小学奥数行程问题.docx

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小学奥数行程问题

行程问题

1、甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.

　　解：

第二次相遇两人总共走了3个全程，所以甲一个全程里走了4千米，三个全程里应该走4*3=12千米，

　　通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，

　　所以两次相遇点相距9-（3+4）=2千米。

　　2、甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？

　　解：

那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）×2=270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差

　　所以乙丙相遇时间=270÷（67.5-60）=36分钟，所以路程=36×（60+75）=4860米。

　　3、A，B两地相距540千米。

甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。

设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。

那么两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？

　　解：

根据总结：

第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比甲快，相遇又在P点，所以可以根据总结和画图推出：

从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个P点，路程正好是第一次的路程。

所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。

第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。

这样根据总结：

2个全程里乙走了（540÷3）×4=180×4=720千米，乙总共走了720×3=2160千米。

　　4、小明每天早晨6：

50从家出发，7：

20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。

如果小明明天早晨还是6：

50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。

问：

小明家到学校多远？

（第六届《小数报》数学竞赛初赛题第1题）

　　解：

原来花时间是30分钟，后来提前6分钟，就是路上要花时间为24分钟。

这时每分钟必须多走25米，所以总共多走了24×25=600米，而这和30分钟时间里，后6分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走600÷6=100米。

总路程就是=100×30=3000米。

　　5、小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？

　　解：

画示意图如下.

　　第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了

　　3.5×3＝10.5（千米）.

　　从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是

　　10.5-2＝8.5（千米）.

　　每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了

　　3.5×7＝24.5（千米），

　　24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.

　　就知道第四次相遇处，离乙村

　　8.5-7.5=1（千米）.

　　答：

第四次相遇地点离乙村1千米

　6、小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：

小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？

　　解：

画一张示意图：

　　图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于

　　这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是

　　1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）.

　　这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要

　　130÷2=65（分钟）.

　　从乙地到甲地需要的时间是

　　130＋65=195（分钟）＝3小时15分.

　　答：

小李从乙地到甲地需要3小时15分.

　　7、快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：

两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？

　　解：

画一张示意图：

　　设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.

　　有了上面"取单位"准备后，下面很易计算了.

　　慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢？

去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶3×7=21（单位）.从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1＝14（单位）.

　　现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是14÷（2＋3）＝2.8（小时）.

　　慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小时）.

　　答：

从第一相遇到再相遇共需10小时48分.

　　8、一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？

　　解：

设原速度是1.

　　这是具体地反映：

距离固定，时间与速度成反比.

　　时间比值：

6：

5

　　这样可以把原来时间看成6份，后来就是5份，这样就节省1份，节省1个小时。

　　原来时间就是=1×6=6小时。

　　同样道理，车速提高30％，速度比值：

1：

（1+30%）=1：

1.3

　　时间比值：

1.3：

1

　　这样也节省了0.3份，节省1小时，可以推出行驶一段时间后那段路程的原时间为1.3÷0.3=13/3

　　所以前后的时间比值为（6-13/3）：

13/3=5：

13。

所以总共行驶了全程的5/（5+13）=5/18

　　10、甲、乙两车分别从A，B两地出发，相向而行，出发时，甲、乙的速度比是5：

4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B时，乙离A地还有10千米。

那么A，B两地相距多少千米？

　　解：

相遇后速度比值为[5×（1-20%）]：

[4×（1+20%）]=5：

6，假设全程为9份，甲走了5份，乙走了4份，之后速度发生变化，这样甲到达B地，甲又走了4份，根据速度变化后的比值，乙应该走了4×6÷5=24/5份，这样距A地还有5-24/5份，所以全程为10÷（1/5）×9=450千米。

　11、A、B两地相距10000米，甲骑自行车，乙步行，同时从A地去B地。

甲的速度是乙的4倍，途中甲的自行车发生故障，修车耽误了一段时间，这样乙到达占地时，甲离B地还有200米。

甲修车的时间内，乙走了多少米?

　　解：

由甲共走了10000-200=9800（米），可推出在甲走的同时乙共走了9800÷4=2450（米），从而又可推出在甲修车的时间内乙走了10000-2450=7550（米）。

列算式为10000一（10000-200）÷4=7550（米）

　　答：

甲修车的时间内乙走了7550米。

　　12、爷爷坐汽车，小李骑自行车，沿一条公路同时从A地去B地。

汽车每小时行40千米，是自行车速度的2．5倍。

结果爷爷比小李提前3小时到达B地。

A、B两地间的路程是多少千米?

