步步高高中数学 步步高选修21 第二章241.docx
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步步高高中数学步步高选修21第二章241
2.4.1 抛物线及其标准方程
学习目标
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义,能解决简单的求抛物线标准方程问题.
知识点一 抛物线的定义
思考 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么?
答案 抛物线.
梳理
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
(2)定义的实质可归纳为“一动三定”:
一个动点,设为M;一个定点F(抛物线的焦点);一条定直线(抛物线的准线);一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1).
知识点二 抛物线的标准方程
思考 抛物线标准方程有何特点?
答案
(1)点在抛物线上;
(2)对称轴为坐标轴;(3)p为大于0的常数,其几何意义表示焦点到准线的距离;(4)准线与对称轴垂直,垂足与焦点关于原点对称;(5)焦点、准线到原点的距离都等于
.
梳理 一条抛物线,由于它在平面内的位置不同,所以方程也就不同,故抛物线的标准方程有以下几种形式:
y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下:
图象
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2=2px(p>0)
(
,0)
x=-
y2=-2px(p>0)
(-
,0)
x=
x2=2py(p>0)
(0,
)
y=-
x2=-2py(p>0)
(0,-
)
y=
类型一 抛物线定义理解及应用
例1
(1)动点M的坐标满足方程5
=|3x+4y-12|,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆B.双曲线
C.抛物线D.以上都不对
(2)已知点P(x,y)在以原点为圆心的单位圆x2+y2=1上运动,则点Q(x+y,xy)的轨迹所在的曲线是________(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答).
答案
(1)C
(2)抛物线
解析
(1)把方程5
=|3x+4y-12|转化为
=
,
设动点M(x,y),上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x+4y-12=0的距离,所以动点M的轨迹是以原点为焦点,以直线3x+4y-12=0为准线的抛物线.
(2)设动点Q(x′,y′),则有x′=x+y,y′=xy,又有x2+y2=1,即(x+y)2-2xy=1,所以x′2-2y′=1,故Q(x+y,xy)的轨迹所在的曲线是抛物线.
反思与感悟 抛物线的判断方法
(1)可以看动点是否符合抛物线的定义,即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离.
(2)求出动点的轨迹方程,看方程是否符合抛物线的方程.
跟踪训练1 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.
解 方法一 设点P的坐标为(x,y),
则有
=|x|+1,
两边平方并化简得y2=2x+2|x|.
∴y2=
即点P的轨迹方程为y2=
方法二 由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,
由于点F(1,0)到y轴的距离为1,
故当x<0时,直线y=0上的点适合条件;
当x≥0时,原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,
故点P的轨迹是以F为焦点,x=-1为准线的抛物线,
方程为y2=4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2=
类型二 求抛物线的标准方程
例2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.
解
(1)双曲线方程可化为
-
=1,
左顶点为(-3,0),
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且
=-3,
∴p=6,∴抛物线的方程为y2=-12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2px(p≠0),A(m,-3),由抛物线定义得5=|AF|=
.
又(-3)2=2pm,∴p=±1或p=±9,
故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
反思与感悟 抛物线标准方程的求法
(1)定义法:
建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化简,根据定义求出p,最后写出标准方程.
(2)待定系数法:
由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式,然后再利用已知条件确定p的值.
跟踪训练2 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值,并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.
解 设抛物线方程为y2=-2px(p>0),
则焦点F
,由题意,
得
解得
或
故所求的抛物线方程为y2=-8x,m=±2
.
抛物线的焦点坐标为(-2,0),准线方程为x=2.
类型三 抛物线的实际运用
例3 一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m,试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标.
解 如图,在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合.
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),
由已知条件可得,
点A的坐标是(0.5,2.4),
代入方程,
得2.42=2p×0.5,
即p=5.76.
所以所求抛物线的标准方程是y2=11.52x,
焦点坐标是(2.88,0).
反思与感悟 把实际问题转化为数学问题,利用抛物线的知识来解决实际问题.在建立抛物线的标准方程时,常以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系,这样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于应用.
跟踪训练3 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处,喷出水流的最高点B高5m,且与OA所在的直线相距4m,水流落在以O为圆心,半径为9m的圆上,则管柱OA的长是多少?
解 如图所示,建立直角坐标系,设水流所形成的抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
因为点C(5,-5)在抛物线上,所以25=-2p·(-5),因此2p=5,所以抛物线的方程为x2=-5y,点A(-4,y0)在抛物线上,
所以16=-5y0,即y0=-
,
所以OA的长为5-
=1.8(m).
所以管柱OA的长为1.8m.
1.抛物线y=2x2的焦点坐标是( )
A.(1,0)B.
C.
D.
答案 D
解析 由y=2x2,得x2=
y,所以p=
,故焦点坐标为
.
2.焦点在直线x=1上的抛物线的标准方程是( )
A.y2=2xB.x2=4y
C.y2=-4xD.y2=4x
答案 D
解析 由焦点在直线x=1上,故焦点坐标为(1,0),∴抛物线开口向右且
=1,∴p=2,∴方程为y2=2px=4x.
3.已知抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为( )
A.x2=-28yB.y2=28x
C.y2=-28xD.x2=28y
答案 B
解析 抛物线开口向右,方程为y2=2px(p>0)的形式,又
=7,所以2p=28,方程为y2=28x.
4.过(2,4)点,顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线的标准方程为________.
