空间立体几何典型例题分析讲解.docx

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空间立体几何典型例题分析讲解

空间立体几何

xxx

考试范围：

xxx;考试时间：

100分钟；命题人:

注意事项：

1•答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2•请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

则平面ACD截球0的

1.如图，已知球0是棱长为1的正方体ABCB-ABCD的内切球,

3•某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为（

A.3B.

4•某简单几何体的三视图如图所示，其正视图.积分别是1,2,

10C.6

4,则这个几何体的体积为

D.4

侧视图•俯视图均为直角三角形，面

（）

B.

8

3

C.4

D.8

视图如图，则该棱锥的全面积（单位：

cm2）为（

5.一个棱锥的

（A）48+122

（C）36+12.2

（B）48+242

（D）36+24.2

6•一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

俯视图

A.2B.1

7.已知正方形ARP2B的边长为4,点B,C位边RP2,F2F3的中点，沿AB,BC,CA折

到平面ABC的距离为

A.1

D.2

1

A丄倍

2

旋转一周，则所形成的旋转体的体积是

9m7^5^3

A.B.C.D.

22

12.在三棱锥ABCD中，AC底面BCD,BDDC,BDDC,ACa,

ABC30,,则点C到平面ABD的距离是（）

A冷aB•乎C^aD吕

14

•如图，半球内有一内接正方体，则这个半球体积与正方体的体积之比为（

15•两个球的体积之比是8：

27，那么这两个球的表面积之比是（）

16

.甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为（）

AB1D1的距离为（

）

8

3

4

3

A.B.

-C

D

3

8

3

4

21.直三棱柱ABC

A1B1C1中，

各侧棱和底面的边长均为a,点D是CC1上任意一点,

连接AB,BD,AD,AD，则三棱锥AABD的体积为（）

13a12

-3333

aC.aD

126

22•已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）

A.16B.20C.24D.32

23.中心角为135°的扇形，其面积为B,其围成的圆锥的全面积为A则A:

B为（）

A．11：

8B．3：

8C．8：

3D．13：

8

24.与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（）

A.B.C.D.

25.直径为10cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm的小球，如果不计损

耗，可铸成这样的小球的个数为（）

A.5B.15C.25D.125

26.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比（）

A.2:

3:

5B.2:

3:

4C.3:

5:

8D.4:

6:

9

27•两个球体积之和为12n，且这两个球大圆周长之和为6n,那么这两球半径之差是

（）

A.B.1C.2D.3

28.直三棱柱各侧棱和底面边长均为a，点D是CC上任意一点，连结AB,BD,A

D,AD,则三棱锥A—ABD的体积（）

A.B.C.D.

29•将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）

222

A.B.12a2C.18a2D.24a2

30.球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于（）

A.B.1C.2D.3

31.若正棱锥底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是（）

A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

33.一个四面体所有棱长都为.2,四个顶点在同一球面上，则此球表面积为34.如图，平面四边形ABCD中，ABADCD1,BD2,BDCD，将其沿对

角线BD折成四面体A'BCD,使平面A'BD平面BCD,若四面体A'BCD顶点在同

一个球面上，则该球的体积为

35•如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且

直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为cm

36.三个球的半径之比为1:

2:

3,则最大球的体积是其他两个球的体积之和的倍

37.湖结冰时，一个球漂在其上，取出后（未弄破冰），冰面上留下了一个直径为24cm,

深为8cm的空穴，则该球的半径为

38.如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水、若放入一个半径为r的实

39.把一个大的金属球表面涂漆，需油漆，若把这个金属球熔化，制成64个半径相等

的小金属球（设损耗为零），将这些小金属球表面涂漆，需用油漆。

40.球0的一个小圆O的面积为25；丁，0到此小圆截面的距离是12,则这个球的表面

积为。

41.有6根细木棒，其中较长的两根分别为，，其余4根均为，用它们搭成三棱锥，贝U其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为

42•在右图所示的是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：

①AB与EF所在的直线平行；②AB与CD所在的直线异面；③MN与BF所在的直线成60°角；④MN与CD所在的直线互相垂直.其中正确的命题是

43.P为边长为a的正三角形ABC所在平面外一点且PAPBPCa，贝UP到

AB的距离为。

44•空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则BC与AD

的位置关系是;四边形EFGH是形；当时，四

边形EFGH是菱形；当时，四边形EFGH是矩形；当时，

四边形EFGH是正方形

45.已知正三棱锥的侧面积为18cm,高为3cm.求它的体积.

46.球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的倍

47.正六棱锥的高为4cm,最长的对角线为cm,则它的侧面积为.