　　解法一：

根据"汽车的速度是自行车的2．5倍"可知，同时从A地到B地，骑自行车所花时间是汽车的2．5倍，也就是要比坐汽车多花1．5倍的时间，其对应的具体量是3小时，可知坐车要3÷（2.5一1）=2（小时），A、B两地问的路程为40×2=80（千米）。

即40×〔3÷（2.5－1）〕80（千米）

　　解法二：

汽车到B地时，自行车离B地（40÷2．5×3）=48（千米），这48千米就是自行车比汽车一共少走的路程，除以自行车每小时比汽车少走的路程，就可以得出汽车走完全程所用的时间，也就可以求出两地距离为40×〔（40÷2.5×3）÷（40－40÷2.5）〕=80（千米）

　　13、如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端Ａ与C同时出发，绕圆周相向而行。

它们第一次相遇在离Ａ点8厘米处的B点，第二次相遇在离c点处6厘米的Ｄ点，问，这个圆周的长是多少?

　　解：

 如上图所示，第一次相遇，两只小虫共爬

　　行了半个圆周，其中从Ａ点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两

　　只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从Ａ点出发的应爬行8×3=24（厘米），比半个圆周多6厘米，半个圆周长为8×3-6=18（厘米），一个圆周长就是：

　　（8×3-6）×2=36（厘米）

　　答：

这个圆周的长是36厘米。

　　14、两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可到达。

客车每小时行50千米，如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时?

　　解法一：

由于货车和客车的速度不同，而要走的路程相同，所以货车和客车走完全程所需的时间不同，客车比货车多消耗的时间就是它比货车提早开出的时间。

列算式为

　　60×15÷50-15=3（小时）

　　解法二：

①同时出发，货车到达某地时客车距离某地还有（60-50）×15=150（千米）

　　○2客车要比货车提前开出的时间是：

150÷50=3（小时）

　　18、一个圆的周长为60厘米，三个点把这个圆圈分成三等分，3只甲虫A、B、C按顺时针方向分别在这三个点上，它们同时按逆时针方向沿着圆圈爬行，A的速度为每秒5厘米，B的速度为每秒1．5厘米，C的速度为每秒2．5厘米．问3只甲虫爬出多少时间后第一次到达同一位置?

　　解：

我们先考虑B、C两只甲虫什么时候到达同一位置，C与B相差20厘米，C追上B需要20÷（2．5-1．5）=20（秒）．而20秒后每次追及又需60÷（2.5-1.5）=60（秒）；再考虑A与C，它们第一次到达同一位置要20÷（5-2．5）=8（秒），而8秒后，每次追及又需60÷（5--2．5）=24（秒）．可分别列出A与C、B与C相遇的时间，推导出3只甲虫相遇的时间

　　解：

（1）C第一次追上B所需时间20÷（2．5-1．5）=20（秒）．

（2）以后每次C追上B所需时间：

60÷（2．5-1．5）=60（秒）．

　　（3）C追上B所需的秒数依次为：

   20，80，140，200，…．

　　（4）A第一次追上C所需时间：

20÷（5-2．5）=8（秒）．

　　（5）以后A每次追上C所需时间：

60÷（5--2．5）=24（秒）

　　（6）A追上C所需的秒数依次为：

 8，32，56，80，104…．

　　19、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。

　　解：

　先画图如下：

　　【方法一】若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：

（26-6）=20（分）。

　　同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B间的距离。

　　50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分）

　　（80+50）×6＝130×6=780（米）

　　答：

A、B间的距离为780米。

　　【方法二】设甲的速度是x米/分钟

　　那么有（x-50）×26=（x+50）×6

　　解得x=80

　　所以两地距离为（80+50）×6=780米

　　20.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快，两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰。

那么甲回到出发点共用多少小时？

　　解析：

由甲、乙两人下山的速度是上山的1.5倍，有：

　　⑴甲、乙相遇时，甲下山600米路程所需时间，相当于甲上山走600÷1.5=400米的时间。

所以甲、乙以上山的速度走一小时，甲比乙多走600+400=1000米。

　　根据⑴的结论，甲以上山的速度走1小时的路程比山坡长度多400，所以山坡长3600米。

　　1小时后，甲已下坡600米，还有3600-600=3000米。

所以，甲再用3000÷6000=0.5小时。

　　总上所述，甲一共用了1+0.5=1.5小时。

　　评注：

  本题关键在转化，把下山的距离再转化为上山的距离，这种转化是在保证时间相等的情况下。

通过转化，可以理清思路。

但是也要分清哪些距离是上山走的，哪些是下山走的。

21.某人沿电车线路行走，没12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。

假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔？

　　解析：

设两车的距离为单位1。

在车追人时，一辆车用12分钟追上距离为1的人。

所以车与人的速度差为

　　22.龟兔赛跑，全程5.2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑；兔子边跑边玩，它先跑了1分钟后玩了15分钟，又跑了2分钟后玩15分钟，再跑3分钟后玩15分钟，......。

