小学奥数行程问题.docx
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小学奥数行程问题
小学奥数《行程问题》（上）
1、行程问题：
行程问题可以大概分为简单问题、相遇问题、时钟问题等。
2、常用公式：
1）速度×时间=路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度；2）速度和×时间=路程和；3）速度差×时间=路程差。
3、常用比例关系：
1）速度相同，时间比等于路程比；2）时间相同，速度比等于路程比；3）路程相同，速度比等于时间的反比。
4、行程问题中的公式：
1）顺水速度=静水速度+水流速度；2）逆水速度=静水速度－水流速度。
例1：
一辆汽车往返于甲乙两地，去时用了4个小时，回来时速度提高了1/7，问：
回来用了多少时间？
分析与解答：
在行程问题中，路程一定，时间与速度成反比，也就是说速度越快，时间越短。
设汽车去时的速度为v千米/时，全程为s千米，则：
去时，有s÷v=s/v=4，则回来时的时间为：
screen.width-333）this.width=screen.width-333"border=0>，即回来时用了3.5小时。
评注：
利用路程、时间、速度的关系解题，其中任一项固定，另外两项都有一定的比例关系（正比或反比）。
例2：
A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？
分析：
对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。
解答：
后半段路程长：
240÷2=120（千米），后半段用时为：
6÷2－0.5=2.5（小时），后半段行驶速度应为：
120÷2.5=48（千米/时），原计划速度为：
240÷6=40（千米/时），汽车在后半段加快了：
48－40=8（千米/时）。
答：
汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。
例3：
两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？
分析：
求时间的问题，先找相应的路程和速度。
解答：
轮船顺水速度为231÷11=21（千米/时），轮船逆水速度为21－10=11（千米/时），
逆水比顺水多需要的时间为：
21－11=10（小时）
答：
行驶这段路程逆水比顺水需要多用10小时。
例4：
汽车以每小时72千米的速度从甲地到乙地，到达后立即以每小时48千米的速度返回到甲地，求该车的平均速度。
分析：
求平均速度，首先就要考虑总路程除以总时间的方法是否可行。
解答：
设从甲地到乙地距离为s千米，则汽车往返用的时间为：
s÷48+s÷72=s/48+s/72=5s/144，平均速度为：
2s÷5s/144=144/5×2=57.6（千米/时）
评注：
平均速度并不是简单求几个速度的平均值，因为用各速度行驶的时间不一样。
例5：
一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，在一开始的120千米内平均速度为每小时40千米，要想使这辆车从甲地到乙地的平均速度为每小时50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？
分析：
求速度，首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程和总时间的关系。
解答：
剩下的路程为300－120=180（千米），计划总时间为：
300÷50=6（小时），剩下的路程计划用时为：
6－120÷40=3（小时），剩下的路程速度应为：
180÷3=60（千米/小时），即剩下的路程应以60千米/时行驶。
评注：
在简单行程问题中，从所求结果逆推是常用而且有效的方法。
例6：
骑自行车从甲地到乙地，以每小时10千米的速度行驶，下午1时到；以每小时15千米的速度行驶，下午1时到；以每小时15千米的速度行进，上午11时到；如果希望中午12时到，应以怎样的速度行进？
分析：
求速度，先找相应的路程和时间，本题中给了以两种方法骑行的结果，这是求路程和时间的关键。
解答：
考虑若以10千米/时的速度骑行，在上午11时，距离乙地应该还有10×2=20（千米），也就是说从出发到11时这段时间内，以15千米/时骑行比以10千米/时骑行快20千米，由此可知这段骑行用时为：
20÷（15－10）=4（小时），总路程为15×4=60（千米），若中午12时到达需总用时为5小时，因此骑行速度为60÷5=12（千米/时），即若想12时到达，应以12千米/时速度骑行。
例7：
一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，时速1500千米，回来时逆风，时速为1200千米，这架飞机最多飞出多远就需往回飞？
分析：
求路程，需要速度和时间，题目中来回速度及总时间已知，我们可以选择两种方法：
一是求往、返各用多少时间，再与速度相乘，二是求平均速度与总时间相乘，下面给出求往