评卷人

得分

48.（本题满分14分）

三、解答题（题型注释）

如图，已知正三棱柱ABC—AB1C1的底面边长是2,D是侧棱CC1的中点，直线AD

与侧面BB1C1C所成的角为45°.

⑴求此正三棱柱的侧棱长；

⑵求二面角ABDC的平面角的正切值；

⑶求直线BC与平面ABD的所成角的正弦值.

49•如图，PA丄平面ABCD,ABCD是矩形，PAAB1,AD.3，点F是PB

（1）求三棱锥EPAD的体积；

⑵当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

⑶证明：

无论点E在边BC的何处，都有PEAF.

50.（本题满分12分）

如图，轴截面为边长是2的正方形的圆柱00^!

内有一个三棱柱ABCAEG，三棱柱

的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆0的直径.A0C60

（1）求三棱柱AOCA101C1的体积；

（2）

证明：

平面AA1C1C丄平面BB]C1C

51.正三棱锥P—ABC的侧棱长为I，两侧棱的夹角为2二，求它的外接球的体积。

52.已知：

球的半径为R,要在球内作一内接圆柱，问这个圆柱的底面半径和高为何值时，它的侧面积最大

53.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别是49冗例沪和400冗分沪求球的表面积、

54.如图，正三棱柱ABC-ABC的底面边长的3，侧棱AA=D是CB延长线上一点，且

BD=BC.

（I）求证：

直线BC

参考答案

1.A

【解析】

试题分析：

根据正方体的几何特征知，平面ACD是边长为J2的正三角形，且球与与

以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD三边的中点，

故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，

△ACD内切圆的半径是返Xtan30°=

V6

2

~6

则由图得，

则所求的截面圆的面积是故选A.

考点：

正方体及其内接球的几何特征

点评：

中档题，关键是想象出截面图的形状，利用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。

2.D

【解析】

试题分析：

观察三视图知，该几何体是半个圆锥与一个四棱锥的组合体。

因为，其侧视图是

一个边长为2的等边三角形，所有，几何体高为.3。

圆锥底半径为1,四棱锥底面边长为2,

故其体积为，丄1.3122、、3©口，选Do

2336

考点：

三视图，体积计算。

点评：

简单题，三视图问题，关键是理解三视图的画法规则，应用“长对正，高平齐，宽相等”，确定数据。

认识几何体的几何特征，是解题的关键之一。

3.

【解析】D

试题分析：

由三视图可知，该几何体是一个圆锥，底面圆的半径为1，高为22，所以圆

锥的母线长为3，所以圆锥的表面积为12134

考查学生的空间想象能

考点：

本小题主要考查根据三视图识别几何体和圆锥表面积的计算,力和运算求解能力点评：

解决此类问题，关键是根据三视图正确还原几何体

4.A

【解析】

试题分析：

由三视图可知，该几何体是一个底面是直角三角形，有一条侧棱垂直于底面的三

棱锥，设底面直角三角形的两条直角边分别为a,b，垂直于底面的侧棱长为c，所以

ab2,bc4,ac8，所以该三棱锥的体积为11abc4.

323

考点：

本小题主要考查三视图的应用和三棱锥体积的计算，考查学生的空间想象能力和运算

求解能力.

点评：

解决此类问题关键是根据三视图正确还原几何体

5.A

【解析】

试题分析：

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，所以全面积为

1562166-6244812、2.

222

考点：

本小题主要考查三视图和空间几何体的表面积的计算，考查学生的空间想象能力和运

算求解能力.

点评：

求解与三视图有关的问题，关键是正确还原几何体

6.C

【解析】

该几何体的高是1,

试题分析：

由三视图可知，该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，

底面是对角线为J的正方形，所以该几何体的体积为1（、.2）21

33

考点：

本小题主要考查几何体的三视图的识别和应用以及四棱锥体积的计算，考查学生的空

间想象能力和运算求解能力.

点评：

解决与三视图有关的问题，关键是由三视图正确还原几何体

7.A

【解析】

试题分析：

折叠后的三棱锥PABC中PA,PB,PC两两垂直，所以三棱锥的外接球与以

PA,PB,PC为临边的长方体外接球是相同的，球的直径2R等于长方体体对角线2.6,

R.6S4R224

考点：

三棱锥外接球

点评：

解本题的关键点在于利用PA,PB,PC两两垂直将三棱锥外接球转化为长方体外接球

8.A

【解析】由球的表面积公式可知S求4R220,R飞,

所以因为AB=AC=2,BC=23,所以BAC120°,所以

、2

—倍，选B.

4

1200，若将ABC

则可知是乞,

2

BC一2r-3-2rr2,所以球心到平面ABC的距离为sin120°'sin120°'

d,（5）2221.

