空间向量与立体几何知识点.docx
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空间向量与立体几何知识点
立体几何空间向量知识点总结
知识网络：
知识点拨：
1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是
向量由二维到三维的推广.
2、当a、b为非零向量时.
空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题.
rr
rrab
cosa,brr
3、公式ab是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式
可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取
值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等.
4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题.
5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法
（1）线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
（2）线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即ab0ab.
（3）线面平行
用向量证明线面平行的方法主要有：
1证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
2证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；
3利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直
线的方向向量.
（4）线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有：
1证明直线方向向量与平面法向量平行；
2利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.
（5）面面平行
1证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）；
2转化为线面平行、线线平行问题.
（6）面面垂直
1证明两个平面的法向量互相垂直；
2转化为线面垂直、线线垂直问题.
6、运用空间向量求空间角
（1）求两异面直线所成角
rr
rrab
cosa,b1r
利用公式ab,
但务必注意两异面直线所成角。
的范围是0,2
（2）求线面角
求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角©，即可求出直线与平面所成的角0,其关
系是sin0=|cos©|.
（3）求二面角
用向量法求二面角也有两种方法：
一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补.
7、运用空间向量求空间距离
空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离.
（1）点与点的距离
点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模.
（2）点与面的距离
点面距离的求解步骤是:
①求出该平面的一个法向量;
②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;
3求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离.
备考建议：
1、空间向量的引入，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，应体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力.
2、灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题.
3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时，直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用，它的特点是用代数方法解决立体几何问题，无需进行繁、难的几何作图和推理论证，起着从抽象到具体、化难为易的作用•因此，应熟练掌握平面法向量的求法和用法.
4、加强运算能力的培养，提高运算的速度和准确性.
第一讲空间向量及运算
一、空间向量的有关概念
1、空间向量的定义
在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量.注意空间向量和数量的区别.数量是只有大小而没有方向的量.
2、空间向量的表示方法
空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段来表示，用有向线段的长度
表示向量的大小，用有向线段的方向表示向量的方向.若向量a对应的有向线段
ruuuaAB
的起点是A,终点是B,则向量a可以记为AB，其模长为或A.
3、零向量
长度为零的向量称为零向量，记为0•零向量的方向不确定，是任意的•由
于零向量的这一特殊性，在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”.
4、单位向量
模长为1的向量叫做单位向量•单位向量是一种常用的、重要的空间向量，
在以后的学习中还要经常用到.
5、相等向量
长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量.若向量a与向量b相等，记
为a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
6、相反向量
长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量.a的相反向量记为一a
二、共面向量
1、定义
平行于同一平面的向量叫做共面向量.
2、共面向量定理
rrurr
若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数
urrr
对x、y,使得P=xayb0
3、空间平面的表达式
空间一点
P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对
x、y使
UULTUULTULLT
MPxMAyMB或对空间
任
」疋
占
八、、
O,
有
或
UUU
OP
UUUULUU
xOAyOB
UUUUzOM
（其
中
Xyz1）这几个式子是M,A,B,P四点共面的充要条件.
三、空间向量基本定理
1、定理
rrru
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量P，存在唯一的有序
urrr实数组x、y、z，使P=xaybzc
2、注意以下问题
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底.
（2）由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，
所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0O
（3）—个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两
c不共面。
那么所有空间向
者是相关联的不同概念.
由空间向量的基本定理知，若三个向量
iuurrrrr
量所组成的集合就是p|pxaybZC,X,y,zR,这个集合可看做是由向量a、
rrr
b、c生成的，所以我们把a,b,c称为空间的一个基底。
a、b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
3、向量的坐标表示
（1）单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1,则这个基底叫做
rrr
单位正交基底，常用i,j,k表示.
（2）空间直角坐标系
rrkrr
在空间选定一点0和一个单位正交基底i,j,k以点O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴:
x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴.则建立了
r^
一个空间直角坐标系O-xyz,点O叫原点，向量i、j、k都叫坐标向量.