返时间的方法。
解答：
设飞机去时顺风飞行时间为t小时，则有：
1500×t=1200×（6－t）,2700×t=7200,t=8/3（小时），飞机飞行距离为1500×8/3=4000（千米）
评注：
本题利用比例可以更直接求得往、返的时速，往返速度比5：
4，因此时间比为4：
5，又由总时间6小时即可求得往、返分别用时，在往返的问题中一定要充分利用往返路程相同这个条件。
例8：
有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡，平路及下坡的路程相等，某人骑车过桥时，上坡平路，下坡的速度分别为每秒4米、6米、8米，求他过桥的平均速度。
分析：
上坡、平路及下坡的路程相等很重要，平均速度还是要由总路程除以总时间求得。
解答：
设这座桥上坡、平路、下坡各长为S米，某人骑车过桥总时间为：
s÷4+s÷6+s÷8=s/4+s/6+s/8=13/24s，平均速度为：
3s÷13/24s=24/13×3=72/13=5又7/13（秒），即骑车过桥平均速度为5又7/13秒。
评注：
求平均速度并不需要具体的路程时间，只要知道各段速度不同的路程或时间之间的关系即可，另外，三段或更多路的问题与两段路没有本质上的差别，不要被这个条件迷惑。
例9：
某人要到60千米外的农场去，开始他以每小时5千米的速度步行，后来一辆18千米/时的拖拉机把他送到农场，总共用了5.5小时，问：
他步行了多远？
解答：
如果5.5小时全部乘拖拉机，可以行进：
18×5.5=99（千米），其中99－60=39（千米），这39千米的距离是在某段时间内这个人在行走而没有乘拖拉机因此少走的距离，这样我们就可以求行走的时间为39÷（18－5）=3（小时），即这个走了3个小时，距离为5×3=15（千米），即这个人步行了15千米。
评注：
在以两种速度行进的题目中，假设是以一种速度行进，通过行程并和速度差求时间非常重要的方法。
例10：
已知某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒，求火车的速度和长度。
分析：
本题关键在求得火车行驶120秒和80秒所对应的距离。
解答：
设火车长为L米，则火车从开始上桥到完全下桥行驶的距离为（1000＋L）米，火车完全在桥上的行驶距离为（1000－L）米，设火车行进速度为u米/秒，则：
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由此知200×u=2000，从而u=10，L=200，即火车长为200米，速度为10米/秒。
评注：
行程问题中的路程、速度、时间一定要对应才能计算，另外，注意速度、时间、路程的单位也要对应。
例11：
甲、乙各走了一段路，甲走的路程比乙少1/5，乙用的时间比甲多了1/8，问甲、乙两人的速度之比是多少？
分析：
速度比可以通过路程比和时间比直接求得。
解答：
设甲走了S米，用时T秒，则乙走了S÷（1－1/5）=5/4S（米），用时为：
T×（1+1/8）=9/8T（秒），甲速度为：
S/T，乙速度为：
5/4S÷9/8T=10S/9T，甲乙速度比为S/T：
10S/9T=9：
10
评注：
甲、乙路程比4/5，时间比8/9，速度比可直接用：
4/5÷8/9=9/10，即9：
10。
例12：
一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6小时，逆流要8小时，水流速度为每小时2.5千米，求船在静水中的速度。
分析：
顺流船速是静水船速与水流速度之和，而逆流船速是两者之差，由此可见，顺流与逆流船速之差是水流速的2倍，这就是关键。
解答：
设船在静水中速度为U千米/时，则：
（U+2.5）×6=（U－2.5）×8，解得U=17.5，即船在静水中速度为17.5千米/时。
评注：
行船问题是行程问题中常见的一种，解这些题时注意船速、水流之间的关系。
例13：
甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以每小时4.5千米的速度走了路程的一半，又以每小时4.5千米的速度走完了另一半，乙班用一半时间以每小时4.5千米的速度行进，另一半时间以每小时5.5千米的速度行进，问：
甲、乙两班谁将获胜？
分析：
表面上看两班行军都是两种速度各一半，但时间的一半与路程的一半是不同的。
解答：
设总路程为S千米，则：
甲班用时：
T1=S/2÷4.5＋S/2÷5.5=S/9＋S/11=20/99S（小时），乙班用时：
T2=S÷（4.5＋5.5）×2=1/5S（小时），比较可得：
T1>T2，即乙班用时较短，会获胜。
评注：
以上解法具体分析了两种方法的用时，其实我们只从性质分析，已用一半时间快走，一半时间慢走，所以快走的路程比慢走的距离长，也就是说乙用快速走的路程超过了总路程的一半，因此自然比甲班快。
这道题也代表了一类的问题。
例14：
甲、乙两人在400米环形跑道上跑步，两人朝相反的方向跑，两个第一次相遇与第二次相遇间隔40秒，已知甲每秒跑6米，问乙每秒跑多少米？
分析：