9.A

【解析】当Si=Sa=S3=S=S时，入=4;当高趋向于零时，入无限接近2

10.B

【解析】根据斜二侧画法可知，平行与x轴的不变，y轴的缩为原来的一半，则一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的

11.D

【解析】根据旋转体的概念可知，ABC中，ab2,BC1.5,ABC

绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积大圆锥减去小的圆锥的体积,

ABC

30,,则点C到平面ABD的距离是-15a，选B

5

13.D

【解析】

因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为

17.D

即2R2.6,R.6,S求4R224

23.A

133

【解析】设扇形半径为R,则AR2R2;圆锥底面圆半径为r,则

248

3323232332

2rR,r-R;所以BAr2R2（—R）2R2.所以

488864

A:

B11:

8.故选A

24.B

【解析】设正方体棱长为a,球半径为r;由条件知a2r.则球表面积正方体的表

22

面积之比为4「4「

■.故选B

6a26（2「）26

25.D

【解析】

4

设个数为n;则

3

5n

43

13,n125.故选D

3

3

26.D

【解析】

设球的半径为：

1,

则球的外切圆柱的底面半径为：

1，高为:

2,

球的外切等边圆锥的底面半径为：

.3,

圆锥的高为：

3

所以球的体积为：

4

3

圆柱的体积：

2

2Xnl=2n

圆锥的体积：

13233

3

一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比-:

2n

3

3n

即4:

6:

9

故选D

27.B

【解析】

设两个球的半径分别为r1,r2,那么:

4/33\

（「1「2）12

31

2（r1r2）6

于是：

r,3r239

r1r23

「1「2）

J叮（*「2）（JJ

即：

93（r12r22r1r2）

r1r2r1r23

（r1r2）23r1r23

「1r22

22

于疋：

*「2A「2「2

（「1「2）21

「21

故选B

所以：

V三棱锥bAAD

1u113.33

S^AADhaaa=a

3AA1D32212

故选C.

29.B

1

【解析】27个全等的小正方体的棱长为a;边长为a的正方体的表面积为6a2;27个全等

3

的小正方体的表面积和为276（-a）218a2;则表面积增加了12a2。

故选B

3

30.D

【解析】设球半径为R,则-R34R2R3故选D

3，

31.D

【解析】正四面体，正方体，正五棱锥的底面边长与侧棱长相等。

因为正六边形的中心到各个顶点的距离相等且等于正六边形的边长，所以不存在底面边长和侧棱长相等的六棱锥，故选D

32.

【解析】

由一条长度为2的侧

考查学生的空间想

试题分析：

由三视图可知，该几何体是一个底面是边长为2的正方形,

18

棱垂直于底面的四棱锥，所以该四棱锥的体积为-222-

33

考点：

本小题主要考查空间几何体的三视图和空间几何体的体积的计算，象能力和运算求解能力.

点评：

求解与三视图有关的几何问题的关键是根据三视图正确还原几何体

33.3

【解析】

试题分析：

显然该四面体是一个正四面体，把这个正四面体置于一个正方体中，在棱长为1

，所以球的半径

的正方体ABCDABCD中，由四个顶点A,B,C,D组成的四面体的所有棱长均为2,

从而四面体的外接球就是正方体的外接球，由于正方体的体对角线长为

考点：

本小题主要考查四面体与外接球的关系和球的表面积的计算，考查学生的空间想象能

力和运算求解能力•

点评：

此题的解法很特殊但是很有效，其实借助规则的几何体进行解题是常用的解题方法•

73

34.

2

【解析】

试题分析：

由题意可知，ABAC,所以若四面体A'BCD顶点在同一个球面上，则BC

考点：

本小题主要考查球内接多面体，球的体积等，考查学生的空间想象能力和运算求解能

力•

点评：

本题属于比较基础的题目，正确求出球的半径是解题的关键

【解析】

试题分析：

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，该三棱锥底面为直角边为1的等腰直角

111

三角形，由一条侧棱垂直于底面，长度为1，所以该几何体的体积为一一111一

326

考点：

本小题主要考查由几何体的三视图还原几何体和空间几何体的体积计算，考查学生的

空间想象能力和运算求解能力•

点评：

解决此类问题的关键是根据三视图还原几何体，另外有时此类题目还考查表面积的计

算•

36.3

43

【解析】不妨三个球半径分别为1,2,3;则最大球的体积为3336;其他两个球的体

3

4343

积之和为132312.则最大球的体积是其他两个球的体积之和的3倍.

33

37.13cm

【解析】设球半径为R,则R2（R8）2122.解得R13.

2馅

38.

?

是大的金属球表面积的4倍；所以需用油漆2.449.6kg.

