步步高高中数学 步步高选修21 第二章241.docx
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步步高高中数学步步高选修21第二章241
2．4.1 抛物线及其标准方程
学习目标
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．
知识点一 抛物线的定义
思考 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？
答案 抛物线．
梳理
（1）平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
（2）定义的实质可归纳为“一动三定”：
一个动点，设为M；一个定点F（抛物线的焦点）；一条定直线（抛物线的准线）；一个定值（即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1）．
知识点二 抛物线的标准方程
思考 抛物线标准方程有何特点？
答案
（1）点在抛物线上；
（2）对称轴为坐标轴；（3）p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；（4）准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；（5）焦点、准线到原点的距离都等于
.
梳理 一条抛物线，由于它在平面内的位置不同，所以方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：
y2＝2px（p>0），y2＝－2px（p>0），x2＝2py（p>0），x2＝－2py（p>0）．
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：
图象
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px（p>0）
（
，0）
x＝－
y2＝－2px（p>0）
（－
，0）
x＝
x2＝2py（p>0）
（0，
）
y＝－
x2＝－2py（p>0）
（0，－
）
y＝
类型一 抛物线定义理解及应用
例1
（1）动点M的坐标满足方程5
＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．以上都不对
（2）已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆x2＋y2＝1上运动，则点Q（x＋y，xy）的轨迹所在的曲线是________（在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答）．
答案
（1）C
（2）抛物线
解析
（1）把方程5
＝|3x＋4y－12|转化为
＝
，
设动点M（x，y），上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x＋4y－12＝0的距离，所以动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
（2）设动点Q（x′，y′），则有x′＝x＋y,y′＝xy，又有x2＋y2＝1，即（x＋y）2－2xy＝1，所以x′2－2y′＝1，故Q（x＋y，xy）的轨迹所在的曲线是抛物线．
反思与感悟 抛物线的判断方法
（1）可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线（直线不过定点）的距离．
（2）求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程．
跟踪训练1 平面上动点P到定点F（1,0）的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
解 方法一 设点P的坐标为（x，y），
则有
＝|x|＋1，
两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.
∴y2＝
即点P的轨迹方程为y2＝
方法二 由题意，动点P到定点F（1,0）的距离比到y轴的距离大1，
由于点F（1,0）到y轴的距离为1，
故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；
当x≥0时，原命题等价于点P到点F（1,0）与到直线x＝－1的距离相等，
故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，
方程为y2＝4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2＝
类型二 求抛物线的标准方程
例2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
（1）抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
（2）抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
解
（1）双曲线方程可化为
－
＝1，
左顶点为（－3,0），
由题意设抛物线方程为y2＝－2px（p>0）且
＝－3，
∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.
（2）设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px（p≠0），A（m，－3），由抛物线定义得5＝|AF|＝
.
又（－3）2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
反思与感悟 抛物线标准方程的求法
（1）定义法：
建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
（2）待定系数法：
由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
跟踪训练2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．
解 设抛物线方程为y2＝－2px（p>0），
则焦点F
，由题意，
得
解得
或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2
.
抛物线的焦点坐标为（－2,0），准线方程为x＝2.
类型三 抛物线的实际运用
例3 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
解 如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合．
设抛物线的标准方程为y2＝2px（p>0），
由已知条件可得，
点A的坐标是（0.5,2.4），
代入方程，
得2.42＝2p×0.5，
即p＝5.76.
所以所求抛物线的标准方程是y2＝11.52x，
焦点坐标是（2.88,0）．
反思与感悟 把实际问题转化为数学问题，利用抛物线的知识来解决实际问题.在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．
跟踪训练3 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在的直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少？
解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py（p>0），
因为点C（5，－5）在抛物线上，所以25＝－2p·（－5），因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A（－4，y0）在抛物线上，
所以16＝－5y0，即y0＝－
，
所以OA的长为5－
＝1.8（m）．
所以管柱OA的长为1.8m.
1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是（ ）
A．（1,0）B.
C.
D.
答案 D
解析 由y＝2x2，得x2＝
y，所以p＝
，故焦点坐标为
.
2．焦点在直线x＝1上的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2＝2xB．x2＝4y
C．y2＝－4xD．y2＝4x
答案 D
解析 由焦点在直线x＝1上，故焦点坐标为（1,0），∴抛物线开口向右且
＝1，∴p＝2，∴方程为y2＝2px＝4x.
3．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为（ ）
A．x2＝－28yB．y2＝28x
C．y2＝－28xD．x2＝28y
答案 B
解析 抛物线开口向右，方程为y2＝2px（p>0）的形式，又
＝7，所以2p＝28，方程为y2＝28x.
4．过（2,4）点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线的标准方程为________．
答案 x2＝y
解析 由已知可设抛物线方程为x2＝my代入点（2,4）
得4＝4m，
∴m＝1.故方程为x2＝y.