那么先到达终点比后到达终点的快多少分钟？

　　解析：

乌龟用时：

5.2÷3×60=104分钟；兔子总共跑了：

5.2÷20×60=15.6分钟。

而我们有：

15.6=1+2+3+4+5+0.6  

　　按照题目条件，从上式中我们可以知道兔子一共休息了5次，共15×5=75分钟。

所以兔子共用时：

15.6+75=90.6分钟。

　　兔子先到达终点，比后到达终点的乌龟快：

104-90.6=13.4分钟。

　　23.A、C两地相距2千米，C、B两地相距5千米。

甲、乙两人同时从C地出发，甲向B地走，到达B地后立即返回；乙向A地走，到达A地后立即返回。

如果甲速度是乙速度的1.5倍，那么在乙到达D地时，还未能与甲相遇，他们还相距0.5千米，这时甲距C地多少千米？

　　解析：

由甲速是乙速的1.5倍的条件，可知甲路程是乙路程的1.5倍。

设CD距离为x千米，则乙走的路程是（4+x）千米，甲路程为（4+x）×1.5千米或（5×2-x-0.5）千米。

　　列方程得：

 （4+x）×1.5=5×2-x-0.5

　　x=1.4            这时甲距C地：

1.4+0.5=1.9千米。

　　24．张明和李军分别从甲、乙两地同时想向而行。

张明平均每小时行5千米；而李军第一小时行1千米，第二小时行3千米，第三小时行5千米，……（连续奇数）。

两人恰好在甲、乙两地的中点相遇。

甲、乙两地相距多少千米？

　　解析：

解答此题的关键是去相遇时间。

由于两人在中点相遇，因此李军的平均速度也是5千米/小时。

"5"就是几个连续奇数的中间数。

因为5是1、3、5、7、9这五个连续奇数的中间数，所以，从出发到相遇经过了5个小时。

甲、乙两地距离为5×5×2=50千米。

　　25.甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米，如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？

　　分析：

 在相同的时间内，乙行了（200-20）=180（米），丙行了200-25=75（米），则丙的速度是乙

26.老师教同学们做游戏：

在一个周长为114米的圆形跑道上，两个同学从一条直径的两端同时出发沿圆周开始跑，1秒钟后他们都调头跑，再过3秒他们又调头跑，依次照1、3、5……分别都调头而跑，每秒两人分别跑5.5米和3.5米，那么经过几秒，他们初次相遇？

　　解析：

⑴半圆周长为144÷2=72（米）先不考虑往返，两人相遇时间为：

72÷（5.5+3.5）=8（秒）

　　⑵初次相遇所需时间为：

1+3+5+……+15=64（秒）。

　　27.甲、乙两地间有一条公路，王明从甲地骑自行车前往乙地，同时有一辆客车从乙地开往甲地。

40分钟后王明与客车在途中相遇，客车到达甲地后立即折回乙地，在第一次相遇后又经过10分钟客车在途中追上了王明。

客车到达乙地后又折回甲地，这样一直下去。

当王明骑车到达乙地时，客车一共追上（指客车和王明同向）王明几次？

　　解析：

设王明10分钟所走的路程为a米，则王明40分钟所走的路程为4a米，则客车在10分钟所走的路程为4a×2+a=9a米，客车的速度是王明速度的9a÷a=9倍。

　　王明走一个甲、乙全程则客车走9个甲、乙全程，其中5个为乙到甲地方向，4个为甲到乙地方向，即客车一共追上王明4次。

　　28．迪斯尼乐园里冒失的米老鼠和唐老鸭把火车面对面的开上了同一条铁轨，米老鼠的速度为每秒10米，唐老鸭的速度为每秒8米。

由于没有及时刹车，结果两列火车相撞。

假如米老鼠和唐老鸭在相撞前多少秒同时紧急刹车，不仅可以避免两车相撞，两车车头还能保持3米的距离。

（紧急刹车后米老鼠和唐老鸭的小火车分别向前滑行30米）。

　　答案：

（30×2+3）÷（10+8）=3.5秒。

　　29．A、B是一圈形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿相反方向绕道匀速跑步（甲、乙两人的速度未必相同），假设当乙跑完100米时，甲、乙两人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙两人第二次相遇，那么当甲、乙两人第十二次相遇时，甲跑完几圈又几米？