环形跑道上相反而行，形成了相遇问题，也就是路程、时间及速度和关系的问题。
解答：
第一次相遇到第二次相遇，两个人一共跑400米，因此速度和为400÷40=10（米/秒），乙速度为10－6=4（米/秒），即乙每秒跑4米。
评注：
环形跑道上的相遇问题要注意一定时间内两人行进路程的总和是多少。
例15：
一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距299千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米，问：
几小时后两车第一次相距69千米？
再过多少时间两车再次相距69千米？
分析：
相遇问题中求时间，就需要速度和及总路程，确定相应总路程是本题重点。
解答：
第一次相距69千米时，两车共行驶了：
299－69=230（千米），所用时间为230÷（40＋52）=2.5（小时），再次相距69千米时，两车从第一次相距69千米起又行驶了：
69×2=138（千米），所用时间为：
138÷（40＋52）=1.5（小时），即2.5小时后两车第一次相距69千米，1.5小时后两车再次相距69千米。
评注：
相遇问题与简单行程问题一样也要注意距离、速度和及时间的对应关系。
例16：
一列客车与一列货车同时同地反向而行，货车比客车每小时快6千米，3小时后，两车相距342千米，求两车速度。
分析：
已知两车行进总路程及时间，这是典型的相遇问题。
解答：
两车速度和为：
342÷3=114（千米/小时），货车速度为（114＋6）÷2=60（千米/时），客车速度为114－60=54（千米/时），即客车速度54千米/时，货车速度为60千米/时
评注：
所谓“相遇问题”并不一定是两人相向而行并相遇的问题，一般地，利用距离和及速度和解题的一类题目也可以称为一类特殊的相遇问题。
例17：
甲、乙两辆车的速度分别为每小时52千米和40千米，它们同时从甲地出发开到乙地去，出发6小时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1小时后，乙车也遇到了这辆卡车，求这辆卡车速度。
分析：
题目中没有给任何卡车与甲车相遇前或与乙车相遇后的情况，因此只能分析卡车从与甲车相遇到乙车相遇这段时间的问题。
解答：
卡车从甲车相遇到与乙车相遇这段时间与乙车在做一个相遇运动，距离为出发6小时时，甲、乙两车的距离差：
（52－40）×6=72（千米），因此卡车与乙车速度和为：
72÷1=72（千米/时），卡车速度为72－40=32（千米/时）
评注：
在比较复杂的运动中，选取适当时间段和对象求解是非常重要的。
例18：
甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，它们相遇时距A、B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A、B两地距离。
分析：
已知与中心处的距离，即是知道两车行程之差，这是本题关键。
解答：
甲车在相遇时比乙车多走了：
8×2=16（千米），由甲车速度是乙的1.2倍，相遇时所走路程甲也是乙的1.2倍，由此可知乙所走路程为16÷（1.2－1）=80（千米），两地距离为（80＋8）×2=176（千米），即两地相距176千米。
评注：
有效利用各种形式的条件也是重要的技巧。
例19：
兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，他们从同一地点同时出发，背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，照这样计算，当他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？
分析：
本题重点在于计算第十次相遇时他们所走过的路程。
解答：
每两次相遇之间，兄妹两人一共走了一圈30米，因此第十次相遇时二人共走了：
30×10=300（米），两人所用时间为：
300÷（1.3＋1.2）=120（秒），妹妹走了：
1.2×120=144（米），由于30米一圈，因此妹妹再走6米才能回到出发点。
例20：
甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇，求两次相遇地点的距离。
分析：
甲、乙共相遇两次，得到第二次相遇时总路程是关键。
解答：
第一次相遇时，甲、乙两人走的总路程是A到B距离的3倍，因此乙所走路程为54×3=162（千米），这时他们相距A地42千米，也就是说A、B距离为：
162－42=120（千米），两次相遇地点距离为120－54－42=24（千米）
评注：
除了对总路程的分析以外，还要注意二次相遇时甲从B向A走，乙从A向B走，为了直观也可以画一个示意图，如下：
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例21：
甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行，若甲先出发2小时，则乙动身2.5小时后两个人相遇，若乙先出发2小时，则甲动身3小时后两人相遇，求甲、乙两人速度。