5．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．
答案
解析 抛物线方程化为x2＝
y，准线为y＝－
，由于点M到焦点的距离为1，所以M到准线的距离也为1，所以M点的纵坐标等于1－
＝
.
（1）焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx（m≠0），此时焦点为F（
，0），准线方程为x＝－
；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my（m≠0），此时焦点为F（0，
），准线方程为y＝－
.
（2）设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M（x0，y0）在抛物线y2＝2px（p>0）上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋
.
（3）对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
一、选择题
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为（0,1）
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为（1,0）
D．开口向右，焦点为
答案 B
解析 由y＝4x2得x2＝
y，∴开口向上，焦点坐标为
.
2．若抛物线y2＝ax的焦点与椭圆
＋
＝1的左焦点重合，则a的值为（ ）
A．－4B．2C．－8D．4
答案 C
解析 由椭圆可知左焦点坐标为（－2,0），
∴抛物线开口向左且
＝2，∴p＝4，
故方程为y2＝－8x，
∴a＝－8.
3．已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为（ ）
A.
B．1C．2D．4
答案 C
解析 抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－
，它与圆相切，所以必有3－
＝4，p＝2.
4．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0（a>b>0）的曲线大致是（ ）
答案 D
解析 a2x2＋b2y2＝1，可化为
＋
＝1，
因为a>b>0，所以
<
，其表示焦点在y轴上的椭圆；而ax＋by2＝0可化为y2＝－
x，其表示开口向左的抛物线，故应选D.
5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于点A.若|AF|＝3，则点A的坐标为（ ）
A．（2,2
）B．（2，－2
）
C．（2，±2
）D．（1，±2）
答案 C
解析 ∵|AF|＝3，∴点A到准线l：
x＝－1的距离为3，
∴A点的横坐标为2，代入抛物线方程中得纵坐标为±2
，故选C.
6．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过点（－1,1），则该抛物线焦点坐标为（ ）
A．（－1,0）B．（1,0）C．（0，－1）D．（0,1）
答案 B
解析 抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－
，由题设知－
＝－1，即p＝2，故焦点坐标为
.故选B.
二、填空题
7．以坐标原点为顶点，（－1,0）为焦点的抛物线的方程为____________________．
答案 y2＝－4x
解析 由题意可设抛物线的方程为y2＝－2px（p>0），
则有－
＝－1，得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝－4x.
8．以双曲线
－
＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．
答案 y2＝16x
解析 ∵双曲线的方程为
－
＝1，
∴右顶点为（4,0）．
设抛物线的标准方程为y2＝2px（p>0），
则
＝4，即p＝8，∴抛物线的标准方程为y2＝16x.
9．已知抛物线y2＝2x上一点P（m,2），则m＝________，点P到抛物线的焦点F的距离为________．
答案 2
解析 将（m,2）代入抛物线中得4＝2m，
得m＝2，
由抛物线的定义可知点P到抛物线的焦点F的距离为2＋
＝
.
10．已知抛物线y2＝4x上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到y轴的最短距离是________．
答案 2
解析 设AB中点为M，准线为x＝－1，
焦点F（1,0），过M作准线的垂线MN，
作AC垂直准线于C，
BD垂直准线于D，
则：
MN＝
，
由抛物线的性质：
AC＝AF，BD＝BF，
所以MN＝
，
AF＋BF≥AB，
当AB过F点时，
满足AF＋BF＝AB，
所以，MN≥
，又AB＝6，
所以，MN≥3，设M到y轴的距离为d，显然有：
d＝MN－1，所以，d≥2，
即AB中点M到y轴最短距离为2.
三、解答题
11．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过
－
＝1的一个焦点，而且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点
，求抛物线和双曲线的方程．
解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px（p>0），将点
代入方程得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1，由此知道双曲线方程中c＝1，焦点为（－1,0），（1,0），点
到两焦点距离之差2a＝1，
所以双曲线的标准方程为
－
＝1.
12．某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米．一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系（如图）．
设抛物线的方程是x2＝－2py（p>0），
由题意知（4，－5）在抛物线上，
故：
16＝－2p×（－5），
所以p＝
，
则抛物线的方程是
x2＝－
y（－4≤x≤4），
设水面上涨，木船两侧面与抛物线拱桥接触于B，B′时，木船开始不能通航，
设B（2，y′），
所以22＝－
y′⇒y′＝－
，
即水面与拱顶相距为0.75＋
＝2（米），
故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船不能通航．
13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q（6,0），求抛物线的方程．
解 设抛物线的方程为y2＝2px（p>0）,则其准线为x＝－
.设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵|AF|＋|BF|＝8，
∴x1＋
＋x2＋
＝8，
即x1＋x2＝8－p.
∵Q（6,0）在线段AB的中垂线上，
∴|QA|＝|QB|，
即
＝
，
又y
＝2px1，y
＝2px2，
∴（x1－x2）（x1＋x2－12＋2p）＝0.
∵AB与x轴不垂直，
∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，
即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
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