1课标版数学考前综合试题一A.doc

1课标版数学考前综合试题一A.doc

《1课标版数学考前综合试题一A.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1课标版数学考前综合试题一A.doc（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

2013课标版数学考前综合试题一A姓名

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.）

1.（2012·郑州质检）集合A=｛0，1,2｝，B={}，则（）

A.｛0｝B.｛1｝C.｛0，1｝D.｛0，1,2｝

2.（2012·郑州质检）函数的定义域为（）

A.B.C.D.

3.（2012·山东卷）已知全集，集合，则为（）

A.B.C.D.

4.[2012·湖南卷]命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）

A.若α≠，则tanα≠1B.若α=，则tanα≠1

C.若tanα≠1，则α≠D.若tanα≠1，则α=

5.（2012·太原模拟）已知集合，，全集，则图中阴影部分表示的集合为（）

A.B.

C.D.

6.（2012·哈尔滨第六中学三模）命题“”的否定为（）

A.B.

C.D.

7.[2012·山东卷]设命题p：

函数的最小正周期为；命题q：

函数的图象关于直线对称，则下列判断正确的是（）

A.p为真　　　B.为假　　　　C.为假　　　D.为真

8．（2012·昆明第一中学一摸）函数是奇函数,且在上单调递增,则等于（）

A.0 B.-1 C.1 D.

9.（2012·大连沈阳联考）设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的（）

A.充要条件B.充分而不必要的条件

C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件

10．（2012·昆明第一中学一摸）函数图象交点的横坐标所在区间是（）

A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（1，5）

11.（理）（2012·郑州质检）如图2所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投1000颗豆子（每颗豆子落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），其中不在叶形图的有600颗，则叶形图面积是（）

A.B.C.D.

（文）（2012·哈尔滨第六中学三模）函数在点处

的切线方程为，则等于（）

A．B．C．D．

12.（理）（2012·昆明第一中学一摸）已知函数的周期为2,当时,,如果，则函数的所有零点之和为（）

A．2 B．4 C．6 D．8

（文）（2012·昆明第一中学一摸）已知，则方程所有实数根的个数为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.

13.（2012·唐山二模）

14.（2012·郑州质检）定义在R上的函数是增函数，则满足的x取值范围是.

15.[2012·上海卷]若集合，，则.

16.（2012·保定二模）设集合函数则x0取值区间是.

三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

17．（本小题满分10分）

已知函数。

（Ⅰ）求的最小正周期：

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.

（Ⅰ）求证：

平面

（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.

19.（本小题满分12分）

（理）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．

（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；

（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：

kg/hm2）如下表：

品种甲

403

397

390

404

388

400

412

406

品种乙

419

403

412

418

408

423

400

413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

（文）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1．2．3．4．5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X

1

2

3

4

5

f

a

0．2

0．45

b

C

（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；

（11）在

（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。

20.（本小题满分12分）

时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：

千套）与销售价格（单位：

元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.

（1）求的值；

（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）

21．（本小题满分12分）

（理）[2012·北京卷]已知函数f（x）＝ax2＋1（a>0），g（x）＝x3＋bx.

（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；

（2）当a2＝4b时，求函数f（x）＋g（x）的单调区间，并求其在区间（－∞，－1]上的最大值．

（文）[2012·北京卷]已知函数f（x）＝ax2＋1（a>0），g（x）＝x3＋bx.

（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；

（2）当a＝3，b＝－9时，若函数f（x）＋g（x）在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．

22.（本小题满分12分）

如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。

（Ⅰ）求，的方程；

（Ⅱ）设与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线l与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E．

（i）证明：

MD⊥ME;

（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是，．问：

是否存在直线l,使得?

请说明理由。

2013课标版数学考前综合试题一A参考答案

1.C【解析】.

2.D【解析】由，得，又，故函数的定义域为.

3.C【解析】,所以,选C.

4.C【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以“若α=，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”.

5.C【解析】由题意，集合,,所以阴影部分为.

6.B【解析】全称性命题的否定一要否量词，二要否结论，所以原命题的否定为：

.

7.C【解析】函数的最小正周期为，所以命题为假；函数的对称轴为,所以命题为假，所以为假.

8．C【解析】方法一:

由函数是奇函数,得

对一切实数恒成立,即对一切实数恒成立,所以对一切实数恒成立,故,解得.当时,不满足在上单调递增;当时,满足在上单调递增.综上,.

方法二:

若函数是奇函数,则,解得.当时,不满足在上单调递增;当时,满足在上单调递增.综上,.

9.C【解析】由线面垂直的定义可知，反之只有当a与b是两条相交直线时才成立，故“，”是“”必要而不充分的条件.