分析：
换一种说法，甲走4.5小时，乙走2.5小时走完36千米：
甲走3小时，乙走5小时也可以走完全程
解答：
设甲速度为U千米/时，乙速度为V千米/时，
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即甲速度6千米/时，乙速度3.6千米/时。
例22：
两列火车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米，两车错车时，甲车上一乘客从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗共用13秒钟，求乙车全长多少米？
分析：
甲车乘客看到乙车经过用了13秒而他看到的乙车速度则是甲、乙两车实际速度之和。
解答：
乘客看到乙车的相对速度即甲、乙车实际速度之和为：
48＋60=108（千米/时）合30米/秒，乙车长为：
30×13=390（米），即乙车全长为390米
评注：
错车也是一类常见问题，重点在于如何求得相对速度，另外，注意单位的换算，1米/秒合3.6千米/时。
例23：
一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见慢车驶过的时间是多少秒？
分析：
慢车上的人看快车和快车上的看慢车，他们看到的相对速度是相同的，这就是本题的关键。
解答：
两车相对速度为：
385÷11=35（米/秒），慢车上的人看快车驶过的时间为：
280÷35=8（秒），即坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是8秒
评注：
在错车的问题中，对双方来说相对速度是相同的，不同的是错车的距离和时间，对车上的人，距离一般是对方车长。
例24：
某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，问该列车与另一列车长320米，时速64.8千米的列车错车而过需要几秒？
分析：
列车通过隧道行进的距离是隧道长加车长，两车完全错车行进的距离之和是两车之和。
解答：
列车通过第一个隧道比通过第二个隧道多走了40米，多用2秒，同此列车速度为：
（250－210）÷（25－23）=20（米/秒），车长为20×25－250=250（米），另一辆车时速64.8千米，合18米/秒，两车错车需时为：
（250＋320）÷（20＋18）=15（秒），即两车错车需要15秒
评注：
在火车错车、过桥、过隧道、进站等问题中常常会用到车长作为行进距离的一部分，因此遇到此类问题一定要特别小心。
例25：
一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，到甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了多少分钟？
分析：
本题重点在通过电车的数量计算时间。
解答：
记骑车人出发时进入乙站的车为第一辆，包括中途遇到车子、骑车人到甲站时出站的车为第十二辆，从第一辆进站到第二辆出站的时间就是骑车人用的时间，由题目条件第一辆车进站的同时，第四辆车正在从甲站出站，第四辆车出站到第十二辆车出站共经过4分钟，因此骑车人从乙站到甲站用了40分钟。
评注：
本题没有一般行程问题的计算，注意计数时不要出错。
例26：
甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟追上乙，若乙比甲先跑2秒钟，则甲跑4秒钟能追上乙，问：
两人每秒各跑多少米？
分析与解答：
甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙，也就是甲每秒比乙多跑：
10÷5=2（米），乙比甲选跑2秒钟，则甲跑4秒追上乙，也就是说乙比甲先跑了2×4=8（米），因此乙速度为：
8÷2=4（米/秒），甲速度为：
4÷2=6（米/秒），即甲每秒跑6米，乙每秒跑4米
评注：
追及问题是关于行程差，速度差及时间关系的问题，它与相遇问题有很多相似的地方，也有不同的地方。
例27：
甲、乙两地相距600千米，一列客车和一列货车同时由甲地开往乙地，客车比货车早到2.5小时，客车到达乙地时货车行驶了全程的4/5，问货车行驶全程需要多少时间？
分析：
考虑在客车到达后，货车行驶的情况。
解答：
客车到达后，货车又行驶了2.5小时，走了全程的1/5，因此货车走全程需要2.5÷1/5=12.5（小时），即货车行驶全程要12.5小时
评注：
有时题目中也会有用不到的条件，因此从结果出发反推，仔细观察题目中有对应关系的条件，能提高效率。
例28：
两辆拖拉机为农场送化肥，第一辆以每小时9千米的速度由仓库开往农场，30分钟后，第二辆以每小时12千米的速度由仓库开往农场，问：
1）第二辆追上第一辆的地点距仓库多远？
2）如果第二辆比第一辆早到农场20分钟，仓库到农场的路程有多远？
分析：
这个追及问题重点在于找到路程之差。
解答：
1）第二辆拖拉机出发时第一辆相差：
9×0.5=4.5（千米），第二辆追上第一辆需要时间为：
