形是______________。
2.原四边形对角线互相垂直时，则所得中点四边形是______________。
3.原四边形对角线相等且互相垂直时，则所得中点四边形是______________。
六、典型题：
1.下列命题中，真命题是
A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
2.下列命题中的假命题是（）．
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形B．一组邻边相等的矩形是正方形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
3.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．四条边相等
4.在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5.下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
6.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角互补
7.下列命题是假命题的是（ ）
A．
四个角相等的四边形是矩形
B．
对角线相等的平行四边形是矩形
C．
对角线垂直的四边形是菱形
D．
对角线垂直的平行四边形是菱形
8.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．
选①②
B．
选②③
C．
选①③
D．
选②④
9.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，
菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）
A．
3.5
B．
4
C．
7
D．
（第9题图）
14
10.平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB⊥BD
11.正方形的对称轴的条数为（ ）A.1B.2C.3D.4
12.顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
13.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应
满足的一个条件是。
14.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ）
A.矩形B.等腰梯形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形
15.顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
16.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（ ）
A.矩形B.菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形
17.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形是.
18.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A．5
cmB．2
cmC．
cmD．
cm
19.如果菱形的一条对角线长是12㎝，面积是30
，那么这个菱形的另一条对角线长为㎝.
20.菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
A．14B．15C．16D．17
21.如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为cm2．
（第21题图）
（第20题图）
（第18题图）
22.如图，菱形ABCD中，AB＝4，
垂足分别为E,F,连接EF,则的△AEF的面积是.
23.如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。
若菱形ABCD的边长为2cm，A=120，则EF=cm。
24.
如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．
（第24题图）
（第23题图）
（第22题图）
25.如图，矩形
的两条对角线相交于点
，
，则矩形的对角线
的长是（）A．2B．4C．
D．
26.如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A.3cmB.2cmC.5cmD.4cm
27.如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A.2
B.
C.
D.6
（第25题图）
（第27题图）
（第26题图）
28.如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为．
29.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（ ） A.6B.12C.2
D.4
30.如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）８
（第28题图）
（第30题图）
（第29题图）
31.把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图7方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕EF，若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是__________cm2．
32.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（）
A．3B．4C．5D．6
33.如同，矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且
AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点
重合，则AC＝cm.
（第33题图）
（第32题图）
（第31题图）
34.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．
35.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 ．
36.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．
（第35题图）
（第34题图）
（第36题图）
37如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，
则矩形ABCD的面积是（）
A.12B.24C.12
D.16
38如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A．
S1＞S2
B．
S1=S2
C．
S1＜S2
D．
3S1=2S2
39.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= cm．
（第39题图）
（第38题图）
（第37题图）
40.已知：
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，AE＝AF.
（1）求证：
BE＝DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？
并证明你的结论．
41.已知：
如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
①求证：
CD=AN；
②若∠AMD=2∠MCD，求证：
四边形ADCN是矩形．
42.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？
并说明理由．
43.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：
∠DHO=∠DCO．
44.如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．
（1）求AC的长．
（2）求∠AOB的度数．（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．
45.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
46.如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：
AM=EF．
47.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，
（1）
的值为____________；
（2）求证：
AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？
若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
48.如图15，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
49.已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF。
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2
，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
50.如图
（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：
△ADG≌△ABE；（4分）
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；（4分）
（3）如图
（2），将图
（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．（5分）
51.正方形ABCD的边AB上任取一点E．作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，
连结EG、CG，如图
（1），易证EG=CG且EG⊥CG。
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图
（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?
请直接写出你的猜想。
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3）．则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？
请写出你的猜想。
并加以证明。
52.四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．
（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：
∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，在
（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；
（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．
如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2=S3+S4②S2+S4=S1+S3
③若S3=2S1，则S4=2S2④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.
如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数
的图象经过点C，则k的值为 ．
如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=
，BE=4，则tan∠DBE的值是 ．
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 （2，4﹣2
） ．
如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A.（2，10）B.（﹣2，0）C.（2，10）或（﹣2，0）D（10，2）或（﹣2，0）
如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 cm．
如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O．下列结论：
①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=
，④S△ODC=S四边形BEOF中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=
BD其中正确结论的为 （请将所有正确的序号都填上）．
如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+
．其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）
如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：
①△AED≌△DFB； ②S四边形 BCDG=
CG2；
③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论
A．只有①②． B．只有①③．C．只有②③． D．①②③．
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为 ．
如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 ．
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 ．
如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 ．
如图，D为△ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF＝6，BF＝9，AG＝8，则△ADC的面积为何？
（ ）
A．16B．24C．36D．54
9.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）
A．
2.5
B．
C．
D．
2
准备一张矩形纸片，按如图操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
（1）求证：
四边形BFDE是平行四边形；
（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．
如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．
求证：
AM⊥DF．
如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：
CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？
为什么？
如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：
EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
并证明你的结论．
16、（2008年上海市）如图，已知平行四边形
中，对角线
交于点
，
是
延长线上的点，且
是等边三角形．
（1）求证：
四边形
是菱形；
（2）若
，求证：
四边形
是正方形．
如图19-126所示，ABCD是正方形，G是BC上一点，
于点E，
于点F.
（1）求证△ABF≌△DAE；
（2）求证
.
以四边形ABCD的边AB．BC．CD．DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E．F．G．H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：
四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），
①试用含α的代数式表示∠HAE；
②求证：
HE=HG；
③四边形EFGH是什么四边形？
并说明理由．
如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE．
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明
（1）中的结论仍然成立．
已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：
EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问
（1）中的结论是否仍然成立？
通过观察你还能得出什么结论？
（均不要求证明）
（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3
，求AG，MN的长．
如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一
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