40.676；厂

【解析】因为小圆O的面积为25，所以小圆O的半径为5,

球的半径R、5212213,

所以球的表面积S4R24132676。

41.或0

【解析】依题意可得，三棱锥中较长的两条棱长为.3a^,2a，设这两条棱所在直

线的所成角为。

若这两条棱相交，则这两条棱长所在面的第三条棱长为a，由余弦定理可

由图可知,

确；MN

ABEF且异面，①不正确；AB与CD异面，②正确;

CD，④正确

【解析】如图，设

PAPB

以OEAB，而POAB，所以AB面POE，从而可得ABPE，所以PE长为点P

到AB距离。

而PAB是边长为a的正三角形，E是AB中点，所以可得PEa

2

44.异面直线；平行四边形；BDAC;BDAC;BDAC且BDAC【解析】

1

由图可知，BC,AD为异面直线。

因为E,H分别是AB,AD中点，所以EH//BD。

同

2

1

理可得FG//—BD，所以EH//FG，则四边形EFGH是平行四边形。

2

111

由上可得EF//-AC，当四边形EFGH是菱形时，EFEH，即一AC-BD，所以=222

可得BDACo

当四边形EFGH是矩形时，EFEH，因为EF//AC,EH//BD，所以可得BDAC。

当四边形EFGH是正方形时，有EFEH且EFEH，从而可得BDAC且

BDAC

45.cm

31ah18、,32

【解析】设底面边长为a，斜高为h;则，解得a6.所以正

32邑）2h2

6

三棱锥的体积为1旦6239J3

34

46.8

【解析】设球半径为r,扩大后球半径为R;则4R244r2,R2r.于是扩大

434343

后体积为—R3_（2r）38-r3.所以它的体积扩大为原来的8倍.

333

47.cm

【解析】由条件知：

正六棱锥底面边长为23;则斜高为,4（$2力）25;所以正

六棱锥的侧面积为6-2丁3530J3

2

：

30

48.

（1）22

（2）3（3）——

10

【解析】

试题分析：

（1）设正三棱柱ABC—ABG的侧棱长为x•取BC中点E，连接AE.

ABC是正三角形，AEBC.

又底面ABC侧面BB1C1C，且交线为BC.

AE侧面BB1C1C.

AFE为二面角ABDC的平面角.

在RtBEF中，EFBEsinEBF,

面PBE，进而AFPE【解析】

试题分析：

EF//PC，又EF平面PAC,PC平面PAC,EF//平面PAC.

⑶证明

ABCD:

PA丄平面ABCD,

BE

平面ABCD,

•BE

PA，又BEAB,ABIPA

A,

AB,PA平面PAB,

BE

平面PAB.又AF平面PAB,

•AFBE.

又PA

AB1，点F是PB的中点，•

PB

AF,

又QPBIBEB,PB,BE平面PBE,

•••AF丄平面PBE.

•••PE平面PBE,•AFPE.……14分

考点：

本小题主要考查三棱锥体积的计算、线面平行、线面垂直等的证明，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力•

点评：

计算三棱锥体积时，注意可以根据需要让任何一个面作底面，还经常利用等体积法求三棱锥的高

50.

（1）

【解析】本试题主要是考查了空间几何体的体积和面面垂直的证明的综合运用

结合体

4

1

（1）由题知AOOC1,又AOC60则Saaoc-AOOCsin60

2

积公式得到结论。

（2）QAA1BCQAC

BCBC面AA1C1C面BB1C1C面AA1C1C

由题知AO

OC

1

又AOC

60

1

3

则Saaoc

-AO

OCsin60

2

4

3

VAOC

AA,

2

AA1BC

ACBC

BC面AA1C1C面BB1C1C面AA1C1C

51.

【解析】解：

如图,

•/0D丄底面ABC

•••P、OD三点共线。

•••pa=PB=PC=J—APB=*

设二APD='，作01PA于

•AB=、‘’：

:

iJ=2lsin

E,在R虫APD中,

AD

2

sinE=

~PA

—

3

sin

又OP=OA=R

1

1

pe=

J

pa：

在R二POE中,

PE

R=PO=■''1

52.当内接圆柱底面半径为：

R,高为QR时，圆柱的侧面积最大

【解析】解：

设球内接圆柱的高为h,底面半径为r,侧面积为S

邑

•••（亍）2+『=於,•••h=2】/，

则S=2nrh=4nrJ，-"

人一222222

令y=S,x=r,•y=—16nx+16nRx

.•.当x=：

时，即r=心=卫R时，S取最大值，这时圆柱的高h=2^2R

故当内接圆柱底面半径为3R,高为叫厅R时，圆柱的侧面积最大、

2

53.2500n（cm）

【解析】解：

设O,O2分别是两截面圆的圆心，A0与BQ分别是截面半径，由球的截面性

质知

A0//B02,且Q,Q分