　　解析：

甲、乙第一次相遇时共跑0.5圈，乙跑了100米；第二次相遇时，甲、乙共跑1.5圈，则乙跑了100×3=300米，此时甲差60米跑一圈，则可得0.5圈是300-60=240米，一圈是480米。

 第一次相遇时甲跑了240-100=140米，以后每次相遇甲又跑了140×2=280米，所以第十二次相遇时甲共跑了：

140+280×11=3220=6圈340米。

　　30.甲、乙两人步行的速度之比是7：

5，甲、乙分别由A、B两地同时出发。

如果相向而行，0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？

　　解析：

（1）设甲追上乙要x小时。

　　因为相向而行时，两人的距离÷两人的速度和=0.5小时，同向而行时，两人的距离÷两人的速度差=x小时。

 甲、乙两人的速度之比是7：

5，所以

31.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:

2,他们第一次相遇后甲的速度提高了20﹪，乙的速度提高了30﹪，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？

　　解析：

因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3:

2相遇后，甲、乙两人的速度比为〔3×（1+20﹪）〕：

〔2×（1+30﹪）〕=3.6:

2.6=18:

13到达B地时，即甲又行

　　答：

A、B两地的距离是45千米。

　　32．一条船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时逆行与顺行所用的时间比为2:

1。

一天因为下暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了10小时，甲、乙两港相距多少千米？

　　解析：

平时逆行与顺行所用的时间比为2:

1，设水流的速度为x，则9+x=2（9-x），x=3。

那么下暴雨时，水流的速度是3×2=6（千米），顺水速度就是9+6=15（千米），逆水速度就是9-6=3（千米）。

逆行与顺行

　　35甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：

甲、乙两站的距离是多少米？

　　先画图如下：

   　　分析与解：

结合上图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察：

　　①第一阶段--从出发到二人相遇：

　　小强走的路程=一个甲、乙距离+100米，

　　小明走的路程=一个甲、乙距离-100米。

　　②第二阶段--从他们相遇到小强追上小明，小强走的路程=2个甲、乙距离-100米+300米=2个甲、乙距离+200米，    小明走的路程=100+300=400（米）。

　　从小强在两个阶段所走的路程可以看出：

小强在第二阶段所走的路是第一阶段的2倍，所以，小明第二阶段所走的路也是第一阶段的2倍，即第一阶段应走400÷2＝200（米），从而可求出甲、乙之间的距离为200＋100=300（米）。

36、甲、乙二人同时从A地去280千米外的B地，两人同时出发，甲先乘车到达某一地点后改为步行，车沿原路返回接乙，结果两人同时到达B地。

已知甲、乙二人步行的速度是5千米/小时，汽车的速度是每小时55千米。

问甲下车的地点距B还有多少千米？

　　【分析】：

甲、乙二人走的路程均分为步行、乘车两部分，两人速度相等，这说明，二人乘车的路程和步行的路程分别相等．由于二人步行的速度为每小时5千米，乘车的速度为每小时55千米，所以，在相同的时间里，乘车所走的路程是步行所走路程的11倍．

　　【解】：

注意到乘车速度是人的11倍，那么相同时间下走的距离也是步行的11倍

　　由于甲乙同时到达因此两人步行的距离相同，把这个距离看做1份

　　可以设甲在c下车，车回去在d接上了乙

　　因此AD=BC AC+CD=11AD=11份，所以2AC=12份。

故AC是6份全长AB就是7份=280千米

　　所以一份是40千米

　　37、如图所示，沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。

已知甲每分走90米，乙每分走70米。

问：

至少经过多长时间甲才能看到乙？

　　【解答】当甲、乙在同一条边（包括端点）上时甲才能看到乙。

甲追上乙一条边，即追上300米需300÷（90-70）=15（分），此时甲、乙的距离是一条边长，而甲走了90×15÷300=4.5（条边），位于某条边的中点，乙位于另一条边的中点，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。

甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲总共走了5条边后就可以看到乙了，共需要300×5÷90≈16.7小时。

　　38、某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？

　　解：

根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：

7200