答案 x2=y
解析 由已知可设抛物线方程为x2=my代入点(2,4)
得4=4m,
∴m=1.故方程为x2=y.
5.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是________.
答案
解析 抛物线方程化为x2=
y,准线为y=-
,由于点M到焦点的距离为1,所以M到准线的距离也为1,所以M点的纵坐标等于1-
=
.
(1)焦点在x轴上的抛物线,其标准方程可以统设为y2=mx(m≠0),此时焦点为F(
,0),准线方程为x=-
;焦点在y轴上的抛物线,其标准方程可以统设为x2=my(m≠0),此时焦点为F(0,
),准线方程为y=-
.
(2)设M是抛物线上一点,焦点为F,则线段MF叫做抛物线的焦半径.若M(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)上,则根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化,所以焦半径|MF|=x0+
.
(3)对于抛物线上的点,利用定义可以把其到焦点的距离转化为准线的距离,也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离,因此可以解决有关距离的最值问题.
一、选择题
1.对抛物线y=4x2,下列描述正确的是( )
A.开口向上,焦点为(0,1)
B.开口向上,焦点为
C.开口向右,焦点为(1,0)
D.开口向右,焦点为
答案 B
解析 由y=4x2得x2=
y,∴开口向上,焦点坐标为
.
2.若抛物线y2=ax的焦点与椭圆
+
=1的左焦点重合,则a的值为( )
A.-4B.2C.-8D.4
答案 C
解析 由椭圆可知左焦点坐标为(-2,0),
∴抛物线开口向左且
=2,∴p=4,
故方程为y2=-8x,
∴a=-8.
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为( )
A.
B.1C.2D.4
答案 C
解析 抛物线y2=2px的准线方程为x=-
,它与圆相切,所以必有3-
=4,p=2.
4.在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是( )
答案 D
解析 a2x2+b2y2=1,可化为
+
=1,
因为a>b>0,所以
<
,其表示焦点在y轴上的椭圆;而ax+by2=0可化为y2=-
x,其表示开口向左的抛物线,故应选D.
5.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A.若|AF|=3,则点A的坐标为( )
A.(2,2
)B.(2,-2
)
C.(2,±2
)D.(1,±2)
答案 C
解析 ∵|AF|=3,∴点A到准线l:
x=-1的距离为3,
∴A点的横坐标为2,代入抛物线方程中得纵坐标为±2
,故选C.
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )
A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)
答案 B
解析 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-
,由题设知-
=-1,即p=2,故焦点坐标为
.故选B.
二、填空题
7.以坐标原点为顶点,(-1,0)为焦点的抛物线的方程为____________________.
答案 y2=-4x
解析 由题意可设抛物线的方程为y2=-2px(p>0),
则有-
=-1,得p=2,
所以抛物线的方程为y2=-4x.
8.以双曲线
-
=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________.
答案 y2=16x
解析 ∵双曲线的方程为
-
=1,
∴右顶点为(4,0).
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),
则
=4,即p=8,∴抛物线的标准方程为y2=16x.
9.已知抛物线y2=2x上一点P(m,2),则m=________,点P到抛物线的焦点F的距离为________.
答案 2
解析 将(m,2)代入抛物线中得4=2m,
得m=2,
由抛物线的定义可知点P到抛物线的焦点F的距离为2+
=
.
10.已知抛物线y2=4x上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到y轴的最短距离是________.
答案 2
解析 设AB中点为M,准线为x=-1,
焦点F(1,0),过M作准线的垂线MN,
作AC垂直准线于C,
BD垂直准线于D,
则:
MN=
,
由抛物线的性质:
AC=AF,BD=BF,
所以MN=
,
AF+BF≥AB,
当AB过F点时,
满足AF+BF=AB,
所以,MN≥
,又AB=6,
所以,MN≥3,设M到y轴的距离为d,显然有:
d=MN-1,所以,d≥2,
即AB中点M到y轴最短距离为2.
三、解答题
11.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过
-
=1的一个焦点,而且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点
,求抛物线和双曲线的方程.
解 因为交点在第一象限,抛物线的顶点在原点,其准线垂直于x轴,所以可设抛物线方程为y2=2px(p>0),将点
代入方程得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.准线方程为x=-1,由此知道双曲线方程中c=1,焦点为(-1,0),(1,0),点
到两焦点距离之差2a=1,
所以双曲线的标准方程为
-
=1.
12.某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶5米时,水面宽8米.一木船宽4米,高2米,载货的木船露在水面上的部分为0.75米,当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?
解 以桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图).
设抛物线的方程是x2=-2py(p>0),
由题意知(4,-5)在抛物线上,
故:
16=-2p×(-5),
所以p=
,
则抛物线的方程是
x2=-
y(-4≤x≤4),
设水面上涨,木船两侧面与抛物线拱桥接触于B,B′时,木船开始不能通航,
设B(2,y′),
所以22=-
y′⇒y′=-
,
即水面与拱顶相距为0.75+
=2(米),
故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时,木船不能通航.
13.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0),求抛物线的方程.
解 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则其准线为x=-
.设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵|AF|+|BF|=8,
∴x1+
+x2+
=8,
即x1+x2=8-p.
∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上,
∴|QA|=|QB|,
即
=
,
又y
=2px1,y
=2px2,
∴(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.
∵AB与x轴不垂直,
∴x1≠x2.
故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,
即p=4.
从而抛物线方程为y2=8x.