（3）空间向量的坐标
给定一个空间直角坐标系和向量a,且设i、j、k为坐标向量，存在唯一有
rrrrr
序数组（x，y，z）使axiyjzk，有序数组（x，y，z）叫做a在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记为a=x,y,z。
uuuuuurrrr
对坐标系中任一点A,对应一个向量OA，则OA=axiyjzk。
在单位正交
rrruuu
基底i、j、k中与向量OA对应的有序实数组（x，y，z），叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A（x，y，z）四、空间向量的运算
1、空间向量的加法
三角形法则（注意首尾相连）、平行四边形法则,加法的运算律：
交换律a
2、空间向量的减法及几何作法
uurrrr
，则BAab，即从b的
uuuruuu几何作法：
在平面内任取一点O,作OAa，OB
终点指向a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.
3、空间向量的数乘运算
（1）定义
实数与a的积是一个向量，记为a，它的模与方向规定如下：
rr
①aa
②当0时，a与a同向；当0时，a与a异向；当0时.a0
1关于实数与空间向量的积a的理解：
我们可以把a的模扩大（当>1
时），也可以缩小（<1时），同时，我们可以不改变向量a的方向（当0
时），也可以改变向量a的方向（当o时）。
.
2注意实数与向量的积的特殊情况，当0时，a0;当0，若a0
ro
ra
有
时
③注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算.比如a,a无
法运算。
（2）实数与空间向量的积满足的运算律
设入、U是实数，则有
rr
aa
（结合律）
rrr
aaa
（第分配律）
rrrr
abab
（第二分配律）
实数与向量的积也叫数乘向量.
4、共线向量
（1）共线向量定义
若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量，也叫做平行向量。
若a与b是共线向量，则记为a//b。
注意：
零向量和空间任一向量是共线向量.
（3）空间直线的向量表示式
如果直线I是经过已知点a且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一
ujuujur
点0,点P在直线I上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAta，其中向量a叫做直线I的方向向量.
注意:
达式.
5、空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，三条坐标轴两两互相垂直，轴的方向通常这样选择：
从z轴的正方向看，x轴正半轴沿逆时针方向转900能与y轴的正半轴重合。
让右手拇指指向x轴正方向.食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系。
一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系.
在平面上画空间直角坐标系O—xyz时，一般使/xOy=135°，/yOz=9O°空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，是空间向量模长
公式的推广，如果知道儿何体上任意两点的坐标.我们就可直接套用.
设R（为，儿N）,巳区，丫2乙），贝yRP2〔J（x2xj2（y2齐（z2疔
特别地，P1（x,y,z）到原点的距离|OP|yZ
6、空间向量的数量积运算
其中a，b为a与b的夹角，范围是［0,n］，注意数量积的性质和运算律。
1.性质
a与e的夹角，则
若a、b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，0
（1）eaae|a|cos
（2）abab0
（3）若a与b同向，贝yab|a||b|;
若a与b反向，则ab|a||b|;
特别地：
aa|a|2或|a|aa
（5）|ab||a||b|
2.运算律
（1）结合律（a）b（ab）
（2）交换律abba
（3）分配律a（bc）abac
不满足消去律和结合律即：
【典型例题】
PAPBPCPD,点
求证：
EF、GH四
R
例1.已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结
E、F、GH分别为△PAB△PBG△PCD△PDA的重心。
点共面。
证明：
分别延长PE、PFPGPH交对边于MNQ
•••E、F、GH分别是所在三角形的重心
•••MN、QR为所在边的中点，顺次连结MNQ所得四边形为平行四边形,
且有
•••MNQI为平行四边形，则
•••由共面向量定理得E、F、GH四点共面。
例2.如图所示，在平行六面体ABCDA'BCD'中，ABa，ADb，AAc，
P是CA'的中点，M是CD'的中点，N是C'D'的中点，点Q是CA'上的点，且CQ
QA'=4:
1，用基底｛a，b,c｝表示以下向量：
（1）
AP;
（2）
AM；
（3）
AN;
（4）AQo
解：
连结
ACAD'
AP
-（AC
AA'）
-（AB
ADAA'）
^（abc）
（1）
2
2
2
1
1
11
AM
-（AC
AD）
-（AB
2AD
AA'）
ab
（2）
2
2
22
AN
1
—（AC
AD'）
（3）
2
AQ
ACCQAC
-（AA'AC）
（4）
5
点评：
本例是空间向量基本定理的推论的应用.此推论意在用分解定理确定点的位置，它对于以后用向量方法解几何问题很有用，选定空间不共面的三个向量作基向量.并用它们表示出指定的向量，是用向量解决几何问题的一项基本功.