10．C【解析】设，因为，所以.又函数的图象是连续不断的，所以由零点存在定理得，的零点在区间内，即函数图象交点的横坐标所在区间是.

11.（理）D【解析】由几何概型得，所投的点落在叶形图内部的概率是.

（文）D【解析】由导数的定义得所以.

12.（理）D【解析】函数的零点即为函数与函数的交点的横坐标.作出函数与函数的图象（如下图），函数与函数的图象都关于直线对称，且在对称轴的左右两端各有4个交点，故函数的所有零点之和为.

（文）D【解析】设，.易知函数的图象关于y轴对称，函数的最小正周期为1，作出函数与函数的图象（如下图所示）.数形结合易知函数与函数的图象有5个交点，故方程所有实数根的个数为5.

13.【解析】由,得.

14.【解析】由函数是增函数，得，解得.

15.【解析】因为集合，，所以

，即.

16.【解析】因为，所以.所以.所以.由题知,可得，解得.又，所以.

17．解：

（Ⅰ）因为

所以的最小正周期为

（Ⅱ）因为

于是，当时，取得最大值2；

当，取得最小值—1.

18.解：

证明：

（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD.

又因为PA⊥平面ABCD.

所以PA⊥BD.

所以BD⊥平面PAC.

（Ⅱ）设AC∩BD=O.

因为∠BAD=60°，PA=PB=2,

所以BO=1，AO=CO=.

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则

P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）.

所以

设PB与AC所成角为，则

.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

设P（0，－，t）（t>0），

则

设平面PBC的法向量,

则

所以

令则

所以

同理，平面PDC的法向量

因为平面PCB⊥平面PDC,

所以=0，即

解得

所以PA=

19.解：

（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且

即X的分布列为

………………4分

X的数学期望为

………………6分

（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

………………8分

品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

………………10分

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.

解：

（I）由频率分布表得，

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，

所以

等级系数为5的恰有2件，所以，

从而

所以

（II）从日用品中任取两件，

所有可能的结果为：

，

设事件A表示“从日用品中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：

共4个，

又基本事件的总数为10，

故所求的概率

20.解：

（1）因为时，，

代入关系式，得，

解得.

（2）由

（1）可知，套题每日的销售量，

所以每日销售套题所获得的利润

，从而.

令，得,且在上,，函数单调递增；在上，，函数单调递减，

所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，

所以当时，函数取得最大值.

故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.

21．（理）解：

（1）f′（x）＝2ax，g′（x）＝3x2＋b.

因为曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，

所以f

（1）＝g

（1），且f′

（1）＝g′

（1），即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，

解得a＝3，b＝3.

（2）记h（x）＝f（x）＋g（x）．当b＝a2时，h（x）＝x3＋ax2＋a2x＋1，h′（x）＝3x2＋2ax＋a2.

令h′（x）＝0，得x1＝－，x2＝－.

a>0时，h（x）与h′（x）的情况如下：

x

－

－

h′（x）

＋

0

－

0

＋

h（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以函数h（x）的单调递增区间为和；单调递减区间为.

当－≥－1，即0

当－<－1，且－≥－1，即2

当－<－1，即a>6时，函数h（x）在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间上单调递增，

又因h－h（－1）＝1－a＋a2＝（a－2）2>0，

所以h（x）在区间（－∞，－1]上的最大值为h＝1.

（文）解：

（1）f′（x）＝2ax，g′（x）＝3x2＋b.

因为曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，所以f

（1）＝g

（1），且f′

（1）＝g′

（1），

即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.

（2）记h（x）＝f（x）＋g（x）．当a＝3，b＝－9时，h（x）＝x3＋3x2－9x＋1，h′（x）＝3x2＋6x－9.

令h′（x）＝0，得x1＝－3，x2＝1.

h（x）与h′（x）在（－∞，2]上的情况如下：

x

（－∞，－3）

－3

（－3,1）

1

（1,2）

2

h′（x）

＋

0

－

0

＋

h（x）



28



－4



3

由此可知：

当k≤－3时，函数h（x）在区间[k,2]上的最大值为h（－3）＝28；

当－3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k,2]上的最大值小于28.

因此，k的取值范围是（－∞，－3]．

22.解：

（Ⅰ）由题意知

故C1，C2的方程分别为

（Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.

由得

.

设是上述方程的两个实根，于是

又点M的坐标为（0，—1），所以

故MA⊥MB，即MD⊥ME.

（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得

则点A的坐标为.

又直线MB的斜率为，

同理可得点B的坐标为

于是

由得

解得

则点D的坐标为

又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为

于是.

因此

由题意知，

又由点A、B的坐标可知，

故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为

13