4.5÷（12－9）=1.5（小时），此时第二辆行程为：
12×1.5=18（千米），即追上第一辆地点距仓库18千米；2）第二辆到达农场时，与第一辆相距：
9×1/3=3（千米），第二辆从追上第一辆到达农场用时：
3÷（12－9）=1（小时），农场与仓库距离为：
18÷12×1=30（千米），即农场与仓库距离30千米。
评注：
追及问题有许多先后出发，先后到达的情形，这种情况下求时间和路程时一定要仔细考虑是谁的行进情况，不要弄反了。
例29：
甲、乙两匹马在相距50米的地方同时同向出发，出发时甲马在前，乙马在后，如果甲马每秒跑10米，乙马每秒跑12米，问：
何时两地相距70米？
分析：
先分析两马行进的大概情况，甲马较慢在前面，乙马较快在后面，开始后乙马追近甲马并超过它，再拉远距离因此相距70米是在乙马超过甲马后出现的。
解答：
追及时间为：
（50＋70）÷（12－10）=60（秒），即60秒后两马相距70米。
例30：
甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙的后面，出发后6分钟甲第一次追上乙，22分钟时甲第二次追上乙，假设两人速度都保持不变，问：
出发时甲在乙身后多少米？
分析：
环形跑道上的追及问题，两次超过之间甲比乙多走一圈，这是重点。
解答：
甲比乙快，他们的速度差为：
440÷（22－6）=25（米/分钟），出发时，两人相距为：
25×6=150（米），即出发时甲在乙后150米
评注：
环形跑道上的追及问题，可以多次追上并超越，利用这一点是这类题目的关键。
例31：
铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆汽车正以每小时40千米的速度行驶，这时一列长375米的火车以每小时67千米的速度从后面开过来，问：
火车从车头到车尾经过汽车旁边需要多少时间？
分析：
铁路上的追及问题与相遇问题中的错车问题相似。
解答：
从汽车上看火车速度为67－40=27（千米/时）合7.5米/秒，火车通过需时间为：
375÷7.5=50（秒），即火车通过需50秒
评注：
在追及式的错车问题中，车长往往就是路程差。
例32：
小红在9点到10点之间开始解一道题，当时时针和分针正好成一条线，当小解完题时，时针和分针刚好重合，小红解这道题用了多少时间？
分析：
同向转动的时针和分针可以看作一个追及问题，以一圈为60格，时针12分钟走一格，每分钟走1/12格，分针每分钟一格。
解答：
几点时时针与分针差45格，分针在后，成一条线时，时针比分针快30个格，这时从九点过了的时间为：
（45－30）÷（1－1/12）=180/11=16又4/11（分钟），两针重合时，从九点开始经过的时间为：
45÷（1－1/12）=540/11=49又1/11（分钟），相差的时间为：
49又1/11－16又4/11=32又8/11（分钟），即小红解题用了32又8/11分钟
评注：
时钟上的追及问题需要注意路程以格代替，不要与时间混在一起。
例33：
游船顺流而下每小时前进7千米，逆流而上每小时前进5千米，两条游船同时从同一地点出发，一条顺流而下然后返回，一条逆流而上然后返回，结果1小时后它们同时回到出发点，如果忽略游船调头的时间不计，在1小时内两条游船有多长时间前进的方向相同？
是顺流还是逆流？
分析：
两条船用时一样，说明它们顺流，逆流的时间分别相同，区别在一条先顺流再逆流，另一条则相反。
解答：
顺流、逆流速度之比为7：
5，则时间比为5：
7，轮船顺流时间为5/12小时，逆流时间为7/12小时，顺流的船先调头，然后有1/6小时两船同时逆流而行，然后先逆流的船调头
评注：
在相同条件下，无论先顺流或逆流船在相同距离内往返行驶，时间相同，同样的，时间相同，则往返距离也相同。
例34：
一只猎狗追前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跑前进2.1米，狗跑3次的时间兔子跳4次，问：
兔子跑出多远将被狗追上？
分析：
狗和兔子每跳的时间距离都不同，我们需要统一一项才能进行比较。
解答：
由题目条件知狗前进9米时，兔子前进8.4米，20÷（9－8.4）=33又1/3，以狗前进9米，兔子前进8.4米计为一次，则33又1/3次后狗追上兔子，这时兔子跑了：
8.4×33又1/3=280（米），即兔子跑了280米后被狗追上。
评注：
速度的比较并不一定是每秒、每分、每小时前进距离的比较，相同一段时间内前进距离即可作为速度比较。
例35：
学校组织军训，甲、乙、丙三人步行从学校到军训驻地，甲、乙两人早晨6点一起从学校出发，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，丙上午8点才从学校出发，下午6点，甲、丙同时到达军训驻地，问：
丙何时追上乙？
分析：
求丙追上乙的时间，必须知道乙、丙的速度，丙的速度由他与甲的行进状况可求。
解答：
甲走了12个小时，全程为：
5×12=60（千米），丙走了10个小时，他的速度为：
60÷
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