例3.已知空间四边形OABC中，/A0B2BOCMAOC且OA=OB=OCMN分别是OABC的中点，G是MN的中点。
求证：
OGLBG
证明：
连结ON设/AOBWBOCKAOC=0
又设OAa,OBb,OCc，贝卩Ia||b||c|。
1
「OG（OMON）
又2、
1
OGBC—（abc）（cb）
4
•••OGLBC
例4.已知空间三点A（0,2,3）,B（-2,1,6）,C（1,-1,5）
（1）求以AB和AC为邻边的平行四边形面积；
（2）若|a|，且a分别与AB、AC垂直，求向量a的坐标。
解：
（1）由题中条件可知
•••以AB、AC为邻边的平行四边形面积：
（2）设a（x,y,z）由题意得
x1x1
y1或y1
解得z1z1
a（1,1）或a=（1,1,1
第二讲直线的方向向量、平面的法向量及其应用
一、直线的方向向量及其应用
1、直线的方向向量
直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个.
2、直线方向向量的应用
利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面.
（1）若有直线I,点A是直线I上一点，向量a是I的方向向量，在直线I
uurruuouur
上取ABa，则对于直线I上任意一点P,—定存在实数t，使得APtAB，这样，点A和向量a不仅可以确定I的位置，还可具体表示出I上的任意点.
（2）空间中平面a的位置可以由a上两条相交直线确定，若设这两条直线
交于点O,它们的方向向量分别是a和b，P为平面a上任意一点，由平面向量基
uuurr
本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得OPxayb，这样，点o与方向
向量a、b不仅可以确定平面a的位置，还可以具体表示出a上的任意点.
二、平面的法向量
1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面
的法向量也有无数个，它们是共线向量.
2、在空间中，给定一个点a和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点a的平面是唯一确定的.
三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用
iruuirrnir
1、若两直线I1、丨2的方向向量分别是Ul、U2，则有Il//I24//u2,Ii丄I2ui
uu
丄U2.
irurururir
2、若两平面a、B的法向量分别是v、V2，则有a//BV1//V2，口丄^v
Ui
丄V2.
若直线I的方向向量是u，平面的法向量是v，则有I〃au丄v，I丄a
rr
u//v
四、平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用
待定系数法求解，一般步骤如下:
1、设出平面的法向量为n（x,y,z）.
rr
2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a（anbchb（a2,b2,Q）
rr
na0rr
3、根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组nb0
4、解方程组，取其中一个解，即得法向量
五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系
（一）用向量方法证明空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：
线线平行、线面平行、面面平行.
1、线线平行
设直线丨1、12的方向向量分别是a、b，则要证明丨1〃12，只需证明a〃b,
rr
即akb（kR）
2、线面平行
（1）设直线丨的方向向量是a，平面的法向量是n，则要证明i//，只需
证明an，即an0.
（2）根据线面平行的判定定理：
“如果直线（平面外）与平面内的一条直
线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，
也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.
（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面
向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一
条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共
线向量线性表示即可.
3、面面平行
（1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平
行、线线平行即可.
（2）若能求出平面a、B的法向量u、V,贝y要证明a//只需证明u〃
r
v
（2）用向量方法证明空间中的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：
线线垂直、线面垂直、面面垂直.
1、线线垂直
设直线丨1、12的方向向量分别是a、b，则要证明丨1丄丨2,只需证明a丄b,
rr
即ab0
2、线面垂直
（1）设直线丨的方向向量是a，平面a的法向量是U，则要证丨丄a,只需
证明a//u
（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.
3、面面垂直
（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.
（2）证明两个平面的法向量互相垂直.
六、用向量方法求空间的角
（1）两条异面直线所成的角
1、定义：
设a、b是两条异面直线，过空间任一点0作直线a///a,b；//b，则a
与b/所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角.
2、范围：
两异面直线所成角。
的取值范围是
3、向量求法：
设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为，则有
cos|cos|ttr
Hlbl
4、注意：
两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，
但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直
线所成的角.
（二）直线与平面所成的角
1、定义：
直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.
0_
2、范围：
直线和平面所成角。
的取值范围是2
3、向量求法：
设直线丨的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所
au|
rrsin|cos|tl或cossin
成的角为e，a与u的夹角为，则有au
（三）二面角
1、二面角的取值范围：
【°，］
2、二面角的向量求法
（1）若ABCD分别是二面角1的两个面内与棱丨垂直的异面直线，
uuuuuiu
则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角（如图（a）所示）.
iruniruu
（2）设n1、n2是二面角丨的两个角a、B的法向量，贝V向量厲与压的
夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b）所示）.
七、用向量的方法求空间的距离
（一）点面距离的求法
如图（a）所示，BOL平面a,垂足为0,则点B到平面a的距离就是线段
ABO=
到B点到平面a的距离为
因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成:
1、求出该平面的一个法向量.
2、找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量.
3、求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出
点到平面的距离.
uu
no
由于
可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平
uuuur
面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即
ABn0
另外，等积法也是点到面距离的常用求法.
（二）线面距、面面距均可转化为点面距离用求点面距的方法进行求解。
（三）两异面直线距离的求法
如图（b）所示，设丨1、丨2是两条异面直线，n是li与丨2的公垂线段AB的方
uurruuuCDndAB—r—
向向量，又C、D分别是丨1、丨2上的任意两点，则l1与l2的距离是
【典型例题】
例1.设a、b分别是直线I1、丨2的方向向量，根据下列条件判断li与12的位置
关系。
（1）
a=
（2,3,-1）,
b
=（-6,-
9,
3）；
（2）
a=
（5,0,2）,b
=
（0,4,0）
（3）
a=
（-2,1,4）,
b
=（6,3,
3）
解：
（1）
•/a（2,3,1）,
b=
=（-6,-
9,
3）
1,
a
b
••
3
•a//b,•I
1〃
I2
（2）
•/a
=（5,0,2）,
b
=（0,4,
0）
•a
b0,
•ab,•I1
丄丨
2
（3）
•/a
（-2,1,4,
）
b=（6,
3,
3）
.•.a与b不共线，也不垂直
•••丨i与丨2的位置关系是相交或异面
例2.设u、v分别是平面a、B的法向量，根据下列条件判断a、B的位置关系：
丄
（1）u=（1,-1,2）,v=（3,2,2）；
（2）u=（0,3,0）,v=（0,-5,0）；
（3）u=（2,-3,4）,v=（4,-2,1）。
解：
（1）Vu=（1,-1,2）,v=（3,2,2）
.uv0uv.a丄B
（2）vu=（0,3,0）,v=（0,-5,0）
//
u//v
（3）vu=（2,—3,4）,v=（4,—2,1）
•••u与v既不共线、也不垂直，:
.a与B相交
点评：
应熟练掌握利用向量共线、垂直的条件。
例3.已知点A（3,0,0）,B（0,4,0）,C（0,0,5）,求平面ABC的一个单位